Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(14) спх х а«1 дгз « Уравнение (14) верно при сделанных предположениях (включая предположение о «линейности» пружины или о справедливости для нее закона Гука (13)). Заметим, что длина пружины 1, которая появляется в правой части уравнения (14), является функцией х. Из-за этого возвращающая сила, действующая на массу М, не будет в точности пропорциональна смещению и (14) не будет точным уравнением для гармонических колебаний.
Приближение <пружины». Существуют два интересных способа, которыми можно получить приближенное уравнение с линейной возвращающей силой. Первый способ — это приближение <пружины»* ), когда мы пренебрегаем членом а,/а по сравнению с единицей. Поскольку 1 всегда больше, чем а, то тем более можно пренебречь и членом а,/1 в уравнении (14). В этом приближении уравнение *) Значительное число опытов по механическим колебаниям и мысленных примеров в этом томе связано с применением ««1!о)гу».
Под этим жаргонным названием (оно происходит от глагола «1о »1!п1о — красться, идти крадучись) подразумевается спиральная пружина, состоящая из 100 — 150 витков плоской проволоки. В не- растянутом состоянии длина такой пружины 7 — 10 см. Ее можно без остаточных деформаций растянуть до 3 — 5 м. Ы1п1«у — распространенная детская игрушка, имеющая множество применений.
Бнпйу можно «переливать» нз руки в руку, подобно струе жидкости, <1!пйу можно заставить спуститься .со ступеньки на ступеньку по лестнице и т. д. Такая игрушка является удачным объектом для демонстрации волновых явлений, и автор широко этим пользуется. В книге при раз. личных расчетах часто используется «зппйу арргохппацоп». Зто — приближение, при котором начальная длина пружины, подчиняющейся закону Гукв, равна нулю.
В дальнейшем вместо снова <11п1«у мы будем писать «пружина» (пружина в кавычхах). Фотографию «пружины» см. на стр. 87. ()урим. ред.) 24 (14) принимает вид «»х — = — в'х ш» где в' = — = — ' (для а, = 0). 2К 2Т» М Ма (16) (16) Решение уравнения (15) — это гармоническое колебание х= =Асоз(в/+«2). Заметим, что на амплитуду А не наложено никаких ограничений. Она может быть очень большой, но возвращающая сила будет оставаться линейной.
Заметим также, что частота поперечных колебаний, определяемая уравнением (16), совпадает с частотой продольных колебаний, определяемых уравнением (11). В общем случае зто не так. Частоты совпадают лишь для приближения «пружиньо, где предполагается а,=О. Приближение малых колебаний. Если нельзя пренебречь а, (например, в обычных лекционных опытах с резиновым жгутом), то приближение «пружины» неприменимо. Тогда сила г"„в уравнении (14) — нелинейная функция х. Однако мы покажем, что если х мало по сравнению с длиной а, то 1 отличается от а только на величину порядка а(х/а)'.
В приближении л«алых колебаний мы пренебрегаем теми членами в формуле для г„, которые нелинейны по х/а. Займемся теперь алгеброй. Мы хотим выразить 1 в уравнении (14) как 1=а+ «что-то», исчезающее при х= — О. Так как 1)а независимо от знака х, зто «что-то» должно быть четной функцией х. Из рис. 1.4 следует: Р = а' -1- х' = — а' (1 -'; — е), где з =— х'/а'. Тогда / а (1+з) Ч вЂ” — (1 — (2 е)+(В е ) где мы использовали разложение в ряд Тейлора (см. приложение 1, уравнение (20)1 для (1+х)» при и= — '/, и х=з. Приближение малых колебаний означает, что з(<1. В атом случае — ж — ~1 — ( — з)~ = — ~1 — ( — —,)~ .
(18) Подставив (17) в (14), получим а») х+ м а» 1 / + ° ° ° (10) Пренебрегая членами третьего и более высокого порядка малости (малые колебания), получим «»«2К т, — ж — — (а — а )х=.— 2 —. »2» Ма» ' Ма.' (20) !Мы написали Т» из выражения (12).) Уравнение (20) можно переписать в виде п»х — = — оп»х ф~о о где о 2то ы Ма (21) Для малых колебаний резинового жгута (когда нельзя пренебречь членом ао/а) частота продольных колебаний больше, чем поперечных: о»п ро» 1 1 ч Мпопер ! по а~ П р и м е р 4. ЕС-цепь. (В томе П, гл. 8, колебания в цепи, состоящей из емкости и самоиндукции, изучены более подробно.) Рассмотрим цепь из последовательно соединенных самоиндукцин /.
и двух емкостей С (рис. 1.5). Пусть заряды на верхних пластинах левого и правого конденсаторов равны 11, и Я, соответственно. Электродвнжущая сила (э. д. с.), приложенная к иидуктивности, равна «обратной э. д. сл /. «!//Ж. Заряд Я, создает э. д. с. С '!~„так что положительный заряд Я„заставляет ток течь в направлении, указанном стрелкой на рис. 1.5.
Таким образом, положительный заряд 1~, обеспечивает положительное значение Е Н/Ж. Точно так же нз Таким образом, х(/) является гармоническим колебанием: х(/) = А соз(а/+<у). Заметим, что квадрат частоты о»» (формула (21)! и в этом случае равен возвращающей силе, приходящейся на единицу смещения и единицу массы. Действительно, для малых колебаний возвращающая сила равна удвоенному натяжению Т, (две пружины), помноженному на з!и Ожх/а.
Таким образом, имеем ВозвРашаюЩаЯ сила на еДиниЦУ ! Зто(х/а) Зто смещения и на единицу массы / »М Л4а ' Заметим, что частота поперечных колебаний для обоих приближений, как следует из сравнения уравнений (16) и (21), равна 'г 2Т,/Ма. В приближении «пружины» продольные колебания имеют ту же частоту, что видно из уравнений (11) и (16).
Если приближение «пружины» не выполняется (т. е. если нельзя пренебречь а,/а), то продольные колебания и (малые) поперечные колебания будут происходить с разной частотой, что видно из уравнений (! Ц, (12) и (21). В этом случае (-') -='м-. (22) (23) рис. 1.5 следует, что положительный заряд Яз создает отрицатель- ное значение Е ЫЫ«. Таким образом, (24) В положении равновесия на емкостях нет заряда. Ток 7 увеличивает заряд Я, за счет заряда Цт.
Используя закон сохранения заряда и условие знаков (см. рис. 1.5), имеем 'с 1 'си (26) Из уравнений (25) и (26) следует, что в нашей задаче есть только одна степень свободы: мгновенное состояние системы можно описать, задавая илн с,тт, или 1'>„или 7. В дальнейшем (когда мы перейдем к системам с ббльшим числом степеней свободы) будет удобнее работать с током 7, поэтому воспользу- С емся им и сейчас: где 2С вЂ” 1 ы'= (27) решением которого являются гармонические колебания 7 (Г) = =А соз(ет|+<р). Уравнение (27) показывает, что и для электрических колебаний справедливо равенство аз=возвращающая сила на единицу «смещения» и на единицу «массы». Действительно, в данном случае роль силы играет з.
д. с., равная 2С-асз, а роль «смещення» принадлежит заряду Я. Индуктивность Ь играет роль «массы». Поэтому выражение для ыз имеет вид 2С" тО 2 тц =ьс' Легко заметить, что в примерах 2, 3 и 4 математика одинакова. Мы достигли этого тем, что специально подобрали примеры систем, обладающих пространственной симметрией («инерционная» Š— =С тЯт — С тДа =- — 2С тЯ„ И нт Так 1 (г) подчиняется уравнению лзг —, = — йза7 ша Рнс 1 й. Паследааательиое соединение саноиндукпин ь н емкостей С. Показано условие знаков для 9 и Ь Заряд Ш ~или 4а) положителен, если нераняя обкладн заряжеаа положительна по отношению к нижней; ток у по. ложителен, если положительамй заряд течет н напраалеиии стрелок.
масса в центре, «вынуждающие» силы приложены симметрично с каждой стороны). Такой параллелизм часто полезен как мнемоническая схема. 1.3. Линейность и принцип суперпозиции Примеры, рассмотренные в п. 1.2, соответствуют случаю, когда возвращающая сила пропорциональна — ф и не зависит (например) от зрз, фз и т. д. дифференциальное уравнение, содержащее не более чем первую степень ф и первые степени производных з(~/Ж, е(за' и т.
д., называется линейным относительно переменной ф и ее производных по времени. При этом уравнение называется однородныи, если оно не содержит членов, не зависящих от ф. Если в уравнении появляются степени функции ф или ее производных, то уравнение называется нелинейным, например, уравнение (5) нелинейно, что очевидно, если подставить в него выражение (6) для э)пф. Только пренебрегая в разложении э(пф высокими степенями ф, мы получим линейное уравнение. Обычно нелинейные уравнения решать трудно.
(Нелинейное уравнение для маятника было решено в т. 1, стр. 251.)К счастью, существует много интересных физических ситуаций, для которых линейные уравнения дают очень хорошее приближение. Мы почти всегда будем иметь дело с линейными уравнениями. Линейные однородные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения имеют следующее интересное и важное свойство: сумма двух любых решений уравнения также является его решением. Нелинейное уравнение таким свойством не обладает: сумма двух решений нелинейного уравнения не будет его решением. Мы докажем эти положения сразу для обоих случаев (линейного и нелинейного).
Предположим, что дифференциальное уравнение движения системы с одной степенью свободы имеет вид = — Сф+сзф'+Дф'+уф'+..., (28) как это было, например, в случае маятника (см. уравнения (5) и (6)) и в случае поперечных колебаний массы, подвешенной на пружинах !уравнение (19)). Если константы а, р и у и т.
д. все равны нулю или с достаточно хорошим приближением могут быть положены равными нулю, то уравнение (28) однородно и линейно. В противном случае оно нелинейно. Теперь предположим, что згз (1)— одно решение уравнения (28), соответствующее определенным начальным условиям (начальное смещение и начальная скорость гири маятника), а фз (1) — другое его решение, отвечающее другим начальным условиям.
По сделанному выше предположению имеем ~'1«з Сф ( фз 1 ()фз 1 Тфз+ (29) и (30) 28 Возникает вопрос: будет ли суперпозиция ф, и фм определенная как ф(г)=ф, (г)+ф, (Г), удовлетворять уравнению (28), т. е. справедливо ли равенство ~~~~~~' '- — сн,;.М,. Н„.~>.~РН,+Фр.~...1 В1> На вопрос (31) можно ответить утвердительно, если коэффициенты а, р и т. д. равны нулю. Это легко показать. Сложим уравнения (29) и (3«)). Эта сумма совпадает с уравнением (31) только в том случае, если удовлетворены следующие условия: ~~'~~1 1 ~~'~2 и'И1+4ч) + д~в лм 1 — Сф,— Сф, = — С(ф,+ф,), аф, '+аф', = а(ф1+Фь) Яф1 1 ()ф~ = 8(ф, «-ф,)' и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
