Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 119
Текст из файла (страница 119)
задачу 9.53.) Фокусировка параксиальных лучей тонкой линзой. Предположим, что мы имеем стеклянную линзу в воздухе с двумя выпуклыми сферическими поверхностями, перпендикулярными общей оси симметринг. Луч света падает слева, распространяясь параллельно оси симметрии линзы, на расстоянии у =и от оси. Если линза тонкая, то мы пренебрегаем (по определению) изменением ординаты у при прохождении луча через линзу. Пренебрегаем также толщиной линзы по сравнению с ее фокусным расстоянием. Мы ограничиваемся рассмотрением паракспальных лучей, т.
е. таких лучей, для которых ординаты малы по сравнению с радиусом кривизны обеих поверхностей. В этих условиях для всех интересующих нас углов справедливо приближение малого угла. Найдем фокус линзы Р, т. е. точку на оси симметрии линзы, в которой лучи, падающие на линзу параллельно этой оси, пересекут ее после отклонения линзой (рис. 9.25). Если падающий луч фокусируется в Р, то он отклонен на малый угол 6 =- 11(!. (90) Необходимое условие существования фокуса.
Необходимым условием существования общей фокальной точки (фокуса) для всех параллельных и параксиальных лучей, падающих на линзу, является линейная пропорциональностьотклонения луча его смещению П от оси. Если уравнение (90) удовлетворяется для всех й (при условии малых угловых отклонений), то все параллельные лучи будут 454 Рис. 9.29. Тонкая линза.
Приколнщиб лун параллелен оси. Этот луч может быть отклонен на тот же угол 6 эквивалентной тонкой призмой, Первая поверхность этой призмы составляет угол ЬЯг с вертикалью, вторая — угол Ь/Йи (но отсчитанный в другую сторону). Поэтому угол а у вершины нашей воображаемой призмы равен М, '+ ййа '. Угол отклонения луча такой призмой равен (и — 1) а, т. е. (91) 6 = (и — 1))г (й1 ' + ),' —,') Формула линзы. Уравнение (91) удовлетворяет условию образования фокуса, заключающемуся в том, что 6 пропорционально )г. Положение фокуса (фокусное расстояние) следует из формулы (90); — =(и — 1) ( — + — ) . ! г ! ! 7 (й, р) (92) Уравнение (92) называется формулой линзы. Фока,гьная плоскоспгьо Теперь рассмотрим пучок параллельных лучей, образующий угол 0 с осью симметрии.
Отклонение пучка тонко!! призмой не зависит от угла падения (для малых углов). Рис. 9.27. Фокальная плоскость. Поэтому луч, падающий на призму на расстоянии й огп ее центра, оп!кланяется на угол 6 = Йг! независимо от угла падения, Это значит, что любой параллельный пучок фокусируется в точку, которая находится в плоскости, называемой фокальной плоскостью, расположенной на расстоянии !' за линзой. Боковое смещение относительно оси точки в фокальной плоскости равно 10 (рис.
9.27). 455 фокусироваться на одинаковом расстоянии ~ за линзой. Э!по условие справедливо для любых подобных задач фокусирования, например для фокусирования магнитной линзой пучка заряженных частиц. Нам осталось показать, что тонкая линза со сферическими поверхностями удовлетворяет уравнению (90) с 1, не зависящими от й. Это можно сделать следующим образом. Рассмотрим луч на рис.
9.20 Действительное точечное изображение точечного объекта, Мы нашли точечное изображение параллельного пучка, т. е. пучка, образованного реальным точечным источником, находящимся бесконечно далеко слева от линзы. Рассмотрим теперь точечный объект о, расположенный на расстоянии р слева от собирающей линзы, и найдем его изображение а' на расстоянии у справа от линзы. Пусть о лежит на осн симметрии, тогда Т также будет лежать на этой оси. Теперь обратимся к рис.
9.28. Из этого рисунка следует, что если Рнс 9.28. Реальное наобраменнс тоаечного объекта. единичный вектор +х с началом в точке о совершает повороты на углы +8„— б и +О„то в результате он опять будет направлен вдоль оси + х: В,— 8+8, — О. (93) Формула тонкой линзы.
Справедливы следующие соотношения: (Отклонение всегда равно агг) независимо от угла падения.) Подставляя эти значения углов в уравнение (93), получим и и д — = — +— 1 р ч' т. е. ! ! ! + (94) Уравнение (94) называется формулой тонкой линзы. Продольное уеелиг2ение. Углы отклонения лучей тонкой линзой не изменятся, если линзу слегка повернуть относительно оси, проходящей через ее центр перпендикулярно плоскости рис. 9.28. Луч от точечного объекта, проходящий через центр линзы, останется неотклопенаым, а луч, входящий в линзу на расстоянии й от центра, отклонится на величину й/). Поэтому положения точечного объекта и его изображения на рис, 9.28 не изменятся, если линзу слегка повернуть относительно ее центра. (С другой стороны, если линза получает небольшое перемещение относительно оси, лежащей в плоскости чертежа и перпендикулярной оси линзы, то изображение точечного объекта переместится.
Новое положение изображения получится, если учесть, что луч, проходящий через центр 456 линзы, не отклоняется.) Вместо того чтобы слегка поворачивать линзу относительно ее центра, предположим, что положение линзы фиксировано, и переместим точечный объект на небольшое расстояние вверх перпендикулярно оси линзы. Вся лучевая диаграмма может быть затем повернута относительно центра линзы (потому что для углов падения, близких к нормальным, отклонения не зависят от углов падения). Таким образом, мы видим, что если точечный объект перемещен вверх на величину у, то изображение этого объекта переместится вниз на величину, большую чем у в число раз, равное отношению д к р.
В этом случае говорят, что Продольное увеличение= — —, (95) Р' Знак минус указывает на то, что, когда точечный объект поднимается вверх (отиоснтельно оси), его изображение опускается вниз. Если объектом служит пе отдельная точка, а протяженный предмет, например небольшая стрелка с острием и оперением, то его изображение будет перевернуто.
Собираюи(ая линза. Линза, показанная на рис. 9.28, называется собирающей линзой. Изображение предмета, находящегося от тонкой собирающей линзы на расстоянии, большем фокусного расстояния ), является реальным перевернутым изображением. Прилагательное «реальный» означает, что в месте, где присутствует изображение, есть свет. Для сравнения скажем, что изображение в обыешом плоском зеркале не является реальным, поскольку за зеркалом иет света. Мнимое изображение.
Если точечный объект на рис. 9.28 находится на расстоянии ) слева от тонкой собирающей линзы, то Рнс. ».»». Мнннае наобрантеннс тоссеното объекта ~р(я. отклонение й/7 лучей на расстоянии Ь от центра линзы будет таким, цтобы справа образовался параллельный пучок. Если точечный объект находится на расстоянии, меньшем чем ), то отклонение будет недостаточно для того, чтобы направить луч, прошедший через линзу, обратно к оси. Такой луч никогда не пересечет ось, и можно сказать, что реального изображения нет. Наблюдателю кажется, что этот луч пришел от мнимого источника, расположенного слева от линзы. Можно говорить, что в этом случае линза образует мнимое изображение (рис.
9.29). Легко показать (предоставляем вам сделать это), что положение мнимого изображения определяется по 457 формуле тонкой линзы!уравнение (94)! при условии, что через отрицательное д мы обозначим расстояние, измеряемое влево от линзы. Рассеиваюи~оя линза. Линзу, толщина которой возрастает от центра к периферии, называют рассеивающей (при условии, что это — стеклянная линза и находится она в воздухе). Если представлять себе линзу составленной из тонких призм (как мы делали для собирающей линзы), то вершина каждой мысленной призмы будет ближе к оси, чем основание, и лучи будут отклоняться от оси линзы (а не к осн, как это было в случае собирающей линзы). Параллельный пучок, пройдя через линзу, станет расходящимся, причем будет казаться, что он выходит из мнимого фокуса Р (рис.
9.30). Легко Рис.9.39, Рассаинающан линза. показать (предоставляем вам сделать это), что все формулы, полученные для тонкой собирающей линзы, справедливы и для рассеивающей, при условии, что мы введем в формулы отрицательные величины. Так, если привять, что у рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно: ( = — ~у!, то мы сможем использовать формулу тонкой линзы, ~тобы получить соотношение между'.-расстояниями до предмета и его изображения. Например, рис.
9.30 соответствует р =+ оо, д= — К! и )= — !)! в формуле р-а+ й-з Сила линзы. Диоптрия. Величина, обратная фокусному расстоянию (ее размерность [и '1), называется силой линзы в диоптриях. Так, сила собирающей линзы с фокусным расстоянием 50 см равна -!-2 диоптрии (+20). Сила рассеивающей линзы с фокусным расстоянием — 50 ел~ равна — 2(л. Величина, обратная фокусному расстоянию (сила линзы), обладает замечательным свойством, заключающимся в том, что она линейна в следующем смысле. Если одна тонкая линза следует непосредственно за другой, то полная сила двух тонких соприкасающихся линз равна сулсме сил каждой линмл. Это легко показать из следующих соображений. Первая линза отклоняет луч по направлению к оси на угол п)Г„где Г, отрицательно для рассеивающей линзы и положительно для собирающей. Если вторая линза расположена «на выходном концеа первой линзы, то у луча не будет возможности изменить свое расстояние й относительно общей оси двух линз.
Поэтому луч войдет во вторую линзу на том же расстоянии й от оси и отклонение луча, даваемое второй линзой, будет равно й/~а. Полное отклонение луча двумя 488 линзами равно /г//, +й//,. Такое же отклонение можно получить, заменив две линзы одной эквивалентной линзой с фокусным расстоянием, определяемым из условия 1//= 1//г+1//,. Таким образом, полная сила обеих линз (или эквивалентная величина обратного фокусного расстояния) равна сумме сил отдельных линз. Конечно, если обе линзы находятся на некотором расстоянии, то во вторую линзу луч входит не на той же высоте /г относительно оси, как в первую линзу. Поэтому сила последовательных линз складывается линейно лишь в том случае, если можно пренебречь расстоянием между линзами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
