Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 112
Текст из файла (страница 112)
Зеркало отражает часть плоской волны. Аналогично, если достаточно малый источник находится в фокусе зеркала, представляющего собой идеальный параболоид, то пучок (в некотором приближении), подобно «сегменту плоской волны», состоит нз излучещи, распространяющегося в одном направлении. Все вьппесказанное справедливо и для звуковых волн, и для волн в воде. Ограничение углового разброса пучка из-за дифрак>4ии.
Теперь возникает интересный и важный вопрос: можно ли создать пучок волн, который был бы ограниченной в сечении частью плоской волны? В таком пучке волна распространялась бы строго в одном направлении, и мы имели бы совершенно параллельный, ограниченный в сечении пучок, уходящий в бесконечность.
Такой пучок создать нельзя. Сколь бы малым ни был источник в фокусе идеальной параболы, пучок не будет совершенно параллельным. Возьмем за основное направление ось г. Пусть «пространственная» ширина пучка (для данного г, например, сразу после рефлектора) равна О. В этом случае возникнет угловой разброс в направлениях распространения, и величина этого разброса, определяемая по половине максимальной интенсивности, будет порядка А~О. (Это будет доказано ниже.) 423 Точно так же, если у нас имеется совершенно плоская волна от удаленного точечного источника, падающая на экран с отверстием диаметром О (илн на зеркало с линейными размерами О), то угловой разброс прошедшего через отверстие пучка (или пучка, отраженного от зеркала) имеет порядок Л/О.
Угловой разброс может быть равен нулю только при Р, равном бесконечности (или если Л равно нулю). Говорят, что угловой разброс пучка ограничен дифракцией, На рис. 9.10 приведены примеры пучков, Заметим, что « и !! » !! И И ~~ И И ~~~ ( //((((((( ((! )а ряд гр ~т — — ~» !!!!!!!!!!!!'!!'!!!'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 !!! лгад ру гу Рис. Р. !б. Дифракпия. Щель шнриноб О создаст угловоб разброс = МО. Пучои, пройдя рас- стояние Ь, расшгзрястсгз до б'шГ.МО. а) Пучок, созданный точечнын исгочнакои и параболичеслви зеркалааг. б! Пучок, созданныб пласкои волвон, прокодянгеб через отверстие в непрозрачааи экране.
в! Пучок, созданныб плеснет! налнод, отраыеивой от плоского зеркала. с! Пучок, нспушенныб плоскии излучателем, все части которого колеб.потея в фазе. если первоначальная ширкна пучка равна 0 и если были приложены все усилия, для того чтобы он был как можно более параллельным, то ширяна пучка на большом расстоянии !'. примерно равна первоначальной ширине плюс произведение Е на полный угловой разброс Л)0. Для достаточно больших О мы можем пренебречь первоначальной шириной О. Таким образом, (39) Ширина пучка = ()у Е— Л В (40) Каждая из четырех частей рис.
9.10 может соответствовать либо волнам на воде, либо звуковым, либо электромагнитным волнам (например, видимый свет с ) = 5 10 ' ск или микроволны с ) =- = 10 вм). Пучок как интерфвренционнай максимум. Дадим грубый вывод формулы (39). (В п. 9.6 будет приведен точный вывод.) Заметим, что результат, который будет получен, не зависит ни от типа волны, нн от того, как волна образована. Мы можем, например, работать с простейшим источником, каким является плоский излучатель рпс.
9.10, г. В' случае звуковых волн это будет просто колеблющийся в воздухе поршень. В случае электромагнитных волн это может быть колеблющийся слой зарядов конечной протяженности, например плоская антенна. В любом случае будем считать, что весь излучатель когерентен, т. е. все его элементы колеблются в фазе друг с другом. (Если это условие не выполняется, то угловой разброс будет больше того, что дает формула (39). В пределе, в случае некогерентного излучателя, пучок вообще не возникнет.! Для основного направления пучка точки поля, достаточно удаленные от излучателя, практически эквидистантны относительно всех частей излучателя.
Таким образом, для этого направления мы будем иметь максимум, отвечающий конструктивной интерференции. Это условие и определяет основное направление пучка.(Если изменить разность фаз излучения элементов излучателя, то можно создать пучок, у которого основное направление не будет перпендикулярным поверхности излучателя.
Этот случай показан на рис. 9.10, в, где на различные части зеркала, расположенного под углом 45' к падающей плоской волне, действует вынуждаюгдая сила с разли шой фазой. В результате максимум конструктивной интерференции, т. е. направление отраженного пучка, не перпендикулярен поверхности зеркала, а подчиняется закону «зеркального отражениях.) Угловой разброс лучко. В удаленной точке поля, местоположение которой не находится точно в направлении пучка, нельзя получить полностью конструктивной интерференции.
Чтобы найти полом«ение первого нуля в интерференционной картине, разделим излучатель на две половины: верхнюю и нижнюю. Затем будем аппроксимировать его двумя когерентными точечными (или линейными) источниками. Один источник находится на половине длины верхней части антенны, а другой — на половине длины нижней ее части. Расстояние между источниками обозначим Т)/2. Первый иитерфереиционный нуль (первый нуль с любой стороны главного максимума, определяемого направлением пучка) возникает при разности хода лучей от источников в ',~,), т. е.
когда ',~,о з(п О равно ",,р.. Для малых углов, положив ейп О = О, имеем Половина углового расстояния до первого нуля=- †. (41) Л «з ' 425 „' — ууй(йо Рис. йз Ь Плоский излучатель. Источвик В, соответствует вкладу ат верхней Ба — от нивсвей половины излучателя. Х 6 10-а ЛО ж — ж — — 3 10 ' рад. аз 0,2 426 Рис. 9.11 иллюстрирует сказанное. В каком направлении образуется следующий максимум? Если бы точки Яз и Яв (рис. 9.11) на самом деле соответствовали точечным источникам, то следующий максимум возник бы при разности хода лучей от второго и первого источников, равной длине волны Х. Однако, хотя разность фаз точечных источников, которыми мы заменим верхнюю и нижнюю половины излучателя, равна нулю, вклады от обеих половин источника в образование у следующего максимума равны нулю.
Это происходит потому, что если снова разделить ',"е верхнюю и нижнюю половины пополам, так что весь излучатель будет разделен уже на четыре части, то вклад от первой четверти излучателя будет сдвинут на 180' относительно вклада от второй четверти и компенсирует его полностью. То же можно сказать про вклады от третьей н четвертой четвертей. Таким образом, первый боковой максимум появляется в действительности не тогда, ког„а имеются две половины со вкладами, отличающимися гю фазе на 2п (так как в этом случае можно говорить, что мы имеем четыре смежных источника со вкладами, последовательно отличающимися по фазе на и), а в том случае, когда излучатель можно представить в виде трех третей, причем смежные трети отличаются по фазе на и.
Две из трех третей компенсируют друг друга, а третья треть остается. Поэтому амплитуда первого побочного максимума меньше, чем амплитуда главного максимума, по меньшей мере в т~а (в действительности при учете разности фаз в оставшейся одной трети излучателя мы получим еще меньшую величину). Такны образом, мы видим, что боковой максимум имеет меньшую амплитуду по сравнению с центральным максимумом, что и определяет направление пучка. При исследовании точной интерференционной картины мы найдем, что половина углового расстояния до первого нуля равна полному угловому разбросу, измеренному примерно на половине максимальной интенсивности.
Именно так мы н определили угловой разброс пучка в формуле (39). Таким образом, мы довольно грубо вывели уравнение (39). (Точный результат показан на рис. 9.14, п. 9.6.) Приложение. Сравнение луна лазера и луча карманного троиарика. Предположим, что мы имеем ограниченный дифракцией лазерный пучок диаметром Р = 2мм при длине волны 6000 А. Чему будет равен диаметр пучка на расстоянии 150 м? Угловой разброс пучка равен Произведение углового разброса на расстояние 1, =1500 см даст пространственный разброс Ф'=(1500)(3 10 ') =0,5 см = 5 мм. (Это легко продемонстрировать в аудитории.) Рассмотрим теперь луч карманного фонарика или световой указки в виде фонарика.
Пусть этот пучок, с начальным диаметром 2 мм, образован точечной нитью, расйоложенной в фокусе линзы. Каким должен быть размер нити, чтобы пучок света от этого фонарика был ограничен дифракцией? Если нить не то:ечная, то различные ее части будут давать независимые пучки. Нетрудно показать, что угловой разброс, вызванный конечными размерами нити, примерно равен длине нити, деленной на фокусное расстояние 7 линзы: Ло Т' Мы хотим, чтобы пучок фонарика с начальной шириной 2 жщ бы,л ограничен только дифракцией. Для этого нужно, чтобы угловой разброс, возникающий из-за конечных размеров нити, был меньше углового разброса из-за дифракции. Последний, в соответствии со сделанными выше вычислениями, равен 3 10 ' рад.
У обычного парика нить находится на расстоянии 0,5 см от линзы, т. е. ж0,5 см, и мы получаем следующую оценку размера нити: Лх()'ЛО (0,5) (3 10' ') ж 1,5.!О ' см. Сделать столь малую нить вряд ли возможно, 9.6. Дифракция и принцип Гюйгенса Раз,типе зие»где интер4еренцией и дифраккией. В п. 9,5 мы рассмотрелп угловой разброс пучка из-за дифракцин и произвели грубый расчет дифракционной картины при падении плоской волны на отверстие в непрозрачном экране (рис. 9.10, б) или на зеркало (рис. 9.10, в), а также в случае плоского излучателя (рнс. 10, г). До этого мы рассматривали интерференционную картину, образованную двумя точечными или линейными источниками. В чем различие между интерференционной и дифракционной картинами? Реального различия между ними нет.
В силу исторических причин распределение амплитуды нли интенсивности, появляющееся вследствие суперпозиции вкладов от конечного числа отдельных когсрентных источников, обычно называется интсрферендионноа картиной. Распределение амплитуды или интенсивности, вызванное суперпозицией вкладов от расположенных анепрерывно» друг за другом когерентных источников, называют дифракционной картиной. Поэтому говорят об интерференционной картине от двух узких щелей и о дифракцнонной картине от одной широкой щели или о комбинированной (интерференционной и дифракционной) картине от двух широких щелей.
В п. 9.5 мы предположили, что ограниченный дифракцией пучок, возникающий при падении плоской волны на отверстие 427 (апертуру) в экране (рнс. 9,10, б), эквивалентен пучку от плоского излучателя, размер которого равен величине отверстия, а все излучающие элементы колеблются в фазе и с одинаковой амплитудой (рис. 9.10, д). В этом пункте мы попытаемся доказать спранедливость нашего предположения. Мы увидим, что, хотя предположение об эквивалентности апертуры и источника не совсем точно, оно является удобным приближением, значительно упрощающим вычисление дифракционной картины.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
