Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 26
Текст из файла (страница 26)
л 3. Любая (разумная) функция /(г), определенная между г=-О и г/" й и имеющая нулевой наклон в г=О и пулевое значение з «=Е, может быть разложена в ряд Фурье вида /(г) =~~/, 'В„саз лй«г; и = 1, 3, 5, 7, ...; й«й =-и/2. л 2.30. Фурье-ояпяиз периодически ловторяюи/внося прямого,«алого имлряьсо. Если периодически длопать в ладоши, то звуковое давление воздуха на ухо может быть описано как перводически повторяющийся примоугольный ичпульс. Пусть функция г(/) соответствует звуковому давлению. Положим„что г(Г) равно +одной единице давления для короткого интервала ЛГ и нулю да и после интервала Л/.
Этот «прямоугольный импульс» единичной высоты и шириной Л/ периодически повторяется с периодом Ты Короткий интервал Л! определяет длительность звучания хлопка. Период Тт — это время между двумя последовательнымн хлопкамн. Частота ч;=- Т, «является частотой хлопанвя. Выполните фурье-анализ заданной таким образом функции г(/).
а) Покажите, что начало отсчета времени можно выбрать таким, что в разложении бУдУт только косинУсы аРгУмента лы«Г, т. е. г (1)=В,+ ~~~~ В„созлы«Л л=! б) Покажите, что Вь — — ЛГ!Т«. Покажите, что 2 В„= — з)п (ллч,Л/) для и=1, 2, л лп в) Покажите, что для Л/ <Т, «основной» тон ч, и первые гармоники 2»,, Зч, 4ч, и т. д. имеют практически одно и то же значение амплитуды В»г г) Постройте график зависимости В„от лч«, переходя постепенно к достаточно большим л, так чтобы коэффициенты В„прошли через нуль два или три раза.
д) Покажите [по результатам пункта г)), что «наиболее важные» частоты (т. е. чзстоты, для которых В„имеет достаточно большие зяачении) занимают полосу ат основной частоты ч«до частоты порядка 1/Л/. Обозначим частоту 1/ЛГ через ч аю Конечно, на самом деле в разложении нет максимальной частоты, так как рядй Фурье простираются до л=«о, Однаио наиболее важные частоты лежат между нулем и ч „. Этот «частотный диапазон» занимает «полосу», равную по величине примерйо ч,„=-)/Лг. Вот частоты, имеющие наибольшее значение: ч=О, чг, 2ч,, Зч«, 4ч„..., чм»«=1/Л/.
Соответствующий частотный диапазон 0<ч<ч„„„обозначим через Лч. Тогда наш результат может быть записан в виде следующего соотношения: ЛчЛ/ щ 1. Оно справедливо не только для нашей функции г(1), описывающей периодически 100 повторяющиеся прямоугольные импульсы длительностью Л/, но и для периодически повторяющихся импульсов любой формы, если Л/ мало по сравнению с пеиодом. В этом случае главные частоты будут равны О, ч„2ч„Зчг, „1/Л/. сли импульс не периодический, в одиночный, то оказывается (см, главу 6), что главные частоты спектра Фурье также лежат в полосе частот от нуля до 1/Л/; но это — непрерынный спектр, а нс талька основная частота ч< и ее гармоники.
Эта задача объясняет частотный спектр электромагнитного излучения, называемого синлратрокнмм. Его источником является релятнвистсиий электрон, совершающий равномерное круговое движение с частотой ч». Можно показать (см. главу 7), что, если такое движение совершает нерелятивистский электрон, то он испускает электромагнитное излучение одной частоты тм Причина в том, что электрическое поле в взлучении нерелятивистского электрона пропорционально той компоненте ускорения заряда, которая перпендикулярна радиусу.вектору от заряда к наблюдателю. При круговом движении эта проекция ускорения представляет собой гармоническое движение.
Поэтому, для нерелятивнстского электрона излучаемое поле пропорцвональио соз ы/ илн з!и ыг. Для релятивистского электрона временная зависимость излучаемого поля не определяется соз ы»/. Вместо этого интенсивность излучения сильно сконцентрирована по направленйю мгновенной скорости заряда. Когда электрон движется прямо на наблюдателя, он испускает излучение, которое будет обнаружено набл<одателем позже.
Излучение, испускаемое в другие моменты времени, не дастагвет наблюдателя. Таким образом, электрическое поле, измеренное наблюдателем, имеет определенную величину в течение короткого интервала Л/ однажды за каждый период Т, и будет близко к нулю в остальную часть периода. Поэтому наблюдаемый спектр состоит из частот г,==)/Т, и гармоник 2тм Зч, и т. д.
до максимальной (главной) частоты, близкой к 1/ЛГ. Покажите, что временной интервал Л/ определяется из приблизительного равенства Лг/Т<юЛО(/2»г, где ЛΠ— «полная угловая ширина». 2.31. //илаабразкыв стаячив вовки в мелкой воде. Волны н мелкой воде — это такие волны, у которых амплитуда движения воды на дне (сосуда, озера и океана) сравнима по величине с амплитудой на поверхности.
Мода <амывання> (опыт 1.24) является волной на мелкой воде. Покажите это на опыте, добавив в воду векаторое количество кофейной гущи. Возбудите моду «омывания» (т. е. ту моду, при которой поверхность остается практически плоской) и наблюдайте за движением частиц кофе на дне и на поверхности вблизи центра сосуда и у стенок. Теперь рассмотрим идеализированные пилообразные стоячие мь<кь< в мелкой вод». Расс»втрим два независимых сосуда одинаковой формы с одинаковой равнавесяой глубиной И, в которых происходят колебания, соответствующие моде «смывания». Сосуды прнл~ыкают друг к другу так, что если убрать разделяющие стенки, то получится один сосуд, длинная сторона которого совладает с горизонтальной составляющей колебаний.
Предположим, что относительная фаза колебаний воды такова, что вода в одном сосуде всегда движется в горизонтальном направлении, противоположном направлению движеиня воды н другом сосуде, так что вода достигает максимальной высоты одновременно на смежных или противоположных стенках. Предположим, что мы убрали стенки, разъединяющие аба сосуда. Вода на граничной поверхности (когда были стенки) ие имела горизонтальной составляющей движения. Когда л<ы убрали стенки, горизонтальная составляющая (в месте, где были стенки) не появится вследствие си»<л~етрии двнхсения воды в двух сосудах.
Движение будет продолжаться, как будто бы ничего не произошло! При желании к такой системе можно присоединить другие сосуды. В сосуде мы получили стоячую волну пилбобразной формы, которую можно аппроксимировать синусоидальной волной. Заметим, что длина одного сосуда равна одной палуволне. (3 а м е ч а н и е. Если сделать фурье-анализ этой периодической функции ат х, то первый (и основной) член разложения Фурье будет соответствовать нашей аппроксимирующей синусондальной функции.) Используйте это приближение в формуле, каторан определяет частоту моды «омывания» (см. опыт 1.24). Покажите, что имеет место равенство й = — Уйй=),10 ~/йй. 2 г/3 м 101 г) !02 Мы видим, что у этих волн игт дисперсии. (3 а л» е ч а и и е.
Оказывается, что точное дисперсионное соопюшенне для синусондальных волн в мелкой воде имеет вид Лт= Т' дй. В результате нашего «пплообразного» приближения получается завышенная на 10»А» скорость распространения.) Для волн в глубокой воде (когда равнонесная глубина много больше длины волны) амплитуда волны экспоненциально падает с глубиной и уменьшается в е=2,718 раз при увелнченви глубины на х Л/2п. Величина и называется приведенной длиной волны. В грубом приближении »южно сказать, что волны в глубокой воде представляют собой непа похожее на волны в мелкой воде для глубин от поверхности до м(»(»ективной глубины й=ь, так как на таких глубинах амплитуда относительно велиха и, грубо говоря, постоянна.
Однако для глубин, значительно больших х, амплитуда очень мала. Такам образом, мы предполагаем, что дисперсионное соотношение для волн в глубокой воде может быть получено из дисперсионного соотаошения для волн н мелкой воде заменой равновесной глубины й на длину х среднего ослабления амплитуды.
Как мы покажем в главе 7, это предположение справедливо. Таким образо»», дисперсионнос соотношение для волн в глубокой воде имеет вид Лт = )' ух. 2.32. Фуры-анализ симметричных пилообразных илтульсов. Т!од симметрич. ным пилообразным импульсом мы подразумеваем импульс с одинаковым наклоном переднего и заднего фронтов.
Пусть координата г=0 соответствует вершине импульса. Покажите, что периодический пвлообразньй импульс можно представить рядом Фурье 1 1 г(г) =- 082А ~соз йгг — ' — соз 22» г + — соз Зйгг -';... ~, 4 9 где Й,=2н Лм а Л, — расстояние между вершинами двух импульсов и А — амплитуда импульсов, д»гплитуда п-го члена в этом разложении пропорциональна 1)п». Теперь можно оценить, сколь хорошим было приближение в задаче 2.31, где при выводе днсперсионного соотношения гз) )т= 1,10)' уй был принят во внимание лишь первый член разложения, 2,33.
Опыт. Мода поверхностного натяже- ния, Круговые стоячие волны поверхностного Чг натяжения легко наблюдать следующим абразоч. Наполните бумажную чашку до краев водой и затем добавьте еще чуть-чуть, чтобы вода слегка поднялась над краями (удерживаясь д) силой поверхностного натяжения). Слегка ударьте по чашке. Волны легко проследить, наблюдая за отражением неба от поверхности воды. 1(ругой способ наблюдения: возьмите небольшой яркий источник света, поместите его на расстоянии около метра от поверхности и наблюдайте за Еа узорами, появляющимиси на дне чашки из-за г того, что поверхностныс волны действуют как линзы. Чтобы убедиться в толь что сработает» поверхностное натяжение, добавьте в воду небольшое количество спирта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
