Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 114
Текст из файла (страница 114)
Но именно на этом движении зарядов больше всего сказывается удаление пробки. Поэтому в самой щели и особенно у се краев картина поля может быть очень сложной. Вы спросите: а почему не решить эту задачу точно? Дело в том, что сделать это очень трудно. Вы должны применить уравнения Максвелла для всех областей вакуума и вещества, точно задать свойства материала и верно определить граничные условия. Не существует общих методов решения этой задачи, и лишь для нескольких задач такого рода было получено точное решение, Ислользование аост ое анной ка т роения Гюйгенса для выси раины от одной щели. Мь числения дифрак1)и- случая, когда плоская вол ине Гюйгенс, ым точечным источника ' ом) падает на щель.
я волна (испущеиная удадаленн пса, мысленно заме ним падаю . Используя построеу ый точечный исто щую плоскую волн чник) и мате а э пли й т е «пробкой» Гюй ген са. (т. е. вь Р Р пластины и онз малых ( .. щислить суперпоз нцию) по вкла а р вести интегрирован ие элементов пластин . В, ы. место пнтег и ов д м от всех бескон ечно рирования мы можем(и Щ' е:1 $ й а Я Ъ Рнс. 9,11 зс антенн нлн Н зкн узквк щелей с зарякзнн, к н, келевлющнннся я н зэе б' удем) рассматривать и ть дискретну10 сумм ', у, Образованную вкладами Расст я ип пределе, устремив Л1 к беск и' ест ~жОНЕЧНОСГИ, МЫ По. " ущ 'ВО В использОВВ . ение нзлуча полу- деленных ист нни дискретных, а не н реиполучаем и ТСЯ В '1ОМ, ЧТО мы одновременно лей для произвольного Лт от Л' = 2 лен от = 2 до бесконечности.) на п1нрокои щели Равна ~ со й ширину области со е группу из Лт антенн Гюйг .
П ° то антеннам йгенса. Пусть ассто а , = ( — 1)й. Б дем и равно й тогда В = 'Л' у'ем считать И 1»'УЗКИХ Л " ще ей расположены по оси положительном н (р . ййд). о ин поля каждая ант можем д паковую амплитуд А ( у (г) (точка Р тенна дает вклад, , имеющий м считать, что она достаточно удалена, асстоя а находится на п и а, и мы нн). Далее, все антенны нии от всех анте риблизительно один аковом фазан (по предположению' Эле равно следующей сумме: Е=А(г)соз(/)г,— и)/)+А (г) соз(/(г,— и)/)+... ... + А (г) соз (/(гл» вЂ” е)/). (44) Мы хотим представить эту суперпозицию ()/ бегущих волн одной бегущей волной, распространяющейся (выходящей) из среднего положения группы антенн, амплитуда которой зависит от угла испускания.
(Именно так мы поступали, рассматривая интерференцпонпую картину от двух источников в п. 9.2. Там для Д/ = 2 мы получили такой же результат.) Мы можем упростить алгебраические выкладки, используя комплексное представление колебаний. Поле Е является реальной частью комплексной величины Е,= А (г) е-'"" (еви +е""+...; е("»и). (45) В соответствии с рис.
9.13 имеем г, = г, + (/ 3!и О, г, =- г, + 2(( з)п О, (46) г,„=- г, + (й/ — 1) а( з! п О. С учетом равенств (46) уравнение (45) можно переписать так: Е,=А (г)е-(""е("' (1-1-е(е(' ')+е(е(' -') + ) = =А(/)е-("(е»а» 5, (47) где 5= — 1+ем(" -')+ем(' -')+... =1+а,'-а-"+... +ам ' (48) и а ем(»,-»,) егь(е»мз),е(з») (49) Л(г для волн в точке Р от двух соседних антенн равна Л(р = аа 31п О =. — (( айп О. Х (50) Разность фаз е' ( /') ")" е( ~»» — ! (,((Ч.) ит; ' о/,) и )] (»/ ) (~ „„з!и»/,,у ач з!и'/,Ьч» ' и†! (51) Тогда уравнение (47) можно переписать так: 4 (г) е»и»е»е!»»(~/ ) (»( ) ) е»м а! з!и /2'/ ау з!и»/е /(»р =А(г)е- е' ' л (и( м» 5!и /2Л» /)»!» з!и»/, йЧ» (52) 433 Для геометрической прогрессии 5 [уравнение (48)! справедливо соотношение а5 — 5= Р— 1 т.
е. 5— д/)» ! е))" лт ! (('/»)л» ьа ! (('/») н ьт - (('/») и »)»» где величина г=г,+'/,(й! — 1) из!пО =г, + /,0 з!пО. (53) определяет расстояние от точки Р до центра группы антенн. Взяв реальную часть выражения (52), получим для поля в точке Р Е(г, О, 1)= ~ ., „' т| сов(йг — и()=— = А (», О) соз (йг — о().
(54) Покажем, что для М = 2 уравнение (54) дает такой же результат, что н уравнения (12) и (!3) в п. 9.2. Используя равенства э!и 2х = =2э!пхсозх, где х=Л~р~2, имеем Е( О А )2э)а „отсох /,~т оз(й вп 1Л а<р = !2А сов'1, Л<р) соз (Ь.— ы1), что согласуется с результатами, полученными раньше. Днфракиионная картина от одной и(ели. Устремим Л' к бесконечности, не меняя ширины щели О.
Расстояние а при этом стреьштся к нулю. Разность фаз Л~р между колебаниями двух соседних антенн также стремится к нулю. Полный сдвиг фаз Ф между колебаниями первой и Ж-й антенн в точке Р точно равен (Л' — !) Лср. При большом Л' фазовыи сдвиг можно считать приблизительно равным МЛ~р: Ф = (У вЂ” 1) Л<р =йогйп О, (55) Ф = Л Л<р, Л' ~) !.
(56) Модулированная амплитуда [равенство (54)) равна В пределе, когда Л' достаточно велико, мы можем пренебречь в разложении з1п (1,', (Ф(Л')1 в уравнении (57) в ряд Тейлора всеми членами, кроме первого: з!и '7, —, = '7, —,, Ф <Р (58) А (г, О) = УА (г) (59) Сделаем еще одно упрощение. По мере того, как Л' устремляется к бесконечности, мы должны устремить А (г) к нулю, но при этом произведение Х4 (г) должно оставаться постоянным, поскольку мы хотим иметь одинаковый вклад от данного бесконечно малого эле- мента йх непрерывной группы источников независимо от того, сколько антенн содержит группа. (Напомним, что мы используем антенны Гюйгенса.) Заметим, что когда О стремится к нулю, то и Ф стремится к нулю, а отношение з!п '/,Ф/'/,Ф стремится к единице: ! х — — х~+...
1,'."-+... =--1 д ° =О. 434 В соответствии с уравнением (59) А (г, 0) = МА (г) 1, и окончательно получим Е(г, Э, 1)=А(г, 0) ~,,", 1 соз(й! — а1), (60) т)ва) где Ов!пв Ф=2я— (61) Угловая зависимость (при заданном г) среднего во времени потока энергии получается из уравнения (60): 1 (г, 9) = г'„,„. 1. и.')в (62) Распределения амплитуды п интенсивности показаны на рпс. 9.14, - гЛ -гЛ -Л г) Л гЛ )Л -тЛ вЂ” зЛ -Л )) Л М РЛ Юз(бб Рис.
Рлч. Дифранцня от одноб гцелв. о) Амплитуда. б) Интенсивность. Угловоб нитервал аги), простирацмицся от — ",ЬГО дО -,'-",, а'О, пРнблнаительно отвечает Ьтля малых углов) еполиои ширине для полоапиноа инт в явности . Более точно, интенсивность на границах питер ыла составляет Ы л)'=-бл) иитевсивиости в иалспмуме. Угловой разброс прг)ка, огрпнн)гнного дифрпнйпсй. Теперь мы можем подтвердить полученнып в п.
9.5 регул) тат, согласно которому пучок шириной Р имеет угловой разброс порядка ЦР. Точная зависимость амплитуды и интенсивности от угла О показана на рпс. 9.!4. Основное свойство графика пптенспьностя заключается в том, что интенсивность велика только в и)первале углов между О =- — '~т Л(Р и О = + т)'в ЛггР: ЛО.= г.,гР. (63) Простейший способ наблюдения дифракционной картины от одной щели состоит в следующем. Возьмите два маленьких куска 435 бумаги с прямыми краями и расположите куски бумаги (в руках) так, чтобы края были параллельны, т.
е. чтобы образовалась щель. Посмотрите через эту щель на точечный нли линейный источник так, чтобы щель была параллельна источнику, Расположите щель близко перед глазами. Изменяйте ширину щели от «нуля» до «бесконечности», где «нуль» — это нуль, а «бесконечность» — это примерно 1 мм. Хорошую щель можно получить, смотря между зубцамп обычной обеденной вилки. Расположите вилку близко перед глазами. Расстояние между зубцами вилки слишком велико, поэтому вы должны поворачивать ее до тех пор, пока проекция этого расстояния не станет достаточной малой.
Поворачивая вилку, вы можете менять величину проекции и наблюдать за изменением интерференционной картйньь С помощью быстрых (и грубых) измерений можно (грубо) проверить справедливость уравнения (63). См, домашний опыт 9.17. Разрегиаюшая способность глаза. Возьмите миллиметровую шкалу илн сделайте метки на листе белой бумаги и найдите расстояние от бумаги до глаза, на котором метки покажутся совпадающими друг с другом, т.
е. неоазрешимыми. Обычно, если расстояние между метками равно 1 жм, то они плохо разрешимы на расстоянии в 2»ч и совсем неразрешимы на расстояния 4 м. Таким образом, если глаз находится в центре поля зрения (т. е. когда вы смотрите прямо па линии), то предельное значение углового разрешения близко к Лйж 1»«м/2 м = 1/2000. Теперь посмотрите в зеркало и с помогцью линейки, расположенной близко к глазу, измерьте диаметр /? вашего зрачка. Обычно /?ж2 мм.
Дифракцнонный предел углового разрешения вашего глаза определяется угловым размером изображения пятна от падающей плоской волны, нспущенпой удаленнгам точечным источником, на сетчатке глаза. Полный угловой разброс изображения удаленной точки равен Х 5510»ся 1 Лй (дифракцноцный предел) О 0 2 40 0,2 ся Таким образом, наш глаз (и мозг) воспринимает две точки как разрешенные, если угловое расстояние между ними равно удвоенному значению дифракционной ширины. Для того чтобы доказать, что (грубое) согласие между разрешающей способностью глаза и углом дифракции не случайно, повторпте описанный опыт, но смотрите через дырочку, сделанную, например, в листе бумаги.
Если диаметр вашего зрачка равен 2 жл4, то диаметр дырочки должен быть 1 мл«. Ухудшится ли при этом угловое разрешение вашего глаза? Во сколько раз? Критерий Рэлея. Если угловое расстояние между двумя точкамн равно дифракционной ширине )»/О, то, в соответствии с рис. 9.14,б, максимум интенсивности от одной точки будет совпадать с первым минимумом на графике интенсивности для второй точки. В этом случае точки еще разрешимы. Этот криптерий разрешимости носит название критерия Рэлгя. 436 Ширина изображения точки на вашей сетчатке примерно равна произведению фокусного расстояния линзы (хрусталика) вашего глаза на угловую ширину изображения точки. Фокусное расстояние 7' приблизительно раино внутреннему диаметру глаза. Когда вы смотрите на удаленный объект, этот диаметр равен примерно 3 ель Поэтому ширина изображения пятна на сетчатке от удаленной точки близка к 7(ЛВ) =-3 5 !О»/0,2 = 8мкм.
Тотфакт, что разрешающая способность нашего глаза ограничена дифракциовным пределом, говорит о том, что фоторецепторы в центре сетчатки отделены друг от друга расстоянием, не большим чем 8 л»кль Один астронавт, летавший вокруг Земли на расстоянии 240 клц утверждал, что он мог различать отдельные дома в деревнях, когда пролетал иад ними. Верите ли вы емуу Терминология. Дифракция Фраунгофера и дифракция Френеля.. При рассмотрении дифракционной картины от щели или отверстия мы предполагали, что имеем приходящую плоскую волну (от далекого точечного источника Я). 7»(ы также считали, что регистрируем излучение, испускаемое щелью под определенным углом. Это значит, что мы рассматривали суперпозицию волн, распространяющихся по параллельным направлениям к точке детектирования Р, и либо Р находится очень далеко от щели, либо мы используем линзу (например, хрусталик глаза), чтобы сфокусировать волны в точку Р (расположенную, например, на сетчатке глаза).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
