Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Ту же частоту вы услышите, если постоянно дуть в конец трубки. Однако время затухания в этой системе слишком мало, чтобы его можно было измерить на слух. Есть две возможности. Возьмите микрофон, усилитель звуковой частоты и осциллограф. Включите развертку осциллографа в момент возбуждения колебаний и выход усилителя подайте на вертикальные пластины. (В хорошем осциллографе развертка может включаться внешним сигналом.) Сфотографировав след на экране осциллографа, вы можете прямо измерить т. Однако это можно сделать и иначе. Подайте выходное напряжение звукового генератора на небольшой громкоговоритель, установленный около одного конца трубки. В трубке возникнут установившиеся вынужденные колебания, частота которых будет задана звуковым генератором.
Установите микрофон у другого конца трубки и измерьте с его помощью звуковое излучение с этого конца. Выход микрофона подайте на осциллограф, на экране которого можно будет измерить амплитуду звуковых колебаний. Теперь измените частоту генератора и т. д. Экспе- 110 Отношение амплитуды дисперсии и амплитуды поглощения следует из формул (16) и (17): лд ай — ы~ (30) Ддя о>, меньших ьэм это отношение положительно и может оказаться сколь угодно большим, если ы достаточно мало. Для ы, больших ы„ отношение А„!А„отрицательно и также может быть сколь угодно большим.
Для обоих случаев Гы((~ы,'— ы'~, и мы можем пренебречь вкладом члена А„з!п ьзГ в х,(Г), если мы готовы пренебречь небольшим значением средней мощности. (Вдали от резонанса поглощаемая мощность очень мала по сравнению с мощностью, поглощаемой при резонансе.) Таким образом, вдали от резонанса установившееся решение будет определяться членом А,соз мй х,(1) А„созыГ ж М (ые — ы') (31) Величина А, в этой формуле взята из выражения (29), где мы пре- небрегли членом Г'в' в знаменателе. Заметим, что в окончательный результат не входит коэффициент затухания Г.
В частности, легко 1И риментально может оказаться проще работать при постоянной частоте звукового генератора, но менять длину трубки. Нарисуйте зависимость квадрата амплитуды от величины, обратной длине трубки (почему обратной?). Найдите точки половинной мощности; они определят Лм. Используя уравнение (28), найдите т. Можно неплохо обойтись и без этих приборов. Возьмите камертон и пять или шесть одинаковых трубок, отличающихся только длиной.
Быстро пронесите камертон мимо входных отверстий ваших труб и попытайтесь оценить ширину резонанса. Вы должны найти способ различать интенсивности данного тона, отличающиеся в два раза. Во всяком случае этим методом можно грубо оценить порядок Льз. Для времени затухания колебаний трубки автор получил таким образом значение, лежащее в пределах 20 — 50 мсек, (См. домашний опыт 3.27.) Зависимость амплитуды дисперсии от частоты.
Составляющая А„сов ыг является той частью решения х, (г) для установившихся колебаний, которая находится в фазе с возмущающей силой Р,сов ьзГ. Как указывалось выше, дисперсионная составляющая не дает никакого вклада в среднюю величину поглощаемой энергии. Более того, при резонансе (т.
е. когда в=в,) А, равно нулю. Это не значит, что дисперсионную составляющую смещения можно не рассматривать. При частотах внешнего возмущающего воздействия, далеких от резонансной частоты, дисперсионная составляющая преобладает. Это видно из следующего. Амплитуда дисперсии (см. равенство (17)! равна А ро мо (29) д м (юо — 2)'+г2ая видеть, что смещение (31) является точным решением уравнения (14) для установившегося процесса при Гв О (см. задачу 3.!3). На рис. 3.1 показаны амплитуда поглощения и амплитуда дисперсии в окрестности резонанса. Другие «резонансные нриеыеа.
Поведение гармоническогоосциллятора, находящегося под действием внешней силы, можно описать различными величинами, которые имеют подобные (но не одинаковые) «формы кривой резонанса», т. е. зависимости от частоты. Такими величинами являются амплитуда поглощения Ан, Рис. аи Реаонанс вынужденных коаебаний. Если на осдиаяятор действует внешняя сила Ре сеа ын то в установившемся состояния я Ш=А ыл ыхтА соа ый а (32) (34) Все эти величины имеют одинаковый «резонансный знаменатель» О, равный 17 = — (ва — в')'+ Г'в' = (в, — в)' (в, + в)'+ Г'в'. Около резонанса быстрое изменение 17 почти полностью вызвано множителем (в — во)2 в первом члене этого выражения. Присутст- 112 сумма квадратов амплитуд (А(2= — А„+А„, входная мощность Р (ко- 2 2 торая равна рассеиваемой мощности) и запасенная энергия Е.
Выпишем все эти величины для сравнения. Из уравнения (16), (!7), (22) и (23) имеем Ан (сн) = А, (в,) ( . / А (в) 12 = ) А (в,) )2 ( ) ( о) 2 2 т (35) (вв — вв)2+ гвотв вне а в другом члене выражения для П, а также в числителях написанных выше четырех величии играет меньшую роль. Теперь мы видим, что амплитуда поглощения и другие величины, написанные выше, относительно важны только «около» резонанса. («Около> можно довольно условно определить как интервал а„— 10Г<а<а,+10Г.) В этом диапазоне (т. е.
около резонанса) и для случая слабого затухания (т. е. при Г(<а,) мы получим очень хорошее приближение, положив а равным а, в выражении для Р всюду, за исключением разиостного множителя (а,— а)'. Выражение для 0 примет вид П ж (а — а)' (а -)-а ) + Г>аа —— 4а«[(ао — а) + (>,' Г) ) . Такое же приближение а=а„можно сделать и вчислителях написанных выше четырех величин. Тогда все они примут одну и ту же форму, которую обозначим через Й: ('!, г)> (а,— а)'+(П, Г) (36) (Мы выбрали коэффициент пропорциональности таким, чтобы )«' (а,)= — 1. ) Заметим, что )«' (а) — четная функция (а,— а), т. е. она симметрична относительно резонансной частоты. Легко видеть, что полная «ширина» этой функции на половине максимума Я(а) равна Г, так же как и в случае точного выражения для полной ширины на половине максимального значения мощности.
В оптике частотная зависимость вида )«(а) называется «лоренцевской формой линии». В ядерной физике )«(а) называется <резонансной кривой Брейта — Вигнера». В этом случае а, и а заменяют соответственно на Е>=Ма, и Е=Т«а. Точные резонансные кривые имеют более сложную форму, чем 1«(а), как в оптике, так и в ядерной физике и даже, как мы это только что внделн, для гармонического осциллятора. Переходный режим вынужденных колебаний.
Мы хотим найти общее решение дифференциального уравнения для затухающего гармонического осциллятора, находящегося под действием внешней гармонической силы, при заданных произвольных начальных условиях х (О) и х(0). Общее решение является суперпозицией частного решения для установившегося состояния х,()) и общего решения х, (1) однородного уравнения движения (уравнения свободных колебаний): х(Г) =х,(Г)+х,(Г) =А,з)па«+А„сова«'+ +ехр ( — «7> Г() [А, з)па,1+В,созаД.
(37) Здесь произвольные константы А, и В, выбираются такими, чтобы удовлетворить начальным условиям для смещения и скорости. Уравнение (37) является общим решением: во-первых, оно удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению и, во-вторых, справедливо для любых начальных условий х (О) и х (О). В теории дифференциальных уравнений доказывается, что решение, отвечающее таким требованиям, является единственным.
113 Тогда решение (39) принимает вид х(г') =— со 1«О»оо««05«оо/1 М (оо,,Р) (41) что означает суперпозицию двух гармонических колебаний. С таким явлением мы встречались при рассмотрении биений от двух камертонов в п. 1.5. Напомним, что линейную суперпозицню двух гармонических колебаний (41) можно представить как «почти гармоническое» колебание с «быстрой» средней частотой «в,р — — »/о (<во+ +о») и медленно меняющейся амплитудой, которая совершает гармонические колебания с <медленпой» частотой модуляции <»„„= ='/, (сво — а). В последнем представлении мы получаем х(!) =А„,„(1) айп<в„г, (42) !!4 Осциллятор, первоначально находившийся в покое.
Рассмотрим, накой вид примет наше общее решение, если при Г=О осциллятор находится в положении равновесия. Начальное условие х (0) =0 дает В,= — А,. Теперь найдем А, из условия, что начальная скорость х (0) равна нулю. Нас интересует случай слабого затухания, поэтому будем считать, что множитель ехр ( — '/,Г() практически не меняется в течение любого данного цикла колебаний. Используя зто приближение, легко показать, что х (0)жооА„л-оо,А,. Так как нас интересуют частоты возмущающей силы вблизи частоты резонанса, то мы просто положим А,= — А„.
Тогда х (0) (во — оо,) А„. (38) Это выражение равно нулю либо при со=-оо„либо при А«=0 (т. е. для Г=О). Сделав такой выбор констант, мы имеем х (0) =0 и х (0) =-. =О, Решение (37) примет вид х(() = А„[шп о«( — ехр ( — '/» Гс) з)пиД + + А„[соз«в/ — ехр( — '/, Г/) созво,/]. (39) Ниже рассмотрены некоторые интересные частные случаи. С л у ч а й 1. '/астота возмущающей силы равна собственной час«поте колебаний. Положив <в=-оо, в выражении (39), получим х(() = — [1 — ехр ( — '/, ГГ)] [А» зап оо/ — ' А<сов»о/] =- =- [1 — ехр ( — '/, Г/)] х,(/), (40) где х, (/) — решение для установившего режима. Таким образом, когда частота внешней силы совпадает с частотой собственных колебаний во„установившееся решение как бы «сушествует сначала» с амплитудой колебаний, которая монотонно возрастает от нуля до своего конечного установившегося значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
