Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 135
Текст из файла (страница 135)
Мы рассмотрим два предельных слу'гая среды с «чисто активнойз проводимостью: разреженную и плотную среды. С л у ч а й !. /зазрежелная сра)а. Вэтом случае а, Г и а„удовлетворяют пе- авенстаам Р а„~( Г, —, (< а (< Г, и в соответствии с уравнением (100), если пренебречь членамн боаее высокого порядка, чем ая/вГ, мы имеем и 1/ 1, ор л= ~1+! — ~ ~ 1+ — ! —,. вГ ~ 2 вГ' Тогда комплексное волновое число равно в в , ! вр в 2л! й=п — = — +! — Г = — -'- — ппс (104) (103) В последнем равенстве использованы уравнения (10!) и (93).
Вещественная часть й так зке, как и в вакууме, равна в/с. Мнимая часть волнового числа й определяет экспоненциальное затухание бегущей плоской волны. Она значительно меньше вещественной части, и поэтому средняя длина ослабления велика по сравнению с ллиной волны. Инлмлсивносгль плоской волны пропорциональна квадрату модуля комплексной амплитуды. Она экспоненциально уменьшается с расстоянием, и это уменьшение определяется членом ехр ( — 2й!г), где й,— мнимая часть й. Расстояние Л вЂ” (2й,)-т, на котором интенсивность уменьшается в е раз, определяется из уравнения (104): — = — 2йг = — опс, или 1 4л рос 4л с ' б с (!05) Величина р/д равна сопротивлению прямоугольного параллелепипеда тшщиной 504 Поэтому в этом случае импеданс среды мал по сравнению с импедансом, создающим согласованную нагрузку (первый случай).
Вот почему знак амплитуды изменяется при отражении. Мы видим, что существует большое количественное различие между разреженной и плотной средами с электрической проводимостью. Можно сказать, что разреженная активная среда практически непрозрачна, т. е, она «черная». Такая среда почти полностью поглощает падающее на нее излучение. В противоположность этому плотная активная среда действует как очень малая сосредоточенная нагрузка. Такая среда почти полностью отражает падающее излучение. И, наконец, следует помнить, что все сказанное заключено в неравенствах (102) н (!08), Они дают занисимость свойств проводника от частоты.
Напрчмср, любой проводник, всоответствии с условием (108), ведет себя как плотная активная среда, если только частота в достаточно мала. С другой стороны, проводвнк не может быть «разреженной активной средой» для любых частот, если не выпал. няется неравенство Г>)«о . Если это условие удовлетворено, то проводник представляет собой разреженйую активную среду в диапазоне частот, определяемом неравенством (102). Высокочастотный предел. Уравнение (89) определяет движение отдельного «среднего» заряда. Если зависимость от времени имеет вид ехр( — )а1), это уравнение можно переписать так: — иэх+Гх = — Е Ч М (112) х= — Е„, в>) Г.
14 х (ПЗ) Множитель ! в этой формуле означает, что скорость сдвинута по фазе на 90' относительно силы и поэтому за период рабата над зарядом не совершается: поглощение отсутствует'). Комплексная проводимость будет чисто мнимой: . Р14» ,1„= Ждх= « — Ех =— а (в) Ех, — х= . 1»'д» а(в)= — « —, в>)Г. вМ ' (См. уравнение (9», где пренебрегаем вГ по сравнению с в».) Квадрат хомплекснаго показателя преломления и' равен 4п!»»д» вр и = 1+ 4п у =- 1 — — » = 1 — », в >) Г. (1!4) (1 15) В высокочастотном пределе существуют два качественно различных случая. С л у ч а й 1.
Дислсрсивяая полоса частот. Зтот случай определяется неравен. ствами Г (( вр «~ в, (11б) В соответствии с уравнением (115) запишем т. е. Ом п»с 1 (1!» О~в ~1. (118) Таким образом, для проводника в дисперсивной полосе частот показатель преломления и — вещественное числа, принимающее значения мень«у 0 и 1. Среда прозрачна, поглощение отсутствует, и фазовая скорость больше скорости света с. Отраженная интенсивность определяется множителем (и — !)»!(и+ !)».
*) По этой причине рассматриваемый диапазон частот называется также «упругим» диапазоном, Только что рассмотренный чисто низкочастотный предел соответствует случаю, когда можно пренебречь в по сравнению с Г. Наоборот, высокочастотный предел осуществляется, когда в очень велико по сравнению с Г, В этом приближении яется неравен- О л у ч а й 2.
Реактивная полоса частот. Эта полоса определяется ~ Г(<ы~ют Тогда нз уравнения (115) следует: — — (<лз ~ 0. Ин !'3 (119) (120) В этом случае лз отрицательно и л — чисто мнимое число; л=1) л )= — 1 ~ — л — 1~ ~ ыз й=л — = «' — )л)=1)й (. (ля — 1)'+ лз 1+ лг~ (лл-, '1)з+л- 1+л' В основном тексте книги мы избегали рассмотрения комплексного показзтеля преломления н ко«гплексного волнового числа й. Поэтому мы почти не упоминали о поглошающих средах.
Для Реактивной полосы частот мы использовали символ х, вместо того чтобы писать |й1. Для днсперсивной полосы частот мы испольэовали символ й, поскольку здесь й — вещественное число. Обюр свойств проводников. Теперь мы можем описать свойства любого праводнвка (с точки зрения выбранной модели): 1, для достаточно низких частот любой проводник является плотной активной средоп В этом случае происходит практически полное отражение и очень малое поглошенве.
2 Для достаточно высоких частот любой пРоводник является дисперснвной средой. Поэтому ан прозрачен. Проводники груба можно разделить на три класса: 1. Проводник с Г>)«вр имеет полосу частот, в которой ан является разреженной активной средойь В этан полосе проводник может поглощать во«тны, ие отражая их. Для такого проводника не существует часто Реактивной полосы частот, 2.
Проводник с Г(<ю имеет полосу частот, в котоРой он является чисто реактивной средой. В этой полосе отсутствует поглощение. Длн такого проводника не существует полосы частот, в которой бы он был РазРеженной активной средой. Поэтому он никогда не может «поглотиты плоскую волну без отражения, 3. для проводника с Г ыр не существует ни полосы частот, в которой он был бы разреженной активной средой, нн полосы, в которой он был бы чисто реактивной средой.
Однако он еще обладает тем общим свойством, что при достаточна нивках ю является платной средой с электрической проводимостью, а при достаточна высоких ю он прозрачен. П р и л о ж е н и е. Твердое серебро. Допустим, что твердое серебро можно описать нашей моделью Движущиеся заряды представляют собой «электроны проводимостив, источником которых являются валентные электроны атомов серебра. Валентность серебра равна единице, атомный вес 107,9 г)моль, платность 10,5 г/см. Число двогадроравио 6.!Озз моль-з.
Тогда Агж(6 10'з) (10,5) я!07,9)= =5,8 !О". Полагая, что М и р — масса и заряд свободного электрона, нлходям ю = 17 — =1,36 10" рад/сек, — ' 4ййеТ М Плоская волна в реактивной среде имеет вид Ех=(А« Е-!а ! х, Л Ее! а1«) Е-Газ Если среда простирается до з=-рве, то А — равно нулю. Таким образом, пл волна, падающая нз вакуума в такую сРеду, должна быть волностью отражена без поглощения. Более точно отраженная и«г)енсиввость будет определяться к ф. фицнеитом Удельное сопротивление постоянному току р„, равно!,59 !О-«ои см.
Но ЗОам равно с-' ед. СГСЗ, где с=З.!О'з см/сек. Поэтому удельное сопротивление ра- вно 1,8 10-'з ед. СГСЭ ° см н величньа Г равна Р' Р' /»'е» вр Г= = — рг»с=2 7.10'з сек-'. Д(аг»с 4и Л1ы видим, что для твердого серебра Г(<в . Для о»(~,7.10«з рад/сек, в соответ. стени с нашей моделью, серебро является йлотной«актввной» средой (например, для микроволн). Для в))2,7 10'» рад/сек твердое серебро — чисто «упруган» среда, которая при в<1,36 10««рад/сек становится чисто «реактивной». (Этот интервал частот включает видимый свет.) Для часто «упругой» полосы частот при в>1,36Х х !О «рад/сек твердое серебро — прозрачная среда (например, для далекого ультра- фиолета и рентгеновских лучей). Конечно, реальное серебро не следует точно этой модели.
(Из-за одногоупрощения: мы пренебрегли вкладами от «связанных» элек- тронов.) П р и л о ж е н н е. Графит. Его валентность равна 4, плотность 2 г/слд и атомный вес 12. Тогда для простой модели имеем вр — 0,36 10" рад/сек. Удельное сопротивление постоянному току рг»с равно!,57 10-И ед. СГСЗ сл. Это дает Г=!,6 10" сек-'. Для в(<1,6 1О" рад/сек графит чисто активен в соответствии с моделью. Для в(< (<В !0»й рад/сек это — плотная активная среда. для В 10»1((в«1,6 !0" это — раз- реженная активная среда.
Поскольку отношение крайних частот втой полосы равно всего лишь 20, то оба неравенства не выполняются точно, и поэтому графит не будет совершенно разреженным для любой частоты, т. е. он не будет полно- стью непрозрачным для любой частоты. У графита нет реактивной полосы. Для в))1,6К!О»» он прозрачен в соответствии с моделью. Найдем, чему пропорциональна интенсивность отражения от графита, т. е. 1/71», для види»юга света в случае нашего идеализированного графита.
Для зеле- ного света в вакууме с длиной волны 5500 А имеем в=2.3,!4(З 1О")/(5,5 10-»)=-3,42 10«й рад/сек. Эта частота не попадает в область частот «плотной активной среды», для которой в <В 1О". Поэтому мы не можем ожидать ни 100»г» отражения, ни очень малого отражения. Имеем па = а= ел+/зг, 1+ вр(вз — '), Р ! (36)з 095 (вр — в ) +1'»вз в~+1'» (3,42) +(160)з врГв вр (Г/в) 160 (36)» (в» »вЂ” в»)»+ Г'в» ь»»+ Г» 3,42 (3,42)»+(160)з и' = 095! + 2 36« = 255 ехр йр, где 2,36 ф = ага!9 — ' я«ВВ'. 0,951 Тогда — /. ! и= РГ2,55ехр ( « — ~р =1,60(сов 34'+!ейп34')=1,33+!0,90 2 / (пй — !)з+и', (ОДЗ)з+(0,90)» ( Й (з — — О,!5. (и/1+1)а+п~~ (2,33)з+(0,90)» Таким образом, в соответствии с нашей моделью гладкий графит отражает около 15% интенсивности зеленого света при нормальном падении.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 П.1. Ряды Тейлора Предположим, что функция / (х) может быть представлена в виде беси ного ряда Уравнение (1) примет вид !(х)=7(ха)+(х — хз) (4х) + 21 ((д.г~ + у (д„з~ + ° ° (3) П.2. Часто используемые ряды Функции з!п х и соь х. Чтобы получить с помощью ряда (3) разложения з,п х и соз х, воспользуемся равенствами Ы (з(п х))ох=сов х, 4(соз х),'ох= — з)п х, соз(Π— 1 з!п (0)=0 и хе=-О. Получаем х' хз з)п х=х — —,+ —,—..., (4) х' хч созх=) — + —...
21 4! (5) Эхспоненлга е"". Пользуясь равенствами д(е"х))ох=ие ", ее=1 и х,— 0 получим иэ ряда (3) азха ызхз багха е""=!+ах+ 2! + 3! + 4~ " (6) Функции з)г х и сЬ х. Для этих функций инеем Н(зЬ)73х=с)г х, й(с)ы)!4х= ай х (зЬ) (0)=0, сЦО)=1. Ряд (3) при хе=О дает ха хз зЬ х=х+ — + — +..., 31 51 (7! ха сйх=)+ — + — +., 21 41 (8) 509 ) (х) =с,-)-сг (х — х,)+с, (х — хз)з+гт (х — хе)э+..., (1 где с — постоянные. В этом случае говорят, что )(х) разложена в ряд в окрести ности точки хз. Чтобы найти первый коэффициент см положим х=хЫ тогда в правов „ сти все члены, за исключением пеРвого, исчезнУт.
Таним обРазом, се=!(хе), Ч найти следующий коэффициент сг, продифференпируем уравнение (1) гю х и с положим х=хз. Все члены, эа исключением сг, исчезнут, и мы полу;н, =Щах)з, где индекс нуль означает, что производная г(!)дх вычисляется в . 'ч и сг= Аналогично О( !7(х )з=!и!с . (2) ех е-х зЬ х= 2 Если в уравнении (6) положить се= +! =+ )/ — 1, получим хз !х' х' !хз х' е!" = 1+ )х — — — — + — + — — — + 2! 3! 4! 5! 6! диалогично, если в уравнении (6) полоигить а= — С получим ха !хз х4 )хз хе е-!"=1 — !х — — + — + — — — — — +...
2! 3! 4! 5! б! Складывая и вычитая ряды (13) и (14) и сравнивая результаты получим форыулы е'х+е-гк 2 = соз х» егк е-!к 2! =ыпх, (12) (13) (14) с рядами (4) и (5), (15) (!6) из которых следуют равенства ег"=соек+!сбп х, (17) (18) е-!к= сов х — ! з!п х. Функция 1дх. Воспользуемся следующими равеястаами; !их==-з!пх/созх, И(з!их)/дх=.-сов х и д(созх)/дх — — — ып х; тогда д(!дх)/г/х=(сок х)-', г(з (!8х)/дха= =2з!пх(созх)-а, Лз (!8х)/дха=2 (сгв х)-' — б зшзх (соз х)-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
