Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Из приведенного выше описания дифракционной картины от двух широких щелей следует, что при болыпом числе таких щелей дифракционную картину легко получить умножением амплитудной модулирующей функции ейп'/,Ф/'/,Ф на иитерференционную картину, полученную в предположении, что щели узкие. Интерференпиониая картина от з«ногих и)елей. Рассмотрим зависимость интерференционной картины, созданной болыпим количеством (е/) «антенн» (рис. 9.13), от числа й/. (Вместо антенн можно рассматривать й/ узких щелей.) Перепишем уравнение (54), определяющее амплитуду для узких щелей: Е (г, О, !) = А (г, О) соз (йг — ы!)1 (78) А (г, О) = А (г) (79) (80) Главные максимумы, центральный максилеум, источник белого света. Углы, для которых знаменатель (и числитель) выражения (79) обращается в нуль, равны 55ер/2=-0, ~л, ~2п и т.
д. Для таких углов разность хода й 51п О равна О, ~)5 и т. д., что соответствует полностью конструктивной интерференции между всеми Л) антеннами. Максимумы, получаемые при этом, называются главными максимулеал1и: с(з!пО=О, -~Х, ~21, ..., т)5 (т=-О, ~1, ~2, ...). (81) Максимум при 8=0 называется центральныл1 максимумом или максимумом нулевого порядка.
Максимумы при т =~1 называются максимумами первого порядка и т. д. Центральный максимум отличается от остальных главных максимумов одним важпыл! свойством: вклады от всех антенн в центральный максимум находятся в фазе независил1о от длины волны. Поэтому в случае белого источника центральный максимум белый. Для всех других главных максимумов положение максимума зависит от длины волны, т. е. от цвета. Для главного максимума амплитуда суперпознции будет в Л' раз больше амплитуды вклада от каждой щели (антенны). Физически это очевидно и непосредственно следует из выражения (79)„ так как для центрального максимума 751р = 0 и отношение ейп 1Гх/5(п х (мы полагаем йкр)2 = х) равно ! Г ! 1 Лх — — (Л15)5Ц, ~1 — — !Ух)5+...
~ мпЛ1х б ' ''' 5,1" б ' '''" )Ч (82) 5!пх ! Г ! х — — х'+ .. ~1 — — хе+...1 б б для х — О. Для максимума первого порядка (т =+ 1) мы можем показать, что предел 5(п Л!х)5)п х при х, стремящемся к л, равен ~ЛГ. Введем для этого малый угол е, учитывающий отличие х от и: х=п — е яп Л'х Мп (Л'п — Л'е) к„, МпЛ'е (83) 51П Х 5!П !11 — 5) 51П Е Прп стремлении е к нулю мы получаем, что предел отношения равен ( — 1)н+1Л) = ~ Л1.
Угловая ширина главного максимума. С увели-еиием Ж угловая ширина главных максимумов уменьшается. Исследуя выражение (79), легко получить угловой интервал от главного максимума до первого нуля илп интервал от максимума до максимума. Для главного максимума и числитель и знаменатель равны пул!о. Когда 442 Л/га Л/в' Л/лв' вл»в' Л/й »4 л/лйжл/у 443 аргумент '/,У Л«р синусоидальной функции в числителе уравнения (79) возрастет на и, числитель снова обратится в нуль. (Знаменатель при этом не равен нулю.) Таким образом, при перемещении от главного максимума до первого нуля амплитуды произошло приращение Фазы б<р на 2п/У.
Этому соответствует приращение раз- Л/л *д «ы Й,р им. Я'=Я Мы знаем, что приращение разности хода между двумя последовательными главными о максимумами равно Л. Учитывая это, можно сказать, что амплитуда падает от л<аксимальной до нуля на интервале значений яп О, который в У раз уже интервала Х/й, определ иощего расстояние между Ю соседними главными л«аксиму- Л/зй мами.
Л/в Л. «за « ° ° » четного У (большого или ма- лМ лого) легко показать, почему первый нуль появляется, кот- + да приращение разности хода й з)п О равно Л/У. Предположим, что мы имеем 6 антенн. Первый пуль возникает, когда пеРвые тРи могУт быть уйел 1'1 спарены с последннмн тремя в «уничтожающие» друг друга пары, так что 1-я антенна Ю ушгчтожает 4-ю, 2-я — 5-ю и 5-я — 6-ю. Первая и четвертая антенны уничтожат вклады друг друга прн разности хода в '/,Х (то же справедливо и для остальных пар).
В этом случае разность хода между антеннами 1 и 2 равна Х/6, т. е. Х/У. Когда У нечетно„ такое доказательство неприменимо, поскольку антенны не могут быть спарены. В этом случае легче всего получить <визуальное» доказательство, построив векторную диаграмму вкладов амплитуд на комплексной плоскости. Построив такую диаграмму, легко видеть, что У комплексных амплитуд соединяются таким образом, чтобы образовать замкнутый многоугольник и сделать полную амплитуду равной нулю, когда А«р равно 2п/У (задача 9.52). На рис. 9.16 мы показали, как интерференционная картина зависит от У, когда расстояние между щелями с( неизменно. Вы можете продемонстрировать сужение главных максимумов, когда М возрастает от 2 до 3, С помощью лезвия бритвы сделайте три щели в алюминиевой фольге, закрепленной на предметном стекле микроскопа.
Пусть две из них будут длиннее третьей, чтобы можно было переходить от трех щелей к двум, слегка сдвигая предметное стекло перед глазом. После нескольких попыток вы сможете сделать три вполне приличные щели, расстояние с( между которыми примерно одинаково и меньше 0,5 мм (после каждой попытки, для проверки, смотрите через щели на свет). Вы легче справитесь с этой задачей, если используете увеличительное стекло с увеличением 2 х или 3 х . Когда вы смотрите на линейный источник через две щели, то яркие полосы выглядят чуть более широкими, чем темные области, их разделяющие.
При трех щелях яркие области будут уже, чем черные интервалы между ними. Однако, если вам не удастся сделать одинаковые щели на равном расстоянии друг от друга, вы получите другую картину. Прозрачная дифракционная решетка. Вместо У антенн или М щелей в непрозрачном экране можно иметь Ж параллельных царапин на куске гладкого стекла или пластика шириной О. Без царапин свет дал бы интерференцнонную картину, соответствующую одной широкой щели шириной П. Царапины действуют подобно антеннам.
Они дают ннтерференционную картину от Ж царапин, которая аналогична картине от М щелей,— за одним исключением. Центральный максимум (при 0') определяется вкладами не только всех царапин, но также и от всего прозрачного материала между царапипамп. Поэтому центральный максимум будет значительно ярче, чем остальные главные максимумы. Если рассматривать линейный источник через дифракционную решетку, то мы получим дифракционную картину, каждый главный максимум которой имеет распределение интенсивности, показанное на рис. 9.14, б. Дифракцпонная решетка в вашем оптическом наборе *) имеет такую же конструкцию. В ней проведено !3 400 царапин на дюйм, что отвечает с(=-190.10 ' см, т.
е. 1,9 мкм. Сколько главных максимумов вы обнаружите для зеленого света с Л=5500 Л (т. е. 0,55 мкм)? В соответствии с уравнением (81) главные максимумы возникают при значениях з1п О, равных О, Л/д и т. д. Конечно, з)п О не может быть болыпе единицы. Для пашей решетки имеем с( 3,5Л, гдеЛ=-0,55жкхц Поэтому, если гйп 0 =-птЛ/й, то значения ш могут бытып = О, ~= 1, ~-2, ~ 3, но не 4. Теперь посмотрите на зеленую лампу с помощью вашей решетки. Прямо впереди будет центральный максимум (0 =0), для которого все цвета перемешаны. Цветные полосы по бокам представляют собой цветное изображение лампы яри углах, определяемых из равенств с( з)п О =Л (первый порядок), = 2Л (второй порядок) и т. д.
Видны ли вам все три порядка? (Если вы видите четыре порядка, то что-то не в поряд- *) См, сноску на стр. 1о. 444 ке.) Если вы хотите наблюдать спектр лампы накаливания, то не надо брать большую лампу, так как ее размеры вызовут перекрытие различных «окрашенных ламповых баллонов», Перед лампой можно поместить узкую вертикальную щель (решетку при этом нужно держать так, чтобы она развертывала цвета горизонтально) илн взять лампу с прозрачным стеклянным баллоном и прямой нитью длиной около 7 см. Зная, например, что длина волны зеленого света равна 5500 А, легко измерить постоянную б вашей решетки.
Посмотрите на лампу через решетку, расположенную близко перед глазом, и измерьте угол в радианах (или его синус или тангенс) от главного максимума до «зеленого», используя линейку в вытянутой руке. Воспользуйтесь уравнением (81). Получите ли вы б=3,5ХУ Дальнейшему исследованию свойств решетки посвящены домашние опыты. «Тифракиия от непрозрачного препятствия. На рис. 9.12 показан точечный источник 5 и непрозрачный экран, состоящий из частей а, Ь и пробки 1, Поле за экраном (оно равно нулю) было представлено супер позицией полей Ев+ Е + Е ь+ Е, = — О. Когда пробка 1 вынута, поле за экраном Е +Е,+Е, должно быть равно — Е,.
Это рассуждение позволило нам сформулировать принцип Гюйгенса, с помощью которого можно, например, найти дифракционную картину от экрана с отверстием. Теперь нас интересует, что получится, если оапавить пробку и убрать ост льные части экрана а и Ь. Пока мы ничего не убрали, справедливо равенство Еэ + Е, + +Еь+ Е, =-О. Теперь уберем а и Ь и предположим, что движение электронов в пробке 1 (непрозрачное препятствие) не изменилось. (Это является приближением, потому что на электроны в пробке воздействует как излучение от частей экрана а и Ь, так и излучение от источника.) Поле за пробкой равно Еэ + Е,. В близкой области за пробкой (понятие близкой области будет определено) поле будет практически таким, как и при наличии всего экрана, так как части экрана а и Ь находятся в этом случае далеко от близкой области и их вклад мал по сравнению с Ев + Е,.
Поэтому в близкоп области за пробкой электрическое поле будет практически равно нулю. Это — тень пробки. Она возникает благодаря тому, что в близкой точке за экраном поле (равное нулю) определяется главным образом источником Я и близлежащими зарядами, которье в этом случае принадлежат пробке 1. Таким образом, вблизи за экраном суперпозиция Е, и Еэ даст нуль. Отсюда следует, что пробка 1 испускает часть плоской волны в том же направлении, в котором распространяется падающая плоская волна от удаленного источника Я. Амплитуда волны от пробки равна амплитуде падающей волны от источника Я, а фаза волны от пробки сдвинута на 180' относительно фазы падающей волны, так что суперпозиция Еэ+ Е, в близкой области равна нулю.
Таким образом, получается тень Непрозрачное препятствие не съедает падающий свет, а излучает пучок света отрицательной амплитуды (т. е. отрицательной относительно падакяцего света) в прямом направлении. Комбинация этого пучка с падающей волной дает нуль вблизи за экраном. Как далеко простирается область тений Нужно сказать, что пробка не испускает точно плоскую волну света «отрицательной амплитуды», поскольку она имеет конечную ширину (или диаметр) Р. Вместо этого она испускает «пучок», основное направление которого совпадает с направлением распространения плоской волны Ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
