Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 118
Текст из файла (страница 118)
Это значит, что если атомы Ь и е( лежат достаточно близко с обеих сторон от с, то фазы вкладов от всех трех атомов Ь, с и е( в суперпозицию, воздействующую на е, одинаковы благодаря тому, что они испытывают воздействие со стороны атома а. Другими словами, времена а з распространения волн с фазовой скоростью в с(п от а к Ь и е, от а к с и е и от а к д и е должны быть примерно равны, если а, с и е лежат вдоль направления луча, а Ь и д достаточно близки к с. Если это не так, то нзлу- Ъ чение от отдельных возбуждаемых пучком ато', ~с~д мов не будет складываться таким образом, чтобы создать конструктивную интерферен! цию. Из рис.
9.20 следует, что если а, с и е лет зе зт! жат вдоль пучка, то соседние пути аЬе и ае(е еа чуть-чуть больше, чем путь асе. Когда мы говорим, что эти пути чуть-чуть больше или что Рис. 9.99, Распространо- ОНИ ПРИМЕРПО РаВНЫ аСЕ, МЫ ИМЕЕМ В ВИДУ, Чта если, например, Ь имеет небольшие поперечСтрелкн указывают шнри. У пта и ра НЫЕ СМЕщЕНИя Х От С тО ПутЬ аЬЕ ПрЕВЫСИт распространенна. Тонкие, р, с, в н е — атомы стекла. асе на величиНу, прОпОрционаЛьную квадра- ту х, а не первой степени х.
Таким образом, при разложении в ряд Фурье длины пути по параметру х первая производная исчезает (ист:езает тот член ряда, который дает вклад, пропорциональный х). В действительности имеет зпа;ение не длина пути, а время распространения. Существует принцип, согласно которому пучок света распространяется по такому пути, чтобы производная времени распространения по х была равна нулю (х — параметр, равный нулю для пути пучка (подобного асе) и отличный от нуля для соседнего пути (подобного аде или ас(е)).
Этот принцип означает, что время распространения вдоль пучка является экстремальным (минимальным). Он называется приниипом наименьшего времени Ферма или просто принципом Ферма. Используем принцип Ферма для вывода закона Снеллиуса. На рис. 9.21 показан атом а в среде 1 и атом е в среде 2. (Они являются аналогами атомов а и е на рис. 9.20.) Нам нужно определить полонзение точки Р, т. е. положение точки пересечения пучка аР с плоскостью.
Время распрострапения волны вдоль пути аР равно 1, =. =1,пт/с, а вдоль пути Ре ге= 1еп,)с. Расстояния сг,= =- п,(з и с1, = п,1, называются опупическими длинами. Полная оптическая длина с(1, + 1,) минимальна, если минимально полное время распространения. Таким образом, мы хотим найти точку Р, для которой было бы справедливо равенство Оптическая длина = и»1,-)-!1,1а = минимум. Из рис. 9.21 имеем Оптическая длина = и, (у,'-)-х,*)'у*.+ и, (у,'+х)!».
(85) (88) Сдвинем точку Р на бесконечно малое расстояние от положения (которое еще не известно), дающего минимальный оптический путь. Обозначим через !( (опт. дл.) изменение оптической длины в результате такого смещения. Что- » бы найти »1(опт. дл.), продифференцируем уравнение (86). По- , у, скольку Р смещается вдоль гранины, то повременными являются только х, и х,. Так как положение атомов а и е неизменно, то сумма дз х, + х, постоянна и приращение с» !(хв вследствие смещения точки г "г Р будет равно приращению дх„ взятому с обратным знаиом. Таким образом, имеем »1(опт. дл.) =и,!(11+и, »11,= =и д(ут'+ха)'! +Пай(уя,+ха)'!»= 1 Рис.
9.9!. Преломление. Оптическая длина пути !» л»-1-!»л»вал,х,»!хт , л,х,»!ха висит от положения точки Р. В соответствии с принципом Ферма свет яа а в е (ут+х») ' (ув+х,) проходит по траектории, для которой оптическая длина пути минимальна. В = — !(Х» + — ( — !(Х»). (87) этом случае траентория ар» располо- жена вдоль ннтерфере»»цноивого а»акси- В уравнении (87) можно пренеб м™' рис. 9.лур. речь членами более высокого порядка, включающими у(х»а, !(хт' и т. д. Теперь предположим, что точка Р выбрана так, что аРе совпадает с направлением пучка.
Тогда, в соответствии с принпипом Ферма, производная первого. порядка по х, равна нулю. Из уравнения (87) имеем »1(опт. дл.) =-() = 1 — "'"' — — "'"*1 !(хп т. е. х, х, и — =и— в 1, = 1, т. е П! 3!П 01 =- Пв 3!П Ов, (88) что и есть закон Сиеллиуса. Теперь рассмотрим некоторые основные оптические устройства. Зллиплуическое зеркало. На рис. 9.22 мы видим полый зллипсоид вращения с зеркальной внутренней поверхностью и с точечным 15е 451 Рис. 9.22. Эллиптическое зер.
кало, Рнс. 9.23. Вогнутое пара- болнчесгсое зеркало. на рпс. 9.22 фокус Р и фокусное расстояние / остаются неизменными, а фокус Р' движется вправо, т. е. эллипс растягивается. Если Р' сместился бесконечно далеко вправо, то эллипсоид вырождается в параболоид. Лучи, испущенные из Р, образуют при отражении параллельный пучок (потому что они фокусируются в Р'„ который бесконечно удален, рис. 9.23).
Если апертура параболического зеркала имеет диаметр )9, то точечный источник в Р не образует идеально параллельного пучка. Угловая ширина интерференционного максимума равна с»О )'/)9, и лишь при бесконечно большом 22 мы получили бы идеальную плоскую волну от точечного источника. Действительно, падающая плоская волна фокусируется в Р в изображение, которое будет точечным только при бесконечно большом Р. Изображение в фокусе имеет ширину стхж/ЛОж/Х/22.
Вогнутое сс/2ерическое згркало. Говорят, что сфера «пристроена» в вершине параболоида, если она касается вершины и имеет тот же радиус кривизны, что и параболоид в точке касания. Нетрудно показать, что радиус такой сферы равен 2/ (рис. 9.24). 452 источником Р, расположенным в одном из главных фокусов. Из определения эллипса следует, что расстояние от Р до второго фокуса Р' одинаково для всех лучей. Поэтому фокус Р' является местом полной конструктивной интерференции для излучения, испущенного электронами на поверхности, которые в свою очередь находятся под воздействием излучения из Р.
Мы говорим, что источник, расположенный в Р, изображается в точке Р'. Изображение в Р' не является точкой, фаза результирующего поля в точке около Р' может лежать в диапазоне ~ и относительно фазы в Р' при условии, что точка лежит внутри сферы радиусом примерно Х/4 с центром в Р'. Такова грубая оценка размера изображения в Р'. Вогнупюе параболическое зеркало. Предположим, что у эллипсоида Сферическая аберрация. Для апертуры небольшого диаметра (1) (< 2)) поверхность сферического зеркала практически совпадает (слева от фокуса) с поверхностью параболического зеркала.
В этом случае то- , сте)залааратт чечный источник, находящийся в г, об- а' а)мра разует почти параллельный пучок. Для а' больших апертур расхождсние сферической и параболической поверхностей приводит к сферической аберрации Г б" (т. е. к отклонению лучей от параллельности, рис. 9.24). Некоторый опыт в обращении с вогнутыми зеркалами можно получить, используя дешевое зеркало для бритья.
Получите с таким зеркалом изображение (например) пламени свечи или вашего лица. (Для этой цели может подойти и вогнутая поверхность новой блестящей ложки.) Для ОПЫТОВ С ВОГНУТЫМ)! ЗЕРКВЛВМИ Можио Ркс 9 24. Вотнутое сфернческое зеркало 4 в контакте» с вообра. ИСПОЛЬЗОВатЬ ПОСЕРЕбРЕННЫЕ СфЕРИЧЕ- жаемым «асательным парабол„. ОКНЕ ЕЛОЧШ,)Е УКРВШЕИИЯ (НЛИ ПЕРЕВЕР ческкм зеРкалом). центр сферы в точке С, ее радцус инте ложку).
26 Луч е, отраженный от сферы ())ПК )СНЕНис Луна СЕЕта При Понти Нар не нараллелсн оск. Это Лемонсз рнрует сфернчсскую аберрацию мальном падени)4 на топку)о стеклянную призму. Тонкой называется призма, у которой угол а при верши не настолько мал, что можно использовать приближение малого угла: з)гс а а, соз аж 1. Для 1 Р1 уг.тов падения, близких к нор- ) ) мальному, мы можем использовать это приближение и для угла падения. В этом случае монохроматическая плоская волна отклоняется к основанию приз)у ' ~ ----- 2.
мы на угол 6: 6 = (и — 1) а. (89) До тех пор, пока падение можно считать близким к нормальному, угол отклонения 6 постоянен. Уравнение (89) легко Т4- вывести следующим образом (рис. 9.25). В основании призмы Рнс. 9.29, Отклоненне луча тонкой пркзмой. волновой фронт проходит расстояние 1 со скоростью с/п. У вершины скорость в и раз больше (так как толщина призмы нуль), и поэтому тот же фронт за то же время пройдет расстояние п1. Поэтому фронт у вершины окажется впереди на величину (п — 1) 1.
Зга величина, деленная на высоту призмы %2, представляет (для малых углов) 453 угол отклонения 6 = (и — 1)(1/И7) =(и — !)сс, т. е. имеем уравнение (89). Цветовая дисперсия призмы. В качестве примера тонкой призмы возьмем призму с углом при вершине а=30' и и =1,50 (в этом случае для нашей задачи приближение малого угла еще не будет слишком плохим). Тогда в соответствии с уравнением (89) отклонение 6 равно 15'. В действительности это — среднее отклонение, потому что для типичного стекла со средним коэффициентом преломления 1,5 голубой свет с длиной волны в 0,45 мкм имеет показатель преломления на 0,01 больше, чем красный свет с длиной волны в 0,65 мкли Поэтому голубой свет отклонится больше, чем красный, на величину 0,01 а.
При а = 30' зеленый свет отклоняется на 0,3', или примерно на 1/200 радиана, больше, чем красный. На экране, расположенном в метре за призмой, голубая полоса будет отделена от красной на 0,5 см. Этот дисперсионный эффект стеклянной призмы используется в призменном спектрометре, В оптических инструментах со стеклянными линзами дисперсия приводит к появлению хроматических аберраций: лучи различного цвета не фокусируются в одном и том же месте. В телескопе можно избежать хроматической аберрации, используя вместо линзы параболическое зеркало для фокусирования света. (Закон зеркального отражения справедлив для всех цветов.) Хроматическую аберрацию можно исключить, используя также два типа стекла с различной дисперсией, (См.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
