Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 109
Текст из файла (страница 109)
Если расстояния г, и г, от источников 54 и 5, до точки поля Р велики по сравнению с расстоянием а' между источниками, то можно считать, что два луча, соединяющих источники с точкой Р, параллельны и составляют практически один и тот же угол 0 с осью г (см. рис. 9.4). В этом случае разность хода обоих лучей до точки Р равна й з!и О. Поэтому, если источники колеблются в фазе, то условие конструктивной интерференции в точке Р имеет вид й з)п 0 =О; ~)с; ~21 и т.
д. Интерференционный максимум, образованный при угле 8 =О', называется главным максимумом или максимумом нулевого порядка. Первый максимум, с любой стороны от главного максимума (а' зрп 0 равно ~Х), назы- 4гб вается максимулсом первого порядка и т. д. Области деструктивной интерференции, где суперпозиция двух волн всегда равна нулю, называются узлами. Узлы возникают в тех точках, где разность хода лучей й з|п О равна ~»,», Х; ~'/с Х и т.
д. Выведем выражение для суммарного электрического поля в точке Р, предполагая, что оба источника совершают одинаковое гармоническое движение, фазовые постоянные которого могут быть различны. Представим себе мысленно источники в виде двух колеблющихся точечных зарядов. Будем рассматривать одну из двух возможных компонент вектора напряженности в точке Р. Нет необходимости указывать на тип поляризации, так как полученные результаты справедливы для любого типа поляризации, например для правой или левой круговой поляризации. Однако для определенности будем считать, что имеем дело с излучением, поляризованным по оси у, где у — направление, перпендикулярное плоскости рисунка. Движение зарядов 1 и 2 вдоль направлении у имеет вид у,(!) =.у, сов (а|-|-ф,), у, (() =у, соз(в(+ф,). (2) Пусть начало координат находится на половине расстояния между источниками.
Тогда положение точки Р может быть задано углом О и расстоянием г от начала координат. Поле Е,(с), регистрируемое в точке Р и нзлученное в результате движения первого источника у,((;) в более ранний момент времени г;, равно уу»(!») а Чуо соз (а!»+Ч»») (3) г»сс г сс 1 ВЫражЕНИЕ дпя ПОЛЯ Ес(Г), ИЗЛуЧЕННОГО В МОМЕНТ Г; В рЕЗуЛЬтатЕ движения второго источника у,(Г;), имеет аналогичный вид. В приближении далекого поля считаем, что г, и г, равны среднему расстоянию г: "= о (!»+ гс) ! (4) Е»(!) ==А (г) сов(а|; —,' ф)» Е, (!) =А (г) соз(аг;-(-ф)» (5) (О) Моменты г; и 1,' испускания излучения, регистрируемого в точке Р в более поздний момент времени, определяются из равенств в!; = а ( ( — '— ') .= а( — йг„а|; = в ( ( — — ') = в( — йг,.
(7) Разность фаз, возникающая от разности хода лучей. Разность хода лучей г, — г, зависит от угла О, поэтому разность фаз двух волн в точке Р также зависит от О. Именно это изменение разности фаз при изменении угла 9 и определяет интерференционную картину. Разность фаз Лф, возникающая вследствие разности хода лучей, равна Лф = в(; — в|; = й (г, — г,) = й (с( з|п 9) = 2п —, (8) 4|! где д з!и Π— разность хода (см. рис. 9.4).
Различные формы выражения (8) для ЛЧ~ математически эквивалентны, но соответствуют различным мысленным картинам, каждая из которых должна быть рассмотрена отдельно. Так, в первом случае мы обращаем внимание на то, что излучение испушено в разные моменты времени. В последнем случае разность фаз равна 2п, умноженному на число длин волн, определяющих разность хода, во втором и третьем случаях можно говорить о числе радиан фазы на единицу длины (волновое число я), умноженном на разность хода. Кроме величины Лср, определяемой из уравнения (8), может существовать разность фаз с~, — гр, колебаний самих источников. Полное поле Е в точке Р является суперпозицией полей Е, и Е,: Е (г, О, () = Е, -1- Е, = А (г) соз (в(; + «р) + А (г) соз (в(; + !р») = = А (г) соз (в(+ ~р,— йг,)+ А (г) соз (в!+ 1р, — йг«).
(9) «Средняя» бегущая волна. Вместо того чтобы считать поле Е суперпозицией двух сферических бегущих волн от источников 1 и 2, мы можем представить это поле как одну «среднюю» сферическую бегущую волну, амплитуда которой зависит от угла распространения О, а фаза равна среднему значению фаз !р, и ср». Воспользуемся тригонометрическим равенством соз а -(- соз Ь = соз ~ — (а -(- Ь) + — (а — Ь) ~ + Г! 1 2 Г 1 1 Ч 1 ! + соз ~ — (а + Ь) — — (а — Ь) ~ =- 2 соз — (а + Ь) соз —, (а — Ь), 'Г 2 2 ~" 2 2 где а=- в(+ ~р,— йг„Ь= в!+⻠— Иг». Тогда 2 (а+Ь)=в!+ 2 (!р,+!р,) — 2 я(г,~г,)==в!+Ч',~ — йг, (!0) 1 1 1 1 1 1 1 ! —, ( — Ь) = — 2 (Р,— Р.) — 2 й (г,— .) = 2 (т,— 1Р,) + —, й Р Теперь уравнение (9) можно переписать так: Е (г, 8, 1) = (2А (г) соз р (<р,— Ч>,) + — Л~р~ ~ соз (в(+ 1р«р — Ьг) = Г1 1 = А (г, О) соз (в(+ «р„— 'яг), (12) где амплитуда А(г, О) определяется по формуле А (г, О) =2А(г) соз~ — (<р,— гр,)+ — Л!р~, (13) л«!о Е йф =- я (г, — г,) = 2п— Поток фотонов.
Поток фотонов в данной точке поля Р пропорционален среднему во времени потоку энергии <Я). В нашем случае, когда имеется лишь одна компонента поляризации, направленная по у, поток энергии равен <5> = — <Е»>, (14) 4!2 где Е=уЕ(г, 8, !). (15) Имеем <Е'>=<(А(г,О)соз(ой+!р, — йг)]'>= — А-'(г, О), (!6) где А'(г, О) = ~2А (г) соз ~ — (~р,— !р,) + — Л(р~ ! (!7) г! Интерферениионная картина от двух щелей.
Будем считать, что г фиксировано, и посмотрим, как меняется поток фотонов при изменении угла О. В соответствии с уравнениями (14) — (17) имеем (О) 7макс соз ~ 2 (р1 — 'рй) + з Л'р1 (18) (через У(О) обозначен поток фотонов). Из уравнения (18) следует, что интенсивность изменяется как квадрат косинуса половины полной разности фаз, определяемой разностью фаз источников и разностью фаз, возникающей вследствие зависимости разности хода лучей от угла 9. Источники колеблются в фазе. Если Ч~, и !Г, равны, зависимость интенсивности от угла определяется только разностью хода: 7 (0) = 7„„., соз' — Л~р =- 7„,„, соз' ~л ~ 1 .
(19) ! Выоз! Это выражение справедливо как для двух щелей, так и для двух точечных источников. На рнс. 9.5 показана зависимость интенсивности от угла О для малых О(0 ж 0). Мы предполагаем, что расстояние между источниками значительно больше ).(й>) ) ), так что 7(0) проходит через много максимумов и минимумов, в то время как О остается довольно малым. На рис. 9.5 показаны несколько максимумов и минимумов в небольшой окрестности 9=0. Источники колеблются в противофазе. Если Ч!, и ф, отличаются по фазе на =Еп, то половина разности фаз равна ~п/2 и уравнение (18) принимает вид (20) На рис.
9.6 показан график выражения (20) в области ОжО для случая, когда й )) Х. Интерферениионная картина вблизи О = 0'. Глядя на линейный источник света через две щели, нельзя указать направление, для которого О = 0'. Таким образом, в рис. 9.5 и 9.6 содержится больше информации, чем нам обычно доступно (по крайней мере в домашних опытах). Наиболее важной информацией является угловой интервал между двумя последовательными максимумами или соответствующий пространственный интервал на экране детектора. (Таким экраном может быть, например, сетчатка глаза.) Два последовательных максимума на рис.
9.5 и 9.6 соответствуют изменению разности хода на одну длину волны, т, е. увеличению й яп 0 на Х. Для О, близкого к нулю, можно считать з(п 0 ж О. Тогда узловой 4!3 интервал между пооледовате гонами максимумами равен Цг( радиан. Обозначим этот интервал через О,ж — „. (21) Соответствующее пространственное расстояние между двумя «мд Л 99 Л г — Л Рпс. 9.6. Интенсивность суперпозиции от двух находящихся я фазе источников. Расстоянае г веннко по сравнению с К «то: сь 1 зз Л 1сь и Рис. 96.
Интенсивность суперпозицни от двух источников, разнвчающихся по фазе иа 160'. последовательными максимумами обозначим через х,. В соответствии с рис. 9.5 или рис. 9.6 величина х, при малых О равна х.=ЕО,= — „. г.в (22) Сохранение энергии. Если выключить источник 2, то электрическое поле в точке Р от источника 1 будет равно Е=Е,=А(у) соз(691+ту,— Лез). (23) Поток фотонов равен <Е,'> = А' (г) <соз' (мт+ ф„— йг,)> = — А' (г). (24) Зто выражение не зависит от 8.
Аналогично, если действует только источник 2, поток фотонов равен <Е,'> = — А' (г). (25) Когда действуют оба источника, поток фотонов пропорционален (константа пропорциональности та же, что и раньше) величине <Е'>=<(Е,+Е,)'>= —, А'(г, О) = 1 Г1 = ~ '(2А (г) сов( ~ (ф,— фе)+ ~ Лф) ~ = , Г1 1 =-А'(г) 2 сов' ~ — (ф,— ф,) + — Лф].
Используя (24) и (25), перепишем это выражение в виде <Е'> = (<Е,'>-1- <Е„'>1 2 соз' ~ — (ф,— ф) + — Лф|, (26) где 2пй мп О (27) Таким образом, поток энергии при двух действующих источниках есть произведение коэффициента 2 соз' ('7, (ф, — ф,)+ '/, Лф), ответственного за угловую модуляцию, на сумму потоков от каждого источника в отдельности. Если между 0=0' и 0=360' находится много максимумов и минимумов, то модулирующая функция будет принимать значение 0 так же часто, как и значение 2, и ее среднее значение будет равно единице. Чтобы можно было наблюдать большое количество максимумов и минимумов, расстояние между источниками должно быть равным многим длинам волн, т. е. е()) Х. Таким образом, мы видим, что полная испускаемая энергия (в плоскости рисунка) равна сумме вкладов каждого источяика при условии, что расстояние между источниками составляет много длин волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
