Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 129
Текст из файла (страница 129)
Часы, использующие газ аммиак, а также их улучшенные «потомки» обеспечивают самое точное в мире изл«ереиие времени. Нейтральные К-незон»ь Другой замечательной системой, поведение которой аналогично поведению системы связанных маятников, являются нейтральные К-меэоны. Их называют странными частицини. Они дейстнителыю очевь странные, и их поведение еще не понято полностью. Зта система имеет две степени свободы, которые называются К>-мезоиом и К«-мезоном, ааалогично двум маятннкаи.
Эти степени свободы связаны, потому что К>- и К>-мезоны могут взаимодействовать с двумя и-мезонамн (наряду с другими возможными взаимодействиями) через«слабые взаимодействия». В этом прамере и-мезон (или пион, для краткости) является аналогом связывающей пружины. Поэтому существуют две нариальвыс моды, которые называют К,-мезон и К»-мезон.
В отличие от мод, которые мы до сих « а пор рассматривали, одна из этих мод (К»ымода) имеет большее затухание, чем другая мода (К«-мода). Системы с затуханием рассмотрены в главе 3. Если система начинает функционировать с момента 1=0 с единичной вероятностью нахождения в Кл-моде, то эта вероятность экспоненциально уменьшается со временелл а по захону ехр ( — Нт,).
Аналогичное (но меньшее) затухание существует и у К»- моды. «Потери вероятности», соответствующие затуханию, являются результатом радиоактивного распада мод на другие частицы. Например, К«л распадается в большинстве случаев на два пиона и т, соответствует среднему времени распада для Кл> Если система начинает функционировать в момент 1=0 с единичной вероятностью нахождения в состоянии К«(обозначим это состояние через а) и если нет затухания, то вероятность нахождения системы в этом же состоянии (Кз) в более 16* 48Э позднее время будет определяться уравнением ()а).
Соответствующая вероятность нахождения системы в состоянии б ()«») будет определяться уравнением (1 б). Вследствие затухания зти формулы принимают вид [ф(К«) )«[в-//т«Ч е-//«* [ 2е-(1/г> (//т««//««1«оз (ю — юз) /) (2а) [ф()Г«)Р [,-//т,+,-//т. 2Е-1!/г1«/т,+//т«1СОЭ(Ю вЂ” 1 Заметим, что, когда тт=т»= со (затухание отсутствует), уравнения (2) превраща. ются в уравнения (1). Интересно придумать механизм затухания, который демпфировал бы только моду 1, и второй механизм, который демпфировал бы только моду 2 для системы слабо связанных маятников. В этом случае уравнения для энергии системы маятников были бы похожи на уравнения (2), а не на уравнения (1).
Д.2. Днсперсионное соотношение для волн де Бройля Волна де Бройля, описывающая отдельную частицу с определенной энергией, имеет вид «р (г, !) = А/ (г) е (1) Вероятность, что частица находится в координатном интервале от гдо г+иг, равна [ф(г, !)[» йг и не зависит от й Если потенциальная энергия частицы постоянна, мы имеем «однородную среду» и /(г) в этом случае — синусоидальная функция йг: ф(г, /)=[Аз)п бг+Всоз бг[е-/с«г. (2) Днсперсионное соотношение для частицы, находящейся в области постоянной потенциальной энергии У, получается подстановкой Е=- йю и р=Ь (условие частот Бора и волновое число де Бройля) в классическое выражение для энергии.
Например, для нерелятнвнстскнх электронов с массой т классическое соотношение между энергией Е, импульсом р и потенциалом !' имеет вид Е= — +У. р» (3) Подставляя сюда Е=Т»ю и р=-йб, получаем дисперснонное соотношение для волн де Бройля; й»й» йю= — +У. 2ш (4) Элекглроны в ссящикв». В качестве примера рассмотрим электрон, заключенный в одномерный «ящик», простирающийся пг г=-О до г=-Е. Пусть внутри ящика потенциальная энергия постоянна, т. е. У=У,=сопзй Для г, меньших нуля и больших Е, положим У(г) равным+ со.
Если такой «связанный электрон» был бы классической частицей, он мог бы иметь любую кинетическую энергию: р« — = Š— У». (5) Реальный электрон — не классическая частица. Его возможные состояния в «бесконечной потенциальной яме» являются нормальными модами воли де Бройля, т. е, представляют собой стоячие волны, у которых частота и длина волны связаны уравнением (4). Формы сшоячвй волна аналогичны формам сиюячиг волн струны. Что представляет собой последовательность волновых чисел й для стоячих волн? Вероятность нахождения электрона вне интервала 0(г Е равна нулю. Таким образом, вне имы [ф (г, !)[з равно нулю. Но ф (г, Г) — непрерывная функция координаты г. Поэтому функция ф должна равняться нулю в г=б и г=Л. (Зто — те же граничные условия однородной струны, закрепленной на концах.
Поэтому стоячие волны 484 де Бройля имеют точно такую же последовательность кон(ригурацнй, что и идеальная струна.) Из граничного условия для г=О следует, что в уравнении (2) В=О: ф(г, Г)=е-г ( А япйг, (6) Из граничного условия для гы Б следует, что з)п йг=О, Такиы образом, возможные стоячие волны соответствуют Б= половине длины волны двум половинам длины волны и т. дл й(/.=и, /(зŠ—.—.2п, ..., й,/.=пп, (у) Если состояние электрона соответствует какой-то отдельной моЛе, го приходящаяся на единиц> длины вероятность нахождения электрона в положении г во врез(я Г равна з ' 8 ! ф(г, Г) !з=! е-гш( А яп йг)з=! А !з и!пзбг.
() Эта вероятность не зависит ог времени, в поэтому говорят, что электрон находится в «стационарном састоянипз. Вероятвость того, со что электрон находится где-то между г=О и /( оо г=/., равна единице. Отсюда получаем условие нормировки для )А!'"; а) Н )~ у г которое определяет )А). Такии образом, А =! А )е/"= 1/ — е"; 2 ф'/г/ 1 / в у г — .д /г/г/ ву г тогда тр(г, /) = 1/ — е ' '"( ") яп йг, Е (10) Таким образом, энергия электрона Е равна дяйй дз(пп//.)з Е =Уз+ — "=)'з+ н з 2пз 2т для и= =1,2,3,, (12) Часпюты стоячих волн отличаются от частот струны. Хотя геометрические формы стоячих волн де Бройля подобны тем, которые возникают у закрепленной струны, частоты не являются гармониками частоты самой низкой моды.
Это происходит нагому, что дисперсионное соотношение для волн де Бройля сильно отличается от диспсрсиоиного соотношения для сгсшчих волн струны. На рис. д,! показана самая низкая мода (так называемое «основное состояние») и вторая мода («первое возбужденное состояние»). Неоднороднал среда. Если потенциальная энергия У(г) не постоинна, а зависит от г, то формы стоячих волн де Бройля, саответствуюп(ие определенным модам (состояние с определенной частотой волны, т. е.
с определенной энергией частицы), не синусоидальны в пространстве. В этом случае не существует дисперсионного 485 1 = ! ф (з (1г = ! А )з япз Лг дг = — ! А (з Е, 2 о о (9) где сз — неопределенная фазовая постоянная. Частоты стоячих волн определяются из дисперсиониого соотношения (уравнение (4)) ы я =я + — ", оз,= =— т.
(11) Рис. Л.). Электрон в бесконечно высокой потенциальной яие. о) Графяк ШЮ, Горизонтальными линиями Е, и Е, покаааны уровни энергии первой и второй моды (основное и первое возбужденное состояния) Кннетяяеская энергия Е„ вар, пропорцнональ. на л', поэтому на графике Е,— У, в четыре раза больше, яем Ег— — Уг. Е) волновая функция ОгиоеИОГО сОстояния / (7). а) полно.
вая функция первого возбул денного состояния. соотношения, связывающего ы и й, потому что пространственная зависимость не выражается уже уравнением (2), и не существует определенного волновогочисла й, соответствующего частоте ы. Теперь для получения волновой функции 1(г) нужно решить дифференциальное волновое уравнение Шредингера. Эта ситуация напоминает случай непрерывной струны, рассмотренной в п. 2.3.
Там было показано, что моды струны имеют синусоидальную пространственную зависимость только в том случае, если среда (т. е. струна) однородна. Для неодноролной струны пространственная зависимость стоячих волн получается из решения дифференциального уравнения [уравнение(2.59) п. 2.3, мы полагаем натяжение То (г)=Т»=-сопз1 и плотность ро (г) не постоянной[ «(»1 (г) ыор (г) — = — — 1 (г). дгг То (13) Аналогично лля неоднородного потенциала У(г) пространственная зависимость стоячих волн де Бройля получается из решения уравненвя Шредингера, которое в этом случае имеет вид «Р( (г) 2л» = — [У (г) — Ьы[ г' (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
