Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Почти гармоническое колебание. Этот первый пример приводит к важному и весьма общему результату, с которым мы будем часто встречаться: линейная суперпозиция двух или нескольких гармонических колебаний, имеюших различные амплитуды и фазовые постоянные, но принадлежащих к относительно узкому диапазону частот, дает «почти» гармоническое результирующее колебание с частотой ыгм которая находится в том же частотномдиапазоне. Результируюшее движение не будет точно гармоническим, так как амплитуда и фазовая постоянная ве являются постоянными, а лишь «почти постоянными». Они пренебрежимо мало меняются за один цикл «быстрых» колебаний, происходящих со средней частотой «е„.
(Это утверждение будет доказано в главе 6.) Теперь рассмотрим несколько физических примеров биений. П р и м е р 11. Биения, созданные двул«я камертонами. Звуковые волны, улавливаемые ухом, создают изменения давления, действуюшего на барабанную перепонку. Пусть «р, и ф«представляют собой давления, оказываемые на ухо колебаниями двух камертонов ! и 2. (Это давление равно давлению с внешней стороны на барабанную перепонку минус давление с внутренней стороны барабанной перепонки, которое равно атмосферному. Разность этих давлений образует силу, действуюшую на барабанную перепонку.) Если по обоим камертонам ударили с одинаковой силой в один и тот же момент и они находятся иа одинаковом расстоянии от уха, то амплитуды и фазовые константы для давлений «р, и ф, будут одинаковы, и вклад каждого из них следует из суперпозиции (80): полное давление (которое определит полную силу, действующую иа перепонку) является суперпозицией «р=«р,+ф« давлений от двух камертонов.
Оно выражается равеяством (81) либо равенства««и (34) и (85). Если частоты ч, и ч, двух камертонов отличаются от их среднего значения более чем на 6«А, то ухо и мозг будут воспринимать зти колебания согласно равенству (81), т. е. как от двух отдельных источников, Вы услышите две ноты, мало отличающиеся по высоте тона. Например, если ч,=1,25тм вы будете слышать две ноты с интервалом «большая терция». Если ч»=1,06ч„то ч» будет восприниматься как нота, на полтона более высокая, чем ч,. Однако, если частоты ъ, и ч, отличаются меньше чем на 1О га, мы не в состоянии воспринять их как две разные ноты.
(Правда, натренированное ухо музыканта может это сделать.) В таком случае суперпозиция колебаний с частотами ч, и ч«не воспринимается как «аккорд» из двух иот, а скорее, в согласии с равенствами (84) и (85), как один тон с частотой ч, и медленно меняющейся амплитудой А„„, Квадратичный детектор. Амплитуда модуляции А„,„колеблется с угловой частотой модуляции ь„„«. Всякий раз, когда величина ы„«,1 возрастает на 2п, амплитуда Л„„, совершает полный цикл колебаний и возвращается к первоначальному значению.
Амплитуда Л,„, обращается в нуль дважды за цикл. В зти моменты времени звука нет, ухо ничего не слышит. В промежутках между паузами ухо воспринимает колебания среднего тона (соответствующие ч,.р), Так как соль„,„„г изменяется от 0 до 1, от 1 до О, от 0 до — 1 и т. д., то в моменты времени, предшествующие данной паузе и после иее, амплитуда А „, имеет противоположные знаки. Однако наше ухо пе может различить два интервала звучания с разными по знаку амплитудами А„,«. Мы можем заметить лишь изменение величины А„„: звук станет громче или тише в зависимости от того, увеличился или уменьшился квадрат амплитуды А „,.
Поэтому иногда говорят, что ухо является квадратичным детенторохс Так как А„, имеет два максимума в течение каждого 2 цикла модуляции (за цикл величина в„„1 увеличивается на 2п), то частота повторения последовательности: громко, тихо, громко, тихо, громко, тихо и т.
д.— в два раза больше частоты модуляции. Эта частота, с которой изменяется Л„„„, называется частотой биений; ыв — 2юмод ы,— ы«. (86) Изменение квадрата амплитуды со временем легко вычислить: А „„(У)=2Лсозы„„,У, (Л„««(1)1» =.- 4А'соз' в»„,„Г, но соз' 0 =- — [соз' О+ э[па 0-[- созе 0 — з[пз 01 = — [1+ соз 20~. ! з з ' з 2 Таким образом, [Аи„(1)!' = 2А' (1+ соз 2ш„„(), т. е. (Ан,л)' = 2А' [1+ соз шД. (87) Из (87) видно, что колебания А„од происходят с частотой в два раза большей, чем ш„,л. На рис.
1.13 показан пример биений. и б )й н л) гб гг гб Ф) Ф)'6 (~ми) Рис. 1.13. Биения О, и а)а описывают изменение давления иа барабанную перепонку уяа, вызванное двумя камертонами с отношением частот 19)9. Полное давление будет суперпоаиЦисй ЧЧ+тйа, ЛРЕДСтааЛЯЮШЕй СОбОВ «ПОЧти ГаРМОНИЧЕСКСС» Кспебаинс С ЧаСтОтОй Ч Н МЕД- ление меняющейся амплитудой А и). Громкость звука пропорциональна(А )' н имеет мод мол постоянную составляющую (среднее значение) я составляющую, меняющуюся по сннусоеде с частоюй биений.
Частота биений ранна удвоенной частоте модуляции. П р и м е р 12. Биения от двух источников видимого света. В 1955 г. (Роррестер, Гудмундсен и Джонсон осуществили блестящий эксперимент, зарегистрировав биения между двумя независимыми источниками видимого света примерно одинаковой частоты '). Источниками света служили газоразрядные ртутные трубки. Возбужденные атомы ртути испускают свет с частотой ч,р — — 5,49.10" гц, что соответствует яркой зеленой линии спектра. Трубки были по- мешены в магнитное поле, и поэтому частота„соответствующая зеленой линии спектра, <расщеплялась» падве близкие частоты„разность которых пропорциональна магнитному полю.
Частота биений была ч,— ч, 10'о гц. Это — типичная ерадарная», или «микроволновая», частота. Используемый авторами детектор в виде фотоэлемента давал электрический ток, пропорциональный квадрату амплитуды модуляции результирующего электрического поля в световой волне. Таким образом, это был квадратичный детектор. *) А.
Т. Р о г г е з 1 е г, Я. А. 0 и б гп и и б з е и, Р. О. Я о Ь п з о и, Рьо. 1ое1ес1г!с ш!д(ия о1 1псоиегеп! !!91)1 (баотоэлектрическое смешение аекогере(ом ного света), Рьуз, Реч. 99, !69! (!955), 45 Изменение во времени выходной величины тока этого детектора 2 аналогично изменению «громкости» Ам,д на рис. 1.13. П р и м е р 13. Биения между двумя нормальными лтодами колебаний двух слабо связанных одинаковых осцилляторов. Рассмотрим систему из двух одинаковых маятников, соединенных пружиной (рис. 1.14). Нормальные моды колебаний такой системы угадываются по аналогии со случаем продольных колебаний двух масс, рассмотренным в п. 1.4.
Для моды 1 имеем ф,— -трь. В этом случае пружину можно не учитывать, так как возвращающая сила образуется ) Фа 6=6 6в а) йу ййш Фа Рис. 1.1С Свиааииые одинаковые маитиики. а) Равновесие; б) мода с меньшей частотой: а) мода с большей частотой. только силой тяжести. Возвращающая сила на единицу смещения и на единицу массы (для случая малых колебаний, когда возвращающая сила линейна) будет равна МяОЛОМ=аЛ: мода 1: о),'.—.. 811, тр,= трь. (88) Для моды 2 колебаний три= — тро. Рассмотрим левый маятник.
Возвращающая сила, вызванная пружиной, равна 2КтР,. (Двойка появляется потому,что пружина сжата иа величину 2тр .) Возвращающая сила, обусловленная силой тяжести, равна МдО=Мдф,)1. Обе эти силы имеют одинаковый знак, поэтому полная возвращающая сила на единицу массы и на единицу смещения будет: мода 2: ыа.= ) + н, то= — т?ь 2)т (89) Мы хотим рассмотреть «биения между двумя модами колебанийв нашей системы. Что это значит? Каждая мода — это гармоническое колебание заданной частоты. В общем случае движение маятника а будет суперпозицией двух мод: тР. (Г) =тРт(1)+тРа (1). Например, тр, будет иметь вид, показанный на рнс. 1.13, если частоты и амплитуды обеих мод примерно одинаковы. В этом случае движение маятника а будет представлять собой биения. (Как мы увидим, то же следует сказать и о маятнике Ь.) 46 В любой системе с двумя степенями свободы можно создать бие- ния.
Наша система удобна тем, что подбором пружины или массы М легко добиться, чтобы разность «,— м, бьиа мала по сравнению со средней частотой. [Это видно из формул (88) и (89).) Как будут выглядеть биения? В соответствии с тем, что говори- лось в п. 1Л, смешения маятников ф, и фь могут быть выражены в нормальных координатах «р, и «р,: «р,=-«р,+ф, =-Л„сов («з,(+«р,)+А,соз(«в«1+~р,), [ чЪ=«р« — ~, = Л,сов(«в,1+«р,) — А, сов(««,1-[-~р,). / (90) Эффект биений будет наибольшим, если амплитуды двух мод равны. (Если одна из амплитуд А, или А, мала по сравнению с другой, биений не будет, так как практически есть только одно гармони. ческое колебание.) Поэтому положим Л,=А,=А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
