Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 130
Текст из файла (страница 130)
(14) Д.З. Проникновение частицы в область пространства, «запрещеннуюо классической механикой Сумма потенциальной и кинетяческой энергии классической (нерелятивист. ской) частицы равна (1) где р»12т — кинетическая энергия, а У вЂ” потенциальная энергия. Положим, что пои О ~г ~Е потенциальная энсргия У=У», а от г.— Ь до, оо и от г=.О до — оо У вЂ” -1', (У >У,). Предположим, что классическая частица находитси в такой потенц~«алькой) яме. Это возможно в том случае, если полная энергия частицы лежит между Ут н У,. Тогда, если классическая частица находится в области между г=-Ои г=-(., она никогда «пе выберется» нэ этой ямы. Она «носится» туда н обратно между стенками, имея импульс р,— — ~- )» 2л» (Š— У») и меняя его знак после соударения со стенкой. Частица не может проникнуть в областть где потенциальная энергия равна У«, потому что тогда кинетическая энергия станет отрицательной: ро — =Š— У=-Š— У,= — (У,— Е) для Е ( 1'».
2га (2) Отрицательное значение кинетической энергии лля классической частицы не имеет смысла. Однако реальные частицы не являются классическими. Реальным частицам наряду со свойствами «твердых» частиц присущи снойства волн. Соотношения де Бройля р=ай и Бора Е= ам определяют днсперсионное соотношение Т»йо ю = ыо (г) и- — для о» > о»о, 2т (3) где юо(г) —= У (г) й Аналогич со связанными маятниками.
Соотношение (3) можно сравнить с дисперсионным соотношением для связанных маятников (в случае непрерывного приближения, см. п. 3.5) Коаэ юо=юо|(г)+ — йа для юо > юо М (4) о)в(з) =— ( ° Я (5) Для связанных маятников, когда ы меньше ы„волны не синусоидальны, Они прелставляют собой экспонеициальные волны, а среда, в которой такие волны распространяются, называется реактивной, Дисперсиониое соотношение принимает вид в К~а~ в ыз= «ов — — х', ыз < юе. Л (6) Здесь 6=1)х — глубина проникновения. Аналогично для волн де Бройля, когда ы меньше ыв, дисперсноиное соотношение принил«ает внд геЯ илчст. )(хз )гу ю=ыв(з) — —, ы < в)в (7) 2т Кинетическая энергия Š— У, для нашего случая будет равна Š— Уз = ' для О ~ з ~ Е, йвйв 2щ (8) 0 г йвхв Š— Уз= — — ' для других 2ш (р) ~~ дй) 487 Таким образом, для частицы с поло- й г жительной кинетической энергией соответствующие волны де Бройля сину.
ууг) г 1 соидальны (для однородной среды) и имеют волновое число йм Частицес от- в",) рицательной кинетической энергией со- )) г ответствуют экспоненциальные волны де Бройля, характеризуемые коэффи. Ряс. д.х электрон в конечной потенан. циентам ослабления х,.
Волновые функ- ных состояний электрона, в) Го'Фяк У (з) Гвокзеятзльнмнн линиями цни возможн х Ез я Е,яаквзвям уревяя энергии первой к перемещения которого ограничены по- второй молы )осяовизе я ~«гное возбув«лея- тенциальной) ямой, очень похожи по нов еоетояяня). б) веляевзя фукквюз еефо ме на «граничные модыз системы ноевого еоезоявяя )Из). з) волновая Функ- форме на «гран цня первого возбувгеявого еоезояяяя. снязанных маятников, описанной в п.
З.б. Таким образом, волновая функция )(г), соответствующая основному состоянию, синусаидальна в области положительной кинетической энергии (в дисперсивной области) с таким волновым числом, что йЕ немного меньше х. Прн з=О и з ††-Е синусоидальная волновая функция без скачка (гладко) переходит в экспонеициальную функцню, которая уменыпается до нуля на бесконечном расстоянии от днсперсивнай области. (Двэ самых низких стационарных состояния показаны на рис, Д.2.) Из зтога графика следует, что вероятность нахождения частицы в области координат, запрещенной классической механикой, не равна нулю.
Для з, меньших нуля, верояю)ость пропорциональна ) ехр ( — хв( — з)) )з, а для з, больших Е, она пропорциональна ( ехр ( — х,(з — Е)) ) з, Заметим, что если Уз стремится к +«о, то в соответствии с уравнением (9) х становится равным бесконечности и глубина проникновения 6 стремится к нулю. Именна этот случай рассматривался в п.
Д.2, где мы смогли сразу написать волновые числа разрешенных мод (состояний) и затем получить соответствующие энергии из дисперсионного соотношения. В настоящем примере конечной потенциальной ямы нахождение разрешенных значений й (внутри ямы) и х (вне ямы) требует большой вычислительной работы. ДА. Фвэовая н групповая сиорости волн де Бройля Для нерелятнвистсиого электрона с энергией Е и с постоянной потенциальной энергией (7 дисперсионное соотношение (см.
п.Д.2) имеет вид Ьз М= — + —. 2т й (1) Фазовая скорость равна ы Гьй Р о,э (й) = — = — + —, й 2гп (2) Скорость классической частицы равна р/т, т. е, йл/т. Таким образом, уравнение (2) может быть записано как 1 об (й) = — о (частицы)+ (3) 2 р [частицы) ' что является специфическим выражением, К счастью, оф (й) нельзя наблюдать непосредственно.
Скорость квантовомеханической частицы определяется скоростью волнового пакета, составленного из нескольких близких значений й, а не нз одного значения й. Скорость же распространения волнового пакета определяется групповой скоростью ого. Исяатьзуя уравнение (1), имеем (4) Соотношение между фазоаой скоростью, групповой скоростью и скоростью света такое же, как ндли радиоволн в новосфере, а именно о,ьо =са. Это происходит из-за подобия днсперсионных соотношений. Д.б. Волновое уравнение для волн де Бройля Гармоническая волна де Бройля (т. е. стационарное состояние) постоянного потенциала имеет вид ф (г, 1) =е гыт (Аег" г+ Ве-1"*). в области Тогда — = — (тоф(г, 1), дф (г, 1) д1 аф(г, 1) — =.
— гоз,Р(г 1) д(з =е-ь""((йАе'аг — 1йВе-га'). дг деф (г, 1) з йф(г 1) дгз (2) (3) (4) где индекс нуль означает, что производная должна вычисляться для й, лежащего в центре полосы ЛД, формирующей пакет. Таким образом, мы видим, что о„= =о (частицы), если взять импульс частицы (Ь)о, соответствующий центру пакета. Для свободных релятивистских частиц энергия, импульс и масса покоя связаны следукяцнм образом: Ез = (тсз)з+ (ср)з, (5) что дает следующее дисперсионное соотношение (напоминаем, что Е=уоы н р=йд): Рыз = (то г)'+ (Ы)т (б) Фазовая скорость оз=ы)Д имеет значение оз — — ы)й=-Е(р, которое равно сэ/о (частицы), т. е. больше, чем с.
Групповая скорость равна ды сзй сэр о,р — — — —— — — —— — — о (частицы). го — дЭ вЂ” „ (7) Для нерелятивистских частиц дисперсиоиное соотношение (см. п.Д.2) имеет внд лайз $ = — +)/. 2ш (6) Умножая уравнение (2) на Ел и используя уравнения (5) и (6), получаем Елдф(г, Е) лг дзф(г, Е) у„( (7) д/ 2«п дгз Уравнение (7) было выведено с помощью гармонических вола, являющихся его решением для постоявного потенциала. Однако нет причин для того, чтобы это уравнение было несправедливо и в случае, когда У=)е(г), т.
е, если потенциал за. висит от положения. Именно Шредингер предположил, что уравнение (7) остается справедливым в случае, когда У(г) пе постоянно. Уравнение (7) с (г=-Р(г) называется уравнением Шредингера (более точно, одномерным уравнением Шредпн. гера). Оно широко применяется в атомной физике. Когда нельзя пренебречь релятивистскими эффектами, уравнения (6) и (7) неприменимы. Для свободных релятивистских частиц дисперсионное соотношение имеет вид 7«змз =-7«зсз/гз+ (тсз)'.
(8) Умножая уравнение (8) на — йети(г, Е) и используя уравнения (3) и (5), мы получаем д»4 (г, Е),бзф(г, Е) (шс') д/з дгз йз Уравнение (9) называется уравнением Клейна — Гордона. Обратите внимание, что если мы положим я=О, то получим классическое волновое уравнение для недиспертирующих волн, распространяющихся со скоростью с. Это соответствует тому, что фотон имеет нулевую массу покоя. Д.б. Электромагнитное излучение одномерного «атома» Прежде всего снова прочтите пункт Д.2.
Рассмотрим установившиеся состояния для электрона в одномерной потенциальной яме с бесконечна высокимн стенками, координаты которых г= †/2 и г= †/2. Предположим далее, что состояние электрона определяется суперпозицпей основного состояния и первого возбуждевного состояния; ф (г, Е) =- ф, (г, Е) + ф, (г, Е), (1) ф,(г, Е) =А,е-е«е соей,г, й,/ =и, (2) фг(г, Е) = А,е- еьн/ з!и /г»г, й/.= 2л, (8) Вероятность (на единицу длины) нахождения электрона в положении г в момент времени Е равна (ф(г, Е) (з=-) Ате-/»че сов йтг+Азе-ем е з)п йзг)з.= =-А~т соззйтг+Аз ыпзйзг+2А«А« соз й г з!п й г сов (м,— ез ) Е.
(4) Мы видим, что выражение для вероятности имеет член, который совершает гармонические колебания с частотой биений между двумя боровскими частотами мт и аз. Взяв написанные ниже интегралы, легко получить выражение для г — среднего в пространстве значения г: «ь/г е./г ) ф(зйг=-(А,+А;) —, ) г) ф)~г/г= —,А А, соз(м,— ш) Е, Е 1' 166« - е./г — е./г ,') г)ф)'"г 826 А,А, г =-.
— соз (мз — шИ Е, ~ ) ф (з «Ег Ат+ Аз т. е. г =- (0,361.),, ' ',, соз (ыз — ич) Е (5) А(+А; Почему чистоте изяучения является частотой биений. Злектрон заряжен (()=- — е), поэтому он будет испускать электромагнитное излучение той же частоты, с нагорав он колеблется. Из уравнения (5) мы видим, что среднее полажение заряда колеблется с частотой биений ыз — ы,. Поэтому частота излучения равна частоте биений между двумя стационарйзыз(и состоянияьпи (6) а»кзк = юз ыз Д.7. Время иогерентности и оптические биения Можно получить интерференцию между волнами различных частот.
Зто справедливо как для оптических, так и для других явлений. Предположим, что имеем две световые волны 1 и 2, образующие электрические поля Е, и Ез. Пусть оба поля поляризованы по х (поэтому можно опустить обозначение вектора.) Полное лоле в фиксировзнной тачке пространства г будет суперпозицией Е, н Ез. Используя комплексное представление колебаний, напишем следующее выражение для супер(юзицив: Е (1) =Е(еив (е(т+Е е(м*(е(чь Поток энергии, который можно измерить фотоумножителем (выходной ток фотоумножителя пропорционален падающему патоку энергии), пропорционален среднему значению величвны Ез(1) за период Т чбыстрыхк колебаний„происходящих со средней частотой: <Е (Т)>= 2 [Ес(П [ = 2 )Ез+Е»+2Е(Е»сов [(ы,— ю) г+(ф( (р))) (2) Ток фотоумножителя, который меняется с относительно медленной частотой биений ю,— ы„можно измерить.
Какие требования накладываются на частотный диапазон» Напомним, что наша точка зрения состоит в том, что амплитуды в фазоаые постояяные медленно изменяются непредсказуемым образом. Фаза (р„например, дрейфует совершенно произвольно в диапазоне порядка 2л в течение интервала времени, равного времени кагерептности. Зто время в сво(о очередь является величиной, обратной частотному диапазону колебаний 1: (( (кот( ((»Ч») (3) 1» (ког! (Ат») (4) Ясно, что если мы наблюдаем биения, то отдельные компоненты должны сохранять своп фазы грубо постоянными в течение периода биений, Поэтому для наблюдения биений необходимо, чтобы оба времени когерентности были болыпе периода биений, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
