Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 133
Текст из файла (страница 133)
е. Рх (Г) = Л <)Аупр соэ (в[ — ф)+Л<<ГАпогп з)п (в[ — <р), (28) т. е. Л[<)Аупр Лфдпогл Рл (в[) = Е Ек (<о[)+ Еп (в[ — <,',и), (29) Ео Ео (35) Р» (ю() Х (ю) Ех М) где Х (ы) = Хуир+ «Хвогв' Физическая поляризация по оси х равна вещественной части комплексной ве- личины Рх [уравнение (35)). Эта комплексная величина имеет в качестве множи- телЯ сУммУ вещественной и мнимой частей кол1плексной воспРиимчивости: Хувр.(- )-!Хп „„. (ВоспРиимчивости Хукр и Х„,„з — вещественные величины.) НапРйь'.еР, положив 9«=0 в уравнении (32), имеем Ех=Е,е-и" г= Е„сов Ы вЂ” !Ев з!п юй )'х = ХЕх = (Хупр+ 1Хввгз) (Ев соз гв( — !Ео з! и юу) = =Х вр Ев соню(+Х„Е« з!по(+( (мнимая часть).
(38) Уравнения (37) и (38) дают нам вещественные части Ех и Р». Вещественные вели- чины Ху„р и Хввгл УдовлетвоРЯют УРавнению (34), котоРое спРаведливо длЯ физи- ческих (и поэтому вещественных) полей. Камплекснал диэлектри«ескал настоянная. Введя комплскслые поля Ех и Рх, мы получили очень простое выражение Рх=уЕх (уравнение (35)) вместо более сложного выражения (34). Такое упрощение далось ценой появления комплекс- ной восприимчивости Х(ю), определяемой уравнением (36).
Уравнение (35) по форме похоже на уравнение (12) (которое справедливо для статических полей). Поэтому мы люжем распространить уравнения (12) — (!7) на поля, зависящие от време. ни. Это значит, что если нельзя пренебречь поглощением и мы хотил«сохранвть форму уравнений (12) — (17), то нам следует работать с комплексной диэлектри- ческой постоянной и с комплексной магнитвой проннцаемостью.
В соответствии с уравнениями (16) и (36) нмеел« а=!+4яХ=1+4пХ „р+14пу„гю Таким образом, в= Вез+Пепе, где йеа= 1+4пХу„р, (40) 1гпа = 4пХ„в„а. (41) Для ы=б все величины принимают свои статические значения, (36) (39) 497 зические поля представляют собой вещественные части этих «комп.ыксных нвл иъ Временная зависимость каждого комплексного поля определяется множителем ехр ( — (ы0, где знак мянус является условием, используемым в оптике, (В электронике работают с положительным показателем экспоненты ехр (9!юз). В квантовой механике, как и в оптике, показатель экспоненты отрицателен.) Таким образом, Ех в комплексной записи имеет.
вид Ех (юу) = Еэегче-г ! = Ев соз (ыу — «р) — (Ев э!и (ые — ф). (32) Физическое поле, соответствующее комплексному полю Ех, равно вещественной части Ех, т. е, Е, соэ (ыс — «р). Упрощения, кщорые появляются при исполь. зовании комплексного числа ехр ( — !ю0 для выражения заввспмостп от времени, связаны с тем, что сдвиг на 90* эквввалентен умножению на 0 е '(ии '/«п1,еы/«че !иг (* гм" Таким образом, Ех (Ы вЂ” «7«п) =1Ех (ю(). (33) Комплексная восприимчивость. Вне зависимости от того, используем мы комплексные поля илн нет, физическая поляризация связана с физическим электрическим полем линейным соотношением (для линейной изотропной среды) ) х(юс)=ХуярЕх(ю()+ХпогзЕх(ю( ~зл) (34) где все величины вещественные.
Введем теперь комплекснузо величину Ех(юу), оп. ределяемую уравценнем (32), и будем считать Рх и Е в уравнении (34) комплексными величинамн (Х.„р и Хи,„а — все еще веществейные величины): Рх (ю() ХуврЕх М)+Хаагз Ех (ю( !зп) — Хувр Ех (ю!) +!Хввгв Ех (ю() т. е. Колтлексная диэлектрическая поспюянная для простой модели линейной изотропной среды. Для нашей простой модели упруго связанного электрона, не имеющего ни постоянного, ни наведенного магнитного момента, величина М=О. Отсюда уха=О и 9= 1 в соответствии с уравнениями (13), (15) и (17).
Электрическая восприимчивость имеет вещественную (т. е. упругую) и мнимую (т. е. неупругую) составляющие, определяемые уравнениями (30) и (3!). Уравнение (39) принимает вид блуа'бв (ыо — ыв) . 4пМд' Гм (юа — ы')в+ г аыв М (ма — ыа)а+ 1'вмв Заметим, что ксмшлексные величины позволяют легко решить уравнение (23) движения заряда ф а) Е е-гшг — М х=М а (43) Здесь Еа — комплексное числа. Положим х= — ха ехр ( — !ы!), Тогда ххх — !ых и х= — ыах. Подставляя эти производные в уравнение (43), получим ( ы аео1 +сао) х= — Ех а — М х т, е х (ы!) = — Ех (ы!).
с) 1 (44) М (ыа — ыа) — !св1' Комплексная восприилачивость равна Рх й йх Дсд~ ! Ех Ех М (ыа ы ) ам~ Комплексная диэлектрическая постоянная равна 4пй ра 1 е = 1 +4пу = !+в (46) (ма ы) Легко проверить, что уравнения (46) и (42) эквивалентны. Для этого нужно избавиться от мнимого слагаемого в знаменателе дроби в выражении (46), чтобы величину з можно было написать как сумму Кее+!1ше. Иногда более удобно оставить а в форме (46). Уравнения Максвелла дяя линейной изотропной среди. Начнем с общих уравнений Максвелла [уравнения (5) — (8)[.
Предположим, что между Р . и Ех и между Мх и В„существует линейная связь [формулы (12) — (17)]. Мы видим, что этим уравнениям можно удовлетворить действительными величинами тол~ко прн в=О, ио ес.ш заменить деиствительные величины мнимыми, уравнения (12) — (17) будут справедливы для любых частот. Таким образом, мы получаем уравнения Максвелла для комплексных полей В и Е: (45) 9 В=О, р (еЕ) =-багрсваб 1 д(еЕ) 4п уХ(В!9) =- [ всеоб с дг с (47) (48) (49) 1 дВ ТХЕ=- —— с дг (50) 498 В общем случае, когда е и р зависят от частоты, эти уравнения относятся к определенной частоте ы.
Так как физические величины р„б и Ясв б каждая могут иметь части, пропорциональные как соз ый так и ып йб, то ойй будут вещественными частями комплексных величин, которые входит в приведенные выше уравнения. Конечно, в частном случае среды, для которой в и р не зависят от частоты, все величины вещественны.
Уравнения Максвелла для нейтральной, однородной, линейной и изотропной сред. В уравнениях (48) и (49) диэлектрическая постоянная в и магнитная прони- цаемость «л — комплеисные функции частоты кь Эти величины также зависят от координат х, у и г, пасиольку свойства среды могут меняться от точки н точке.
Например, в нашей простой модели концентрация атомов г( может быть функцией координат: «т'=«у (х, у, г). Рассматрим простой и важный случай, когда среда однородно, т. е. р и е не зависят от х, у и г. Тогда в и р в уравнениях (48) и (!9) постоянны. Положим, далее, что среда нейглрально; под этим л~ы подразумеваем, что реале и г„е равны нулю. (Такая простая модель соответствует нейтра.тьному газу или аяарфйому твердому телу.) Тогда уравнения Максвелла (47) — (50) прзмут вид Ч В=.О, (51) Ч Е вЂ” — О, (огй) ЧХВ = — —.
не дЕ с дг' (53) (55) (58) где ф(х, у, г, !) заменяет одну из шести величин Ех, Ег, Е„Вх, В«а В,. Для специального случая, когда е и р вещественны, положительны и не зависят ат частоты, уравнение (59) представляет собой классическое волновое уравнение для недиспергирующих волн. Эти условия выполняются в вакууме: 9=в=1. Нас интересует более общий случай нейтральной и нзотропной линейной среды, где е и «л — иомплексные величины, зависящие от частоты. При этом поля Е и В описываются комплексными величинами, зависимость ноторых от времени определяется множителем ехр ( — ио!). Таким образом, для всех шести величин, представляемых функцией ф(х, у, г, !), имеем лр(х, у, г, !) = ф (х, у, г) е-г'"е, (60) др — юзф д!е (6!) дВ ЧХЕ= — о —, с дг Заметим, что, положив р=« и в=1, мы получим уравнения Максвелла для вакуума.
В интересующих вас случаях р и е, как правило, комплексные, поэтому Е и В тоже комплексные, Например, для нашей простой модели р=! и е — колшлексное чи- сло, а физические поля соответствуют вещественным частям комплексных полей ЕиВ. Волковое уравнение.
Уравнения (51) — (54) являются линейными дифферен- циальными уравнениями первого порядка. Уравнения (53) и (54) не разделены от- носительно палей В и Е. Из них легко получить разделенные уравнения второго порядка. Образуем ротор уравнения (53) и затем используем уравнение (54): ре д ред'В ЧХ(ЧХВ) = — — (ЧХЕ) = — — —.
од! сздВ Точно так же возьмем ротор уравнения (54) и используем уравнение (53): ЧХ(ЧХЕ) = — — — (ЧХВ) = — —, —, 1 д редЕ од! с" дез' (56) Теперь воспользуемся векторным тождеством (см. приложение 1, уравнение (39)) Че((ЧКС) =-=Ч (Ч С) — Ч'С (57) и применим его к левой части уравнения (55) и уравнения (56).
Воспользовавшись равенством нулю производных Ч ° Е и Ч ° В, получим рв д'В, ре д'Е Чз — — — =О, ЧеŠ— — =„=О. с' д«е ' с' дВ Уравнения (58) в действительности состоят из шести различных уравнений, каж- дое из которых имеет следующий вид: Чгф(х, у, г, !) — — ' ' ' =-О, уздлф(х, у, г, !) о' дез (59) Подставляя уравнение (6!) в уравнение (59) и сокращая на ехр ( — )ы!), получим дифференциальное уравнение для функции координат ф(к, у, г): рэпер(к, у, г)+йдр(к, у, г)=0. Здесь комплексная постоянная й' равна юй йй=ре —.
(68) сй ' Комплексный показатель преломления. Определим комплексную величину лй, называемую лэадралюм ломал»к»ного лака»отеля преломления, так: пй = ре," (64) тогда еэй ый йй = л' -у =- уев с сй (65) Заметим, что так как е и р — комплексные числа, то йй и пй — тоже комплексные. Мы можем вычислить корень квадратный из )В и п'. Известно, что квадратный корень нз койшлексной величины — также комплексная величина. Таким образом, имеем комплексное волновое число й и комплексный показатель преломления л. Решения в виде плоскик волн. Общее решение уравнения (62) может быть представлено суперпозицией членов вида ~р (к, у, г) =ехр (й г=ехр ! (Йкк+й„у+й г), (66) где (68) 4 й»л йи+й»=п й =уз — й.
й, й й ты~ ы~ (6?) Тогда общее решение уравнеш1я (59) может быть записано как суперпозиция плоских бегущих волн: ф(к, у, г, У) =ехр [ — ! (ы! — )г.г)], где йз — комплексное число. Плоские еа,шы, распраетрамлющиесл вдоль оси г. В качестве частного случая рассмотрим случай, когда только й» отлично от нуля. Тогда общее решение представляет собой плоскую волву, распространяющуюся в направлениях +г и — г: ф(г, !) =[А»е»га»+А-е-гэ»] е-гыг. (69) Здесь +й и — й — два значения нвадратного корня из й', а А+и А- — комплексные константы.
Мы хотим, чтобы член ехр [)(йг — ют)] соответствовал волне, распространяющейся в напгпавленни + г; поэтому будем считать, что й соответствует корню квадратному из й с положительной вещественной частью (конечно, при условии, что комплексное число й имеет вещественную часть). Если й — чисто мнимая величина, то за й принимаем значение квадратного корня из йй, равное +г]й[. Связь мегкду Е и В а плоской волне. Решение (69) справедливо для каждой из шести величин Е„, Ег, Е„ В„, В , В , так как все они удовлетворяют волновому уравнению (59). Для получения этого волнового уравнения второго порядка мы отбросили некоторую информацию, содержащуюся в исходных уравнениях Максвелла первого порядка. Вернемся теперь к ннм и соберем потерянную информацию. Из равенств у В=-О и р. Е=-0 мы заключаем, что составляющие полей В» и Е, постоянны (для )г, направленного по осн г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
