Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Дифракция, йаблюдаемая при выполнении двух этих условий — плоская падающая волна и дифрагированная волна, испущенная в заданном направлении,— называется дифракцией Фраунгофера. Если линзы не используются, то для выполнения этих условий точечный источник Я и детектор Р должны находиться в «далекой зоне» щели. Чтобы определить, находится ли источник Я (например) в «далекой зоне», допустим, что щель расположена в плоскости, перпендикулярной линии от источника до центра щели.
Рассмотрим пространственные конусы, вершины которых — в источнике 3, а образующие соединяют 3 со всеми точками площади щели. Если длины образующнх практически одинаковы, то 5 находится в «далекой зоне» щели. Под «практически одинаковыми» длинами мы подразумеваем различие в длине, меныпее '/»Л.
В этом случае фронт волны, падающей на щель, можно считать плоским. Аналогичная оценка справедлива и для точки Р, в которой расположен детектор. Нетрудно показать, что для щели с шириной О точка, находящаяся на расстоянии 7., будет в далекой зоне, если выполнено условие Б„))(1! Д соз 9)», где»7,Рсоа й — проекция половины ширины щели на направление, перпендикулярное линии, соединяющей щель с точкой. Если одно из двух условий, необходимых для дифракции Фраунгофера, не выполняется (т. е. или точечный источник 5, или точка детектирования Р не находятся в далекой зоне щели), то мы имеем 437 случай дифракции, называемой дифракОией Френеля (рассматривать этот случай детально мы не будем).
Фурье-анализ выражения для угловой расходимости когерентного источника. Результат, выражаемый равенством (63), можно представить в несколько ином виде. Введем в рассмотрение отдельную частотную компоненту бегущей волны и будем считать ее совершенно монохроматичной. В этом случае полоса частот Ле> равна нулю. Что можно сказать о векторе распространения? Квадрат вектора распространения равен Й>= еэ>/с> (для света в вакууме). Поэтому й' должно иметь совершенно определенное значение, если значение ы«известно.
Но это не значит, что каждая компонента (с должна иметь определенное значение. Величина й> равна сумме квадратов соответствующих компонент: 'и> = й> + й„'+ Р„ (64) где я«определяет число радиан фазы на единицу длины вдоль оси х, соответственно й„— вдоль у и й, — вдоль г. Если пучок не ограничен днфракцией, а представляет собой плоскую волну, распространяющуюся вдоль +г, то й, и и> будут равны нулю. Для фурье-компоненты (т. е. составляющей с определенной частотой) ограниченного дифракцией пучка с вектором распространения в плоскости хг, образующим угол О с осью г, имеем к„=О, й,.= =-йяпО и я,=ясозО.
Для малых углов з)пОжО, со>0=1. Итак, х-компонента вектора )« равна й„йО. (65) Но мы уже видели, что угловой разброс пучка относительно основного направления г равен ЛО = Л!Р. (66) Поэтому разброс значений н„равен (используем равенства (65) и (66)) Ля„= й ЛО = нЛ)Р =-2п/Р. Обозначив полную ширину пучка Р в направлении х через Лх, получим ~й«Лх~) 2п, (67) Неравенство напоминает нам о том, что дифракционный предел достигается ли|пь в том случае, если источники когерентны. Выразим сказанное в более явном виде. В соответствии с построением Гюйгенса мы должны рассмотреть излучающую пластину, состоящую из источников, равномерно распределенных вдоль оси х от х= — Р)2 до х=+Р)2. Все источники имеют одинаковую амплитуду и фазовую постоянную.
График зависимости амплитуды источников от х обращается в нуль всюду, за исключением области шириной Р, центр которой в начале координат. Таким образом, по координате х мы имеем дело с «прямоугольной волной>, Мы можем применить к этой «волне» (импульсу) фурье-анализ и представить ее в виде суперпозиции синусоидальиых функций з(п й х и соз й х точно так же, как это было сделано для прямоугольного временного импульса, который был разложен по функциям соз М. Выражение (6.95) из п.
6.4 дает преобразование Фурье для временного прямоугольного импульса ~(0 с высотой 1/51 и шириной Ы: 1 мп !»О в» (68) л '/»а д» По аналогии прямоугольный импульс Г(х) протяженностью 0 и высотой 1(0 должен иметь следующее преобразование Фурье: вю=! "",';","В, (69) но й„В = йО з1п 0 =- Ф, (70) Поэтому в(й.) = — „' ""„Т (71) Сравнивая уравнения (71) и (60), мы видим, что амплитуда поля, регистрируемого под углом 0 (который задан через й,), равна (с точностью до постоянного множителя) фурье-преобразованию амплитуды источника в щели (т. е. фурье-преобразованию прямоугольного импульса). В щели амплитуда колебаний равна Г'(х) совы|, где Г(х) — сила источника (для нашего случая сила источппка постоянна по всей ширине щели). На расстоянии г и в направлении 0 бегущая волна получается заменой соз о»| на соз (о»г — кг) н Г(х) — на фурье-преобразование В(н„).
Другой поперечный размер пучка у удовлетворяет соотношению, аналогичному уравнению (67), но с заменой х на у, Важные результаты фурье-анализа. Учитывая результаты фурье- анализа для продольной компоненты и, волнового вектора, а также результаты частотного фурье-анализа, имеем Ле„Лх) 2л, цй, Лг) 2л, йй„йу) 2л, Лео Л() 2л. (72) Фурье-анализ дает нам мощный метод вычисления дифракционной картины.
Однако здесь мы не будем этим заниматься (см. задачу 9.59). Дифракционная картина от двух широких щелей. Две параллельные щели можно получить следующим образом. Г1лотно прш,"оепите лентой скотча или приклейте по краям предметного стекла микроскопа кусок тонкой алюминиевой фольги. Используя, например, в качестве линейки второе предметное стекло микроскопа, осторожно процарапайте по фольге прямую линию с помощью лезвия бритвы.
Вторую щель проведите как можно ближе к первой, стараясь не испортить ее. Нетрудно прорезать две щели с расстоянием между ними, меньшим 0,5 жм. Рас~юложив щели близко к 439 глазу, посмотрите иа линейный источник. Сделайте это с красным фильтром и без него. Близко расположенные друг к другу интерференционные полосы соответствуют интерференционной картине от двух щелей. Угловое расстояние между полосами равно )з,Ы радиан (полагаем 51п Ожй). Теперь сделайте описанным выше способом одну щель (можно на этом же предметном стекле) н сравните картины от одной и двух щелей.
Обратите внимание на то, что картина от двух и(елей л<одулирована картиной от одной щели (рпс. 9А5). рпс. й 15. дифракция от двух щелей для случая, когда расстояиие ыежду' щстяыи Е я 4 раза больще щирииы каждой щели. Велкчяиы углового расстояния йы и полной щирииы Кагп получекы для прабли келия па- лого угла а|п й й. Обычно довольно трудно разглядеть картину от двух щелей, за исключением той ее части, которая лежит в области главного максимума картины от одной щели. (Имея красный фильтр и хорошо сделанную двойную щель, можно разглядеть и другие части дифракционной картины.) Приведем объяснение возникновения картины.
Каждая щель является источником электрического поля, регистрируемого детектором (сетчаткой глаза). Поле от каждой щели имеет определенную амплитуду и фазовую постоянную. Эта постоянная вклада от всей щели такая же, как и от отдельного (дифференциального) вклада («антенны»), поступающего из центра щели. Действительно, в выражение для волны от одной щели входит множитель соз (нг — йзг), где г — расстояние от центра щели до детектора. (См. формулы (60) и (53).1 Амплитуда волны от одной щели пропорциональна зппп т(тФ/з),Ф, где Ф вЂ” разность фаз вкладов от противоположных краев щели. Когда мы имеем две такие щели, расстояние между которыми й, то фаза вклада от каждой щели совпадает с фазой от узкой щели, мысленно расположенной в центре данной щели. Таким образом, картина получается такой же, как и ранее рассмотренная картина (и.
9.2) дифракции от двух узких щелей, за тем исключением, что постоянная амплитуда А (г) вклада от каждой щели теперь (в случае двух широких щелей) заменяется на множитель, 440 пропорциональный з(п '/,Ф/'/,Ф. Другими словами, дифракциснная картина от двух бесконечно узких щелей будет модулироеана функцией з)п '/,Ф/'/„Ф. Комбинируя полученные ранее результаты для двух узких щелей (формула (13), п.
9.2! с модулирующей функцией, мы найдем, что дифракционная картина (если обе щели возбуждаются с одинаковой фазой) имеет вид (73) (74) Е(0, 1) =-А (0) сов(Ь вЂ” ы/), А(О)=-А(0), "; соз",»Л$, Ф =- /гО з! и О =- 2п— Вапв Л р = Ы гйп О =- 2п —. е мп О (73) (76) где х) — ширина каждой щели, д — расстояние между щелями и г — расстояние от точки наблюдения Р до середины между щелями. Если Р стремится к нулю, то центральный максимум постепенно заииьиет все поле зрения, и мы получаем результат п.
9.2 для двух узких щелей. Распределение интенсивности /(0) пропорционально среднему во времени от квадрата электрического поля. В соответствии с выражениями (73) и (74) мы имеем 7 (О) =-! (0) ~ ',,', ) (соз'-'/» А~р). (?7) 441 Множитель соз»»/,Лср обусловливает быстрое чередование интенсивности в зависимости от О, с расстоянием между отдельными максимумами в ) /3. Член (гйп '/,Ф/'/»Ф)«определяет форму модулирующей функции, полная угловая ширина которой на половине интенсивности равна )/Р. Полная ширина углового интервала между пулями интенсивности с обеих сторон центрального максимума равна 2Х/О. Сосчитав число «двухщелевых полос» в центральном максимуме, определяемом модуляционной функцией от одной щели, мы можем найти отношение 4Р для наших двух щелей. Распределение интенсивности, соответствуюцее формуле (77), показано на рис. 9.!б. Дифракйиоьная картина от многих одинаковых и параллельных широких и)елей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
