Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 136
Текст из файла (страница 136)
Подставляя зти значения в ряд (3), получим при х„=0 2хц 1ях=х+ — + — '+. 3 !5 (19) Биномиалькмй ряд (1+х)". Воспользуемся равенствами г! (!+х)к/Ых= =л (!+х)"-г, г/е(1-/ х)ч/дхе=-и (л — !) (1+х)"-з, г!з (1+х)в/г/х"'=л (л — 1) (л — 2) Х )С(!+х)ч-з и т. д. Подставляя нк в ряд (3), получим при хе=0 л(л — 1) хз л(л — 1) (л — 2) хз 2! 3! Уравнение (20) справедливо для любого положительного илн отрицательного л и для любого положительного или отрицательного х, удовлетворяющего условию хз(1. П.З. Суперпозиция гармонических функций В волновых явлениях встречаются суперпозиции Л' гармонических функций вида и(1) =совет!+сов(юг+а) /+сов (ег+2сг) 1+... +сов [ег+(5/=1) а[1, (21) и (г) = соз /гг+ сов (/гг+ [1) + сов (/за+25) -[-...
+ сов [Ог+(д/=1) р[, (22) 510 Соотношения, е каторге входит зкелокекжл. Если в уравнении (6) положить а=+1 и сравнить его с уравнениями (7) и (8) н сделать то же для а= — 1„получим е" = — обх+ збх, (9) е-к=сЬх — зйх. (10) Эти уравнения могут быть решены относительно сЬ х и зЬ х! ек+е-х сЬх= —, 2 Обе эти суперпозиции можно записать следующим образом; и=сов О,+сов(0,+у)+сов(О,+2У)-1-...-[-сов[0,+(5 — цу[. (23) Мы хотим найти удобное выражение для сумъгы (23).
Заметилп что и является действительной частью следующего выражения: в=егз+ензгьт'+е!в~+а!!+...+е!" +"ч г'т1=егзЮ, где 5 — сумма Лг членов геометрической прогрессии; 5=1+а+аз+аз+... +ал -г, где а=ей. Ум!южим 5 на а. Затем вычтем почленно 5 из а5, получим а5 — 5=ад' — 1, (20) (23) т. е. ад' — ! Егд'т — ! Е Л1ЛГт (е 1*1Л'т Е-'ЛЛУГ) 5 — еый (еы1т — е Лтт) — ч Ы, тсл'-и ! з(п цз Л'у з1п Ц,у [мы использовали равенство (16)!, Подстановка уравнения (27) в уравнение (24) дает и =- соз [8, + Ц, (Л' — Ц у) з(п Ц, )т' (20) ып",,у Взяв действительную часть этого выражения, получим нскомый результат: з!и ",, Л'у и= сов [От+э,' (Я вЂ” Ц у[ —.
э!и ",', у Он могкет быть записан в другой, более удобной форме. В выражении (23) От— аргумент первого члена. Аргумент последнего члена (назовем его 0 ) равен О,= —.О,+(Лг — Ц у. (30) Среднее первого и последнего аргументов равно О„==Ц,(0,+О,)=- 1,О,+Ц,О,+У,(5 (ЗЦ Первый член в рзвеистве (29) равен соз О,р. Кроме того, из равенства (30) следует, что у=. (Ое — Ог)!(Л' — Ц.
Подставляя соз О,р н у в равенство (29), получает~ з!п [Ц, Л' (О,— О,аут' — Ц[ з(п [Ц, (Оз — В,)1(Х вЂ” 1Д (29) 311 Выражение (29) зависит от величины у, равной приращению аргументов двух последовательных членов ряда (23). Равенство (32) эквивалентно (29), но выражено через первый и последний аргументы 8, и Оз и их среднее. Заметим, что сов йсрв гармоническое гсолебание той же формы, что и каждый член суперпозиции (23), но вместо единичной амплитуды это колебание имеет амплитуду А(0п Оз, )у) Разную А (О О Л з1п [!з Лг (Оз — 01)1(Лг — ц[ (33) '=- Ып[г),(О,— О,ИЛ вЂ” )Д Наиболее компактное выражение для нашего результата имеет вид и =-А (Оы О,, Л') соз О,р. (34) Случай К=2 для колебаний во времени [уравнение (2ц[ соответствует биениям, а для колебаний в пространстве [уравнение (22)) — интерференционной каРтине от двух щелей.
Для колебаний во времени большие значения Лг вызывают чмодулн. цииз, что в пределе при )у-~-сч приводит к появлению импульсов. Для колебаний в пространстве большие значения !у приводят к интерференционной картине от многих щелей, и в пределе при Л!- оэ мы получаем дифракционную картину от одной щели шириной в много длин волны. П.
4. Векторнме тождества Воспользуемся буквами А, В, С для обозначения скалярных функций от х, у и г: А (х, у, г), В (х, у, г) и С(х, у, г). Аналогично через А, В и Сбудем обозначать векторные функции от х, у и г. Под функцией А мы понимаем вектор х А „(х, у, г)+ +уАу(х у г)+хА (х, у, г), где х, у, и х — единичные векторы. Нас интересует, как работать с «оператором набла> Ч, который одновременно является вектором н оператором взятия производной. «Фокус» в том, чтобы выражения с оператором Ч записывать таким образом, чтобы была ясна его «двойная» роль. Например, в выражении Ч (АВ) =(ЧА) В+А (ЧВ) =ВЧА+АЧВ (35) первое равенство следует из правила дифференцирования произведения. Во втором равенстве круглые скобки излишни, потому что по условию оператор Ч дифференцирует только то, что стоит справа от него.Мы можем временно писать Ч , когда Ч действует только на А (или А), и Чь, когда Ч действует только на В (или В). В этом случае мы должны «позаботиться> о правиле дифференцирования произведения.
Затем мы перемещаем операторы н векторы таким образам, чтобы величины, которые не следует дифференцировать, оказались слева ат оператора набла. При этом мы не должны забывать о правилах обращения с векторами. В иопце индексы а и Ь можно опустить. Ил«еелл Ч ( )=Ч«(АВ)+Чэ(АВ)=ВЧ«А+АЧьВ=ВЧА-(-АЧВ. (38) (аналогичные выражения для у и г), где д> д» д> Ч' = =— + — + —. дх> ду> дг> ' (41) ПРИЛОЖЕНИЕ !1 О построении электрических единиц в системе СИ В большввстве учебников по электротехнике и в ряде учебников физики применяется система электрических единиц, называемая рационализированной системой МКС.
Зта система представляет собой раздел электромагнитных единиц системы СИ. В нее входят механические единицы, из которых основными являются метр, кило«ромм и секунда. Единица силы в системе СИ называется ньюнюном и представляет собой силу, которая сообшает массе в один килограмм ускоре- 512 Аналогвчно Х(АВ)=ч«Х(АВ)+чьХ(АВ)=Вч«ХА АХчьВ=Вч ХА — АХ17В.
(37) После некоторой практики промежуточные равенства вам не панадобятсн. Теперь мы хотим найтв, чему равна величива ЧХ(ЧХС). Считаем, что вы знакомы с равенствами АХ(ВХС)=В(А С) — С(А В)=— (38а) =В(А С) — (А В)С, (386) Мы люжем использовать последнее равенство, заменив А и В на оператор Ч. Мы дол;кны оба оператора Ч иметь слева от С, так как они дифференцируют С. Поэтому мы не можем использовать выражение (38а), а должчы работать с (38б). Похож>>>> ЧХ(ЧХС)=Ч(Ч С) — (Ч Ч)С.
(39) Для компонент х, у и г этого выражения имеем (Ч Х (Ч ХС)).=-,„' — ЧСх д (Ч.С) (40) ние 1 м1«гк'-'. Таиим образом, ньютон эквивалектен 10«дин. Соответствующая еди. ница энергии (ньютон Хметр), илк джоуль, эквивалентна 1О' эрг. Электрические единицы системы СИ содержат известные нам «практические» единицы — кулон (и), вольт (в), ампер (а) и ом — наряду с некоторыми новыми.
Кто-то заметил, что давно известные практические единицы можно объединить в за:«онченную систему, построенную следующим образом. Напишите закон Кулона в ниде (1,1): р«=й —, д«д«гм г»« Вместо того, чтобы считать й= 1, найдите значение Д, если сила г« измеряется в ньютонах, д« и 4« — в кулонах и ㄠ— метрах. Зная соотношение между ньюто- ном и диной, между кулоном и ед. СГСЭч н между метром и сантиметром, вы легко вычислите, что коэффициент й должен бйть равен 0,8988 1О'».
(Два заряда по од- вому кулону, находящихся на расстоянии в адин метр, создают силу около мил- лиона тонн!) Вместо й лгы люжем написать 11(4лв«), где величина постоянной ев такова, что 11(4ле«)=4=0,8988 10««. Теперь закон Кулона можно записать так: г" = — —, Ог Чз (2) 4ле« (б) где постоянная ев равна в» = 8,854 ° 10-гз йа«'(н мк). (8) Выделение коэффипиента 1!4л предпринято для исключения величины 4л в большинстве электрических формул за счет введения этой величины в ряд других формул (иак, например, в данном случае в закон Кулона). Это — все, что сделала «рационализированная» система.
Постоянная е«называется диэлектрической постоянной (или «диэлектрической проницаемостью») вакуума. Элеитрический потенциал измеряется в вольтах, а величина электрического поля Š— з вольтах на метр. Сила, действующая на заряд 4 в поле Е, равна Р (н) — — — «)Е (и в,'м). (4) Один ампер равен, конечно, одному кулону в секунду. Сила, приходящаяся на метр длины каждого из двух параллельных проводов с током ! (в амперах), расположенных на расстоянии г метров друг от друга, равна ((н)м) = — ' — — .
9« 2Р (в«1 (5) 4л г (м)' Вспомнив эту формулу в системе СГС: 21«(ед. СГСЭ«,сгн)» 1 (дин!см) =— гс' (гм'1«гн') мы вычислим, что величина р«14л доляага быть равна 10-'. Таким образом, постоянная р«, называемая магнитной праницаемостью вакуума, равна р«=4л.)0 ' н!аз (точно). (Т) Магнитное поле В определяется силой Лоренца следующим образом: Р (н) =дЕ+«)ч У( В, (8) где ч — скорость частицы в м)сгн, д — заряд частицы в кулонах.
Для В требуется новая единица. Эта единица называется глгсла или вебер!м', она в точности равна 10' гс, В этой системе вспомогательное поле Н выражается а других единицах и связано с В в вакууме следующим образом: В=р«Н (в вакууме). (9) Соотношение между Н и свободным током следующее: ~ Н'д8 = !«»вб (10) где 1„«в — свободный ток (в амперах), охватываемый петлей, по которой против часовой стрелки взят линейный интеграл. Поскольку дВ измерено а метрах, 17 Фг'Крауфорд 513 единица для Н называется просто ампер ни мггпр.
Уравнения Максвелла для полей в вакууме в рационализированной системе МКС (т. е. в системе СИ) имеют следующий внд: сВч Е= —, го1 Е Р дВ во ' д( ' дЕ сНч В=О, го1 В=-р,во — +ре) еод! Если вы сравните эти уравнения с теми, поторые были написаны в гауссовской системе единицСГС и в которые входит значение с, вы увидите, что уравнения (! 1) содержат волновую скорость 1/Р се)ле (в мговк, конечно). Иными словами, 1 в„р,= —. ов В гауссовской системе единиц СГС единица заряда (ед. СГСЭч) была установлена законом Кулона при йнм 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
