Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Часто значение фазы нас не интересует, и мы можем всегда «перевести часы» так, чтобы ~р стало равным нулю. Тогда вместо более общего уравнения (1) имеем»р=А со»»»1 или»р=А з)пь»г. Возвращающая сила и инерция. Колебания, описываемые уравнением (1), являются результатом таких свойств физической системы, как возвращающая сила и инерция. Возвращающая сила стремится вернуть «движущийся элемент» в положение равновесия Ц=О), в результате он приобретает скорость йф)Ж. Чем больше ф, тем больше возвращающая сила.
В случае ЬС-цепочки возвращающая сила возникает из-за отталкивания между электронами, которое препятствует их скапливанию на одной из пластин конденсатора и стремится распределить их на пластинах так, чтобы заряд каждой пластины был равен нулю. Инерция системы противодействует любому изменению аф/аг. Инерция ЬС-цепочки определяется индуктивностью Ь, которая препятствует изменению величины тока с(фЫ1 (в этом случае »р — заряд на пластинах конденсатора), Колебал»ельный режим.
Если колебания начинаются при положительном смещении ф и скорости «(ф/Ж, равной нулю, то возвращающая сила создает ускорение, которое вызывает появление скорости, обратной по знаку смешению. «Отрицательная» скорость достигает максимума к моменту возвращения ф в положение равновесия ф=0.
При этом возвращающая сила станет равной нулю, а наличие отрицательной скорости вызовет появление и нарастание отрицательного смещения. Возвращающая сила становится при этом положительной, но теперь она должна преодолевать инерцию, обусловленную отрицательной скоростью. Наконец, скорость станет равной нулю (с1фЫ1=-0), а смещение — максимальным и отрицательным ( — ф) и процесс будет повторяться в обратной последовательности. Рассмотренный цикл повторяется: возвращающая сила пытается вернуть ф в нулевое положение, тем самым вызывая движение с некоторой скоростью; инерция в свою очередь сохраняет скорость, что является причиной «проскакивания» ф через нулевое положение. Система совершает колебания. Физическиа смысл ь»». Угловая частота колебаний о» связана с физическими свойствами системы (мы докажем это позже) соотношением (3) Иногда, как, например, в случае ЬС-цепи, входящая в эту формулу «масса» имеет условный смысл, являясь лишь характеристикой инерции системы (см.
пример 4). Затухающие колебания. Если колебания некоторой системы описываются уравнением (1) и на систему не действуют никакие внешние силы, то оиа может совершать колебания бесконечно долго. Однако в действительности всегда имеется трение (или другое сопротивление движению), которое вызывает затухание колебаний (говорят, что трение «демпфирует» колебания). Поэтому более реальным типом колебаний являются затухающие колебания. Если система начала колебаться в момент времени 1=0 (в этот момент мы толкнули маятник или замкнули ключ 1С-цепочки и т.
д.), то мы имеем (см. том 1, гл. 7, стр. 236) ф(1) = Ае о' сов(ь»1+<р) (4) для 1»0 и ф=0 для 1(0. Для простоты в последующих примерах мы будем все же пользоваться уравнением (1) вместо уравнения (4). Это значит, что мы пренебрегаем трением (или сопротивлением в случае ЬС-цепи) и считаем время затухания т бесконечно большим. П р и м е р 1. Маятник. Простой маятник состоит из «невесомой» нити длиной 1, один конец которой закреплен, а ко второму прикреплен «точечный» груз с массой М (рис.
1.2). Обозначим через ф угол (в рад) отклонения маятника от вертикали. (Маятник 20 колеблется в заданной плоскости, и его положение полностью определяется углом тр,) Смещение груза маятника по периметру окружности равно 1тр; такому смещению соответствуют мгновенная тангенциальная скорость Итр!«(г и тангенциальное ускорение 1«(ят(2Ы«а. Возвращающая сила представляет собой тангенциальиую составляющую силы веса Мд, действующей на маятник. Эта составляющая равна — Ми з(пт(!. По второму закону Ньютона оятр М1 —.~ = — Мй з1п тр (1).
(5) ! Воспользуемся разложением в ряд Тейлора [см. приложение 1, уравнение (4)1: ! ! з1пф=тр — —,+ —,— ' (8) ,«. Ф Дг где точками обозначены остальные члены ряда. У Мы видим, что для достаточно малых тр Ряс. Ь2. Простой маятмы можем пренебречь в (6) всеми членами, за мик. исключением тр. На вопрос: что значит «при достаточно малых ф»? — нет общего ответа.
Все зависит от точности измерения функции тр(1) в задуманном эксперименте (мы имеем дело с физикой, и нужно помнить, что ничто не может быть измерено совершенно точно). Например, для ар=0,10 рад (5,7') з(п ар=0,0998, и для ряда задач «0,0998= — 0,1000» будет грубым приближением. С другой стороны, для ту=1,0 рад (57,3') з)пар=0,841, но для некоторых случаев допустимо считать «0,8=1,0м В связи с вышесказанным уравнение (б) можно переписать следующим образом: — = — сйаср с!»тая стая (7) где о»а — — з !1 (8) Общее решение уравнения (7) представляет собой гармоническое колебание тр(1) = А соз(й»1+ яр).
Заметим, что угловая частота колебаний (8) может быть записана так: о!я=возвращающая сила на единицу смещения и на единицу массы. Действительно, Мд тр (Хтр) М 1 ' если з(птР можно заменить на »Р! з)п«Рж«Р. Две постоянные, А и !р, определяются по начальным условиям, например по смещению и скорости в момент «=.0. (Величина тр— . 21 угловое смещение„соответствующая «скорость» — это угловая ско- рость с(фЖ.) Таким образом, имеем тр (1) = А соэ (сот + ср), )Р(1) = — „= — соА з1п(ю1+ср), бзР й так что тр (О) =- А соз ср, )Р (О) = — соА з1п ср. Из этих двух уравнений можно определить положительную константу А и угол !р.
П р и м е р 2. Масса и пррр!сина; продольные колебания. Пусть масса М может скользить по поверхности без трения. Она соединена с неподвижными стенками при помощи двух одинаковых пружин, имеющих нулевую массу, коэффициент жесткости Ке) и длину б в нерастянутом состоянии а,. В по- ла а ложении равновесия каждая пружина растянута на длину а и, таким образом, имеет натяжение К(а — а,) (рнс. 1.3, а и б).
Обозначим через г расстояние от левой а) стенки до массы М, тогда расстояние массы до правой стенки равно 2а — г (рис. 1.3, е). Левая пружина действует в направлении — г с силой К(г — а,), правая пружина — в направлении +г с силой К (2а — г — а,). Полная сила Г„ действующая на массу в направлении +г, будет равна сумме этих двух сил: асс-г Г,.= — К(г — а,) + К(2а — г — а,) = = — 2К(г — а). г Рис. 1.3. Продольные колебания. л) Пружины в нерестянутои состоянии; б) пружины растянуты и прикреплены к грузу М, которыя иекодится в положении равновесия; е) об!Пня слу кин. По второму закону Ньютона ̄—,=Г,— -- — 2К(г — а).
(9) "1 Его называют также силовой постоянной пружины, а иногда просто жесткостью пружины. (Приап ред.) 22 Смещение массы М относительно положения равновесия равно г — а. Обозначим его через ср (1): )р (1) =- г (1) — а, тогда ссвтР бвг бсв = бсв ' Теперь уравнение (9) можно переписать в виде ляар б)яф Фа > 2К б)ив М' (10) (1 1) Общее решение уравнения (10) опять представляет собой гармоническое колебание ф=А соз (б)а+ф). Заыетид), что из уравнения (11) СЛЕдУЕт: б)а= — -СИЛа На ЕДИНИЦУ СМЕЩЕНИЯ И На ЕДИНИЦУ МаССЫ, таК как возвращающая сила для смещения ч(1 равна 2К)р.
П р и м е р 3. Массы и пружинб); поперечные колебания. Система показана на рнс. 1.4. Масса М находнтся между двумя одинаковыми Рис. 1.4. Полеречные колебания. л) Положение равновесия; б) общий случай движения (во оси к). пружинами, концы которых закреплены в стенках. Пружины не имеют массы, их коэффициент жесткости К и начальная длина а,.
Когда масса М находится в положении равновесия, каждая пружина имеет длину а. Мы пренебрегаем силой тяжести. (Сила тяжести в этой задаче не образует никакой возвращающей силы. Влияние силы тяжести проявится в том, что система провиснет, но при наших приближениях это не скажется на результате.) В данном примере масса М имеет три степени свободы. Она может двигаться в направлении оси г (вдоль осей пружин), совершая продольные колебания. Этот случай был рассмотрен выше. Масса М может перемещаться также в направлениях осей хи у, совершая поперечные колебания. Для простоты будем рассматривать движение только вдоль оси х. Можно предположить, что в системе имеется какое-либо направляющее устройство (не вносящее трения), которое разрешает движение только в этом направлении и препятствует движению вдоль осей у и г.
Этим устройством может быть, например, веревка, протянутая через просверленную в массе М дырку. Однако легко убедиться, что в таком приспособлении нет необходимости, Из 23 симметрии рис. 1,4 видно, что если в данное время система колеблется вдоль оси х, то нет никаких причин, которые могли бы вызвать движение вдоль оси г или оси у. То же справедливо для каждой из двух других степеней свободы: в результате колебаний вдоль оси г не возникает силы, приводящей к движению вдоль осей х и у (или к движению вдоль х и г при колебаниях вдоль у). В равновесии (рис. 1.4, а) каждая пружина имеет длину а и натяжение Т„определяемое как Т, = К(а — а,).
В более общем положении (рис. 1.4, б) каждая пружина имеет длину 1 и натяжение Т=К(1 — а,). (13) Это натяжение направлено вдоль оси пружины. Возвращающая сила Тз(пй, действующая на массу со стороны каждой пружины в направлении х, представляет собой проекцию этого натяжения на ось х. Используя второй закон Ньютона и равенство з!пй=х/1, найдем М вЂ”,=Р„= — 2Тз!пО= — 2К(1 — а,) — = — 2Кх(1 — — (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
