Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 132
Текст из файла (страница 132)
Напишем уравнения Максвелла в наиболее общем виде (в системе СГСЭ)1 Ч В=О, Ч'Е=4лрзсз«=4лрс»ьа — 4ЛЧ Р, 4л 1 дЕ 4л 1' 4л др) 1 дЕ Ч)~В= — !ясли+ — !своа+~4ЛЧХМ+ )+ с с д! ' с х ' с дг ) с д! ' 1 дВ х = — — —. едг' (Эти уравнения вы найдете во 11 томе Берклеевского курса физики «Электриче- ство и магнетизмы уравнение(1) — стр. 356, уравнение (1); уравнение (2) — стр. 332, уравневне (57); уравнение (3) — стр. 343, уравнение (19) (которое справедливо, когда М равно нулю) и стр. 385, уравнение (50) (которое справедливо, когда друдт и дЕ1дт равны нулю); ураннение (4) — стр.
246, уравнение (30).) Уравнения (1) — (4) можно записать и так: Ч.В =-О, Ч (Е+4ЛР)=4ярсвоа 1 д 4л ЧХ( — 4лМ) = дт (Е+4лР) + — !сноб ЧХЕ= — — —. 1 дВ с д! ' (8) Сумма Е+4ЛР обозначается (). Разность  — 4ЛМ обозначается Нс Е+ 4лр = (У,  — 4ЛМ = — Н. (9) Мы, однако, не будем использовать величины Н н Н. (1) (2) (3) (5) (6) (7) 493 *) Этот опыт описан в книге М. Миннарта «Свет и цвет в природе», Физматгиз, 1958, Я 188 — 193. Линейная изотролная среда.
Сила, действующая на точечный заряд д с координатами х, у, г в момент времени Е равна Р = дЕ+4 («/с)3(В, (1О) где Е и  — мгновеняые лака,«нные поля. В случае «непрерывной» среды для определения средних в пространстве значений Е и В л~ы пользуслюя понятием средней силы, приходящейся на единицу заряда. Мы считаем, что эти поля действуют на заряд и скарастгь усредненные по элементу объема. Таким образом, вводится понятие о плотности заряда и така.
Силы, действующие на заряды и токи и среде, вызвзны полями Е и В. Эти силы меняют распределение токов и зарядов и влияют ва Р и М. Говорят, что среда изотропна, если всктор поляризации Р коялинеарен вектору + Е, а вектор намагниченности М каллинеарен +В. Понятие изотропной среды включает и себя частный случай Р=О, если Е=О, и М= — О, если В=О.
Далее, если среда изогропна, то компонента поляризации Р„ (например) зависит только от соответствующей компоненты паля Е„ и не зависит от Ег и Е«. (В некоторых кристаллах век. тор смещения электрона из положения равновесия не совпадает по направлению с вектором Е. Это объясняется тем, что из-за иеизотропности кристалла электрон легче смещается в одних направлениях, чем в других). Итак, для изотропной среды имеем = ВЕх+ аЕ«+ 1Е«+ (11) Для слабых полей членами второго и более высоких порядков в уравнении (11) можно пренебречь. Эго справедливо для обычных электромагнитных полей в обычных веществах, (Для сильных полей, какие (например) создаются пульсирующим рубиновым лазером, нелинейные члены в Р могут быть существенны.) Среда называется линейной, если в уравнении (11) можно 1«ренебречь членами а Е„', ()Ех и т.
д. Мы видим, что «линейносты среды не является ее свойством, а зависит от силы поля. Опр«деление )(, )(м, в и )«для статических лелей. В случае линейной н изотропной среды электрическая носприимчивость )( и магнитная воспрвимчивость )(„, (для полей, не зависящих от времени) определяются следующим образом: Рх(х, у, г)=.-)((х, у, г) Е (х, у, г), (12) М„(х, у, г)= — ~ В„(х, у, г). (13) Р Диэлектричесная постоянная е и магнитная проницаемость Р определяются так: Е„+4яР„=«Е, (14) Вх — 4яй(х= — дх ! (15) Р Объединяя эти определения, получим 1+ 4яу =- е, ! — 4п — = —. Кт 1 (17) Р Р (Сл«.
П том: уравнение (!4) — стр. 323, уравнение (38); уравнение (15) ' — стр, 388, уравнение (55) для М=у Н и стр. 386, уравнение (52) для Н= —  — 4пМ. Ура- внение (15) определяет Н=В)р.) Восяриим«ивости для нолей, зависящих огя времени. Мы хотим распространить эти линейные соотношения на случай зависящих от времени полей в линейной изотропной среде.
Можно было бы думать, что уравнение (12) будет справедливо и для переменных полей, т. е, что Р(х, у, г, !)=)(Е (х, у, г, 1), где)( — значение, полученное из статических измерений. Как будет показано, это неверна. В общем случае электрическая и магнитная восприиьшивости зависят от частоты, и «общей» для всего спектра восприимчивости не существует. Поскольку восприимчивости зависят от частоты, то можно было бы ожидать, что в общем случае уравнение (12) примет вид Р„(х, у, г, ы()=у (х, у, г, ю) Ех(х, у, г, ю().
(18) 494 Аналогичное выражение мы имели бы и для Мх. Однако мы найдем, что даже уравнение (18) слишком упрощает дело, поскольку из него следует, что Р„пропорционально Е„в любой момент времени, т. е. что Рх находится и фазе с Е„(с точностью до знака). В общем случае нужно предположить существование компоненты рх, сдвинутой по фазе на +90' относительно Ех. Мы увидим, что компонента рх, ко. тараи находится в фазе с Ех, ие приводит к поглощеии»о средой электромагнитной энергии.
Поэтому будем называть ее «упругой» компонентой или компонентой дисперсии. Другая компонента Рхп сдвинутан на ~90' относительно внешнего поля Ех, обуславливает поглощение энергии. Мы назовем ее «неупругой» кампо. неитой Рх или компонентой поглощения. Величину Р„(х, у, г, в() запишем как сумму обеих компонент. Для линейной однородной среды упругая компонента поляризации пропорциональна Ех (х, у, г, вт) с коэффициентам пропорциональности Х пр (х, у, г, в). Неупругая комповента пропорциональна Е (х, у, г, в( — «н»п) со своим коэффициентом пропорциональности упогп (х, у, г, в): Рх(х, У, г, в()=-Х п (х, У, г, в) Ех(х, У, г, в()+ + Хпогп (х У г в) Ех (х У г в( 1»п) (19) Рассмотрим данную точку пространства и опустим коордиваты х, у, г. Предположим, что в этой точке Ех (в() = Ео соз (в( — ор). (20) Тогда из уравнения (!9) получаем Рх(в()=Хтп»Е.
(в()+Кп,„,Е (в( — У«п), (21) т. е рх (в() =ХупрЕо саз (в( — Ч)+Киота Ео з)п (в( — ~р) (22) Простая модель линейной изотропной гргдьь Предположим, что в небольшой окрестности данной точки среда содержит М нейтральных атомов ва единицу объема. Каждый атом состоит из частацы (электрона) с массой М и зарядом у (знак у пе оговаривается), связанной упругой силой, пропорциональной смещению, с более тяжелым ядром, заряд которого равен по величине и противопо. ложен по знаку заряду д. (Сюда мы включаем и тот случай, когда частота колсба.
ннй в„ равна нулю, т. с. нейтральную плазму.) Мы пренебрегаем относительно малым смещением ядер и окладом этого смещения в Р. Мы предполагаем, что у атома нет ни постоянного, ни наведенного полями магнитного момента. Поэтому намагничение равно нулю. Далее, мы пренебрегаем флуктуациями и нерегулярностями в движенаи отдельных частиц и считаем, что каждая частица ведет себя как яекая фиктивная средняя частица. Такое предположение означает, что каждая частица находится под действием силы электрического поля е„(вг) в месте нахождения частицы и некоторой средней силы, обуславливающей затухание *). Последняя учитывает потери энергии частицы вследствие соударения с соседними частицами (или вследствие излучения).
Пренебрегаеь» также силой д(п(о) )~ В, действующей на частицы, по сравненвю с силой дЕ. Зто пренебрежение справедливо в отсутствие постоянных магнитных полей н при малых значениях отношения агс. (Оно остается справедливым даже в случае силы»ых электрических полей, образованных пульсирующим рубиновым лазером.) Таким образом, мы змеем следующее уравнение двнжения для х-компоненты заряда: Мх = — Мв~Ф вЂ” МГх + ЧЕх, (20) (24) где Ех (в() — — Ео соз (вг — 4»). Демпфирующая сила — МГх определяет рассеяние в среде энергии колебаний заряда.
Зта рассеинная энергия в конечном счете переходит в теплоглу. Уравнение (24) ивановна в предположении, что амплитуда поля Ео и фаза ф определяются положением равновесия заряда д и не зависят от его мгновенного смещения х(1) от положения равновесия. Зто означает, что амплитуда колебаний заряда д очень мала по сравнению с длиной волны, характеризующей изменение *) Для краткости мы будем называть ее демпфирующей силой. 495 Е„ в пространстве и во времени. В противном случае следовало бы учесть зависимость Ео и ф от смещения х. Будем считать, что локальное поле Е„ в уравнении движения (23) совпадает с усредненным по пространству полем Ех йз уравнения (21). Зто справедливо для газа и для некоторых кристаллов. (Во многих кристаллах электрическое поле, действующее на заряд, определяется ближайшими соседями.
Поэтому в общем случае среднее локальное поле не совпадает со средним полем в пространстве.) В п.3.2 было показано, что «установившееся» решение уравнения (23) имеет вид х (Г)= Агар соз (ву — ф)+Ап„,п вп (<оу — <р), где А„пр со (ву — <р) — упругая компонента смещения х, т. е. та часть смешения, которая находится в фазе с возмущающей силой, а Ап„пз1п(в! — <р) — неупругая компонента смещения.
Она сдвинута по фазе на+90' относительна возмущающев силы. Упругие и неупругие амплитуды') равны Е (в,' — в') Азор=в (во« вЂ” о» )'+ 1' в <)Ео Гв М (во — в«)»+Г»ва (25) (26) Сравнивая уравнения (29 и (21), находим И<[А, пр Лф«(в«< а) Ео М (во «вЂ” в«)«-1-Гово (30) Л ада.„. Л[р«Г Е М (<п«<о«)з+ 1'» о (31) Комплексном полинины п уравнениях Мих<еелла. Уравнения Мансвелла не содержат квадратного корня из — 1. То же можно сказать и о,любой нз наблюдаемых величин Е, В, Р илн М. Однако мы сильно упростил< вычисления для электромагнитных волн в среде с лолли<[гинеи, если воспользуемся комплексными величинами. Если пренебречь поглощением, то уравнение (21) прянимает более простую фоРмУ: Рх (в[)=7(в)Е«(в[), где У(в)=Угвр.
Оно аналогично УРавненвю (18), которое в сваю очередь подобна (для нашего случая) линейному уравнению (!2) для статических полей. В этом случае выражения(12) — (17), определяющиедиэлектрическую постоянную и магнитную проницаемость, могут быть использованы и для переменных во времени палей. Если поглощением пренебречь нельзя, та уравнение (18) следует заменить батсе сложным уравнением (21). Действительно, мы должны учесть и компоненту, сдвинутую иа +90' относительно поля (то же и для М).
Поэтому счедует рассматривать отдельные компоненты Е(в[), Е(ву — <7»я), В(ву), В(в[ — '/«и) и соответ<твующие им компоненты поляризации и намагниченности. Удобным способом избавиться от этой «бухгалтерии» является использование комплексных величин, которые мы обозначим Е, В, Р и М, имея в аиду, чта фи*) В главе 3 мы называли их амплитудамн дисперсии и поглощения, соответс<венно. (Приди ред.) Поляризация Р„равна концентрации частиц ЛГ, умноженной на дипольный момент дх, соответствующий заряду д, смещенному ва х от положения равновесия. Такам образом, имеем Р„(1) = Л[<)х ([), (27) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
