Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 134

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 134)

Мы не рассматриваем специальный случай нулевой частоты, поэтому эти постоянные можно положить равными нулю. Таким образом, остались лишь Е„, Ег, В„и В . Для простоты рассмотрим случай линейной поляризации по оси к, когда Е„отлично от нуля, а Е„равно нулю. В соответствии с уравнением (69) имеем Ек (г, ») = — (Е+егй +Е"е-гй ) е"г"'г, (70) где Е+ и Е- — комплексные постоянные. Из уравнений Максвелла (53) и (54) находим, что В„равно нулю, а Вг н Ек связаны следующими уравнениями: дВГ ре дЕ» дВу дЕ» — — — — — = — с —. (7!) дг с дг ' д! дг лз=!+! ТГ3=2ехр (! — л), 3 . л — /1 — 1 л = 'ЬГ 2 ехр ! — =- !Г 2 ( — У 3+ — 1) = 1,225+ 0 707;, (к2 2 (74) й= л — = 1,225 — +0,707! †. с ' с с ' Пусть волна линейно поляризована по оси х и распространяется в направле.

янн +г. Тогда Е-=О. Возьмем Е+=Еь где Ео — вещественное число. Тогда Е 1гг»,оц Е г — о,тот !и/'1» ги Вмооо»/»1-0 х= о о В. =лЕ„=- $' 2 Е„ехр (! — ), В рассмотренном примере волна распространяется в направлении +г. длина волны в среде (т. е. расстояние, на котором фаза возрастает на 2л) составляет (1,225)-' длины волны а вакууме. Амплитуда волны уменьшается с расстоянием по экспоненте. Магнитное поле по величине в )» 2 раз больше электрического и опережает его по фазе на 30'.

Отражение и преломление лхоских голи. Предположим, что среда ! и срела 2 представляют собой различные однородные среды, плоскость раздела которых совпадает с плоскостью г=О. Среда 1 занимает все пространство отрицательйых г, а среда 2 — все пространство положительных г. Плоская волна создается источником в г= — оо. Такой источник дает волну, распространяющуюся в направлении +г На границе обеих сред возникают отРа»ценная и преломленная волны. для про.

аготы ограничимся нормальным перпендикулярным падением. Пусть падающая волна линейно полярвзована вдоль аси х и имеет комплексную амплитуду Е„. Пусть, далее, )7,о и ҄— комплексные амплитуды отраженной и преломленной волн. Имеем Е (1)==1.ез!О,» — 0-)-й, е-Гшра П (75) Е„(2) = Т„е! '"*»-"г', (7б) где Ех(!) — палиае поле в сРсдс 1 (т. е. сУл1ма пРцшедшего из -г н отРаженного полей), Е„(2) — полное (т. е. преломленное) поле в среде 2, а А»о н Тг — неизвестные комплексные постоянные, которые нужно найти.

Если Ех известно, то, чтобы найти Ву в обеих средах, можно использовать уравнение (72): В (!) =-л,е"М-о»»' — л,цгое ' А»-ио>, У (77) В„(2) =л,Т„ег !ь*»-' г>. (78) Граничные условия лри г=О. Так как в пласности г=-0 имеется разрыв непрерывности, мы не можем использовать уравнения Максвелла для однородной среды при переходе через зту плоскость раздела. Вместо этого воспользуемся уравнениями Максвелла (47) — (50) для линейной изатропной среды. Предположим, что Используем тот факт, что форма В, определяется уравнеццем »80, ния (71) дают цеь~ ( ).

Тогда уравне В (г, 1) = л (Е+ ег" » — Е -е- го ) е-! С Таким образом, если задано электрическое шэш Ех (см. уравнен 70 ' В ю компоненту Е полностью определено уравнением (72). Рассмотрев ненулевую кач мы получили бы ана, огичные результат В бщем случае реву.

агаты У, ультаты ззктача ются в том, что для компонент поля, распространяющихся в направлен ях + х поля В и Е связаны соотношением оапразлениях .1- х, В "=+к)((лЕ+), В =- — г)((лЕ-), (73) где верхний индекс указывает на распространение по+а нли по — г Во ц этих соотношениях л и й — в общем случае комплексные величины Численный пример комплексного показателя преломления.

Предположим чт„ мы имеем среду с В=1 О из=1+! Рх 3 для чгстоты сх Тогда обе среды нейтральны и что в плоскости раздела нет поверхностных зарядов или токов. Представляют интерес два уравнения Максвелла, содержащие ротор поля: )7 Х (В/)г) = — — = — 1 — еЕ 1 д(еЕ), я с д! с (79) 1дВ .ю 'РХЕ= с ! 1сВ' од! с (80) ~(РХС) бд=фс 31, (81) где 1(А — элемент площадн поверхности, а И! — элемент длины контура, ограничивающего площадь. Применим теорему (8!) к вектору Сем у (В >Р). В качестве контура интегрирования возьмем контур, состоящий из двух частей: одна часть контура является отрезком, параллельным направлению ц у и расположенным с одной стороны от плоскости г=-О, а друган часть контура является таким же отрезком, параллельным первому, но расположенным с другой стороны от плоскости.

Расстояние между этими отрезками равно небольшой величине Лг. Прн стремлении Лг к нулю площадь, охватываемая контуром, стремится к нулю; поэтому поверхностнын интеграл в левой части уравнения (8!) также стремится к нулю, если выражение уХС не бесконечно (а ово не бесконечно).

Таким образом, контурный интеграл в правой части уравнения (81) равен нулю. Отсюда следует, что компонента С, касательная границе раздела, одинакова с обеих сторон от границы. Следовательно, тангенциальная компонента В!)г при переходе через границу не меняется; она непрерывна при г=0. Точно так же непрерывна и тангенциальная компонента Е при г=О. Непрерывность Е„цри г=О дает [используем уравнения (75) и (76)) 1+)(11 = Тгз (82) Непрерывность Н =В 7)ь при г=-0 лает [используем уравнения (77) и (78)) и, л, — (1 >111) = — Т (83) Р1 !11 Определим характеристический импеданс (с точностью до коэффициента пропорциональности) следующим образом: 2 1' ~ .)/ (84> Решая уравнения (82) н (83), получим 21 — 21 )711 =2 2 Т11=- 1+ Игм (85) 1-1- 1 Для специального случая, когда магнитная проницаемость р равна единице, имеем 2==я-1.

Тогда уравнения (85) примут внд л,— л, >!11= — 711=1+)!11. (86) Л1+ПЗ ' Для случая, когда среда 1 — ваку>.м, а среда 2 обладаег комплексяым показателем преломления а=по+1лг, уравнение для К„(86) примет внд — = =[ Й [ ехр йр. 1 — п (1 — по) — ьчг 1+л (1+ля)+наг (87) Лмплитуда отраженной волны равна произведению [)![ на амплитуду падающей волны.

Временная зависимость для отраженной волны принимает вид ехр ( — йа !+1ф), где 1р — задержка фазы, возникающая при отражении. Относительная 502 В нашей задаче Е=х В„, а В= у В . В соответствии с теоремой Стокса для любого вектора С имеем интенсивность отраженной волны равна ))1» )», т. е. (1 — ня)»+а* )Е.)«= (1+ ~п)»+ г«~ П р п и е р. Простая модель диснсрсионного соотношения дхя проводника.

Обрати»«ся к нашей простой модели. Положим, что «коэффициент жесткости» атома К= — Мы'; в этой модели равен нулю. Это значит, что движение электронов <в средне»м описывается следующим уравнением Лвижения: к+Гх = — Е„. Это уравнение яви»кения соответствует свободным электронам, на которые, кроме силы электрического поля Е , действует некоторая средняя сила торможения, Такова наша модель проволника.

Расс»<отрим постоянное электрическое поле, внезапно возниншее в момент времени Г=-О. Скорость х будет экспоненциально возрастать, пока не достигнег «конечной скорости», определяемой из условия х=О [уравиенне (89)): х = — (1 — е ); х = —, когда ()) Г-«. аЕ« -гг ГМ ГМ ' (90) Величина Г, имеющая размерность частоты, т. е. сск-«, показывает, как быстро достигается «конечная скоростю. Обратная величина Г г соответствует времеви релаксации «переходных» токов при внезапном изменепнн поля.

Область низких частот; «чисто активная» проводимость. Если частота ы поля мала по сравнению с коэ4хйицненто««затухания Г, то заряды всегда будут обладать конечной скоростью, отвечающей мгновенному значению поля Е„, н фазовое соотношение между х и Е» будет практически тем же, что и для очень малых частот, В этом случае говорят, что среда обладает чисто активной электрической проводимостью. Из уравнения (90) следует; х(1)= — д —, когда ы((Г. дЕ (() ГМ (91) (89) умножим это равенство слева и справа на д<<), т. е. на величину, которую можно назвать «концентрацией заряда». Тогда слева мы будем иметь плотность тока Л<)х и формула (91) примет вид Я = Нах=й(а( —,,«) ==-аосЕх. ЧЕх (,ГМ)— (92) Мы получилк, что плотность тока йх пропорциональна электрическому полю Е .

Это закон Ома, и коэффициент перед Е„представляет собой «чисто активную» электрическую ироводп»кють аг»с. Формула (92) показывает, как величина ос<с связана с коэффициентом затухания Г; аюс= для ы((Г. Л'4» (93) Для балыках частот скорость х наряду с компонентой, находящейся в фазе с Е, будет иметь компоненту, сдавнутую на +90' относительно Е . В этом случае, чтобы получить установившеесн решение уравнения (89), удобно воспользоваться комплексными величинами с зависимостью от времени, определяемой экспонентой ехр ( — гыу). (Мы получим его, если положим в решении (44) ы«=0.) Комплексная проводимость определяется следующим образо»и ух = ~с)х = Хц ( — иох) =- — (ыРх —— — (ыХЕх = а (ы) Е„, (94) Отсюда а (ы) = «ФХ= «ы (Хупр+ «Хпьг») =- ыХаьгх (ыХуар.

(98) Мы видим, что сели проводимость а(ы) — вещественное число, то скорость х находится в фазе с Е„ и а пропорциональна неупругой электрической восприимчивостк. Величины Х(ы) и а(ы) можно записать в виде выражения с комплексными 603 знаменателями, как это сделано в уравнении (45). Если в этом уравнении поло. жить ва=О, то йгда 1 х(о) =— М вЂ” вз — !вГ ' !удз ! о и (а) = — !вХ (в) =— М в — гаг В приближении в (< Г можно пренебречь вз по сравнению с вГ и мы имеем , Л~дз 1 Х(а)=-! М Г, в(<Г, МвГ' (97) (98) 54 и (а) = — = о (О) = прс, а «Г МГ (99) Мы видим, что в ннзкочастопюм приближении 0= в«Г проводимость п(а) вещест. асина и равна значению а(0), полученному длн постоянного поля. Скорость х находится в фазе с Вю Комплексная электрическая восврнимчнвость Х (а) является чисто мнимой величиной для а (< Г, в соответствии с уравнением (98). В этом случае комплексное выраигение для квадрата показателя преломления и' имеет вцх и =1+4лХ=!+! Г 1+! Г' .4лЖда 1 .вр М аГ (100) а 4л5/дз М (101) — так называемая плазменная часшоша.

Характеристики

Список файлов книги