Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Во сколько раз отличаются энергетические потери протонов и K + -мезонов с энергией 100 МэВ в алюминиевойфольге толщиной 1 мм?Так как заряды протона и K + -мезона одинаковы, и движутся онив одной и той же среде, то отношение потерь будет зависеть толькоот скоростей частиц, а точнее от β 2 = v 2 /c2 :⎛⎞βp22(11,2+ln−βp 2⎜⎟ZAl (1 − βp2 )dEdEβK+⎜⎟.−=−22⎝⎠+dxdxpДля протонов имеем α =β2 =11,2 + lnβK +2ZAl (1 − βK+)2− βK+100 МэВ= 0,1066 и938,3 МэВ0,10662 + 2 · 0,10660,10662 + 2 · 0,1066 + 1Для K + -мезонов α =β2 =βpK= 0,183.100 МэВ= 0,2026 и493,6 МэВ0,20262 + 2 · 0, 20260,20262 + 2 · 0,2026 + 1= 0,309.Поэтому отношение потерь на единицу толщины вещества для протонов и K + -мезонов следующее:⎛⎞0,183(11,2 + ln− 0,183 dEdE0,309 ⎜13(1 − 0,183)⎟−=−⎝⎠ = 1,56.0,309+dxpdxK0,18311,2 + ln13(1 − 0,309)− 0,309Задача 3.2.6.
Пучок протонов с кинетической энергией частицE = 500 МэВ и током I = 1 мА проходит через медную пластинутолщиной D = 1 см. Рассчитать мощность W , рассеиваемую пучком в пластине.Определим энергию, которую теряет один протон в пластине. Дляпротонов с кинетической энергией E = 500 МэВ величины α и β378Гл. 3. Взаимодействие частиц и излучений с веществомследующие (см., например, предыдущую задачу):α=E500 МэВ== 0,533,2938,3МэВMp c0,5332 + 2 · 0,533βp2 =0,5332 + 2 · 0,533 + 1= 0,574.Удельные ионизационные потери протонов в меди: βp2dEZ z ρэВ2−= 3,1 · 105 Cu p 2Cu 11,2 + ln−β=pdx pсмACu βpZCu (1 − βp2 )29 · 12 · 8,960,574эВ= 3,1 · 105 ·11,2 + ln− 0,574≈63 · 0,57429 · (1 − 0,574)см≈ 1, 7 · 107эВ.смМощность, рассеиваемая пучком в пластине:W =−dEdxpD·IэВ 1 см · 10−3 A · 1,6 · 10−12 эрг/эВ= 1,7 · 107=zpсм1,6 · 10−19 Кл/протонэрг= 1,7 · 104 Вт.= 1,7 · 1011сЗадача 3.2.7.
Определить удельные ионизационные потери энергии и среднее число ионов на 1 см пробега в воздухе для α-частицыс энергией 10 МэВ. На образование одного иона в воздухе необходимо ≈ 35 эВ.Для воздуха: Z = 7, A = 14, плотность ρ = 1,29 · 10−3 г/см3 . Энергия покоя α-частицы Mα c2 = 3727 МэВ. Используя те же обозначе10 МэВ= 0,0027,ния, что и в предыдущих задачах, получаем: α =3727 МэВβα2 = 0,0053. Следовательно,−dEdxα== 3,1 · 105 ·7 · 22 · 1,29 · 10−314 · 0,005311,2 + ln0,0053− 0,0053 =7 · (1 − 0,0053)= 6,1 · 105 эВ/см = 0,61 МэВ/см.Среднее число N ионов, образующихся на 1 см пробега α-частицы,следующее:dEN =−dxэВ610 · 1031см = 1,74 · 104 ионов .=35 эВсмα 35 эВЗадача 3.2.8.
Энергия протонов в ускорителе 100 МэВ. Подсчитать толщину поглотителя из углерода, необходимую для снижения энергии пучка протонов до 20 МэВ.§3.2. Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с веществом379Как следует из формулы (3.2.1), удельные ионизационные потеричастиц в веществе зависят от их кинетической энергии:dE= f (E).dxПо мере прохождения частиц в веществе их кинетическая энергияуменьшается. Поэтому для того, чтобы рассчитать потери в достаточно толстом поглотителе (таком, что теряемая при его прохожденииэнергия ΔE по порядку величины сопоставима с величиной начальнойэнергии частиц E ), нужно проинтегрировать потери по всей толщиневещества:ΔE = f (E)dx.Так как зависимость f (E) достаточно сложная, вычислить такой интеграл аналитически затруднительно (см.
формулу (3.2.1)). Можнопосчитать его численно, разбив всю толщину поглотителя на n малыхчастей толщиной dxi и заменив интеграл суммой:nn dEi· dxi ,ΔE = f (E) dx ≈f (Ei ) dxi =i=1i=1dxгде Ei — энергия частиц, прошедших в поглотителе расстояние xi(см. рис. 3.2.4).Рис. 3.2.4. Разбиение толстого поглотителя на тонкие слоиТаким образом, имеемΔE = E − En = E −n dEii=1dx· dxi .Так как разбиение производится на части равной толщины, т.
е.dxi ≡ dx, в данной задаче требуется найти число отрезков разбиенияn такое, что на толщине поглотителя Δx = n · dx будет потеряназаданная энергия ΔE = E − En . Для данной задачи E = 100 МэВ,En = 20 МэВ, ΔE = 80 МэВ, поглотитель — углерод (Z = 6, A = 12,ρ = 2,25 г/см3 ).В результате численных расчетов находим, что Δx = 3,6 см.380Гл. 3. Взаимодействие частиц и излучений с веществом§3.3. Упругое рассеяние частиц.Метод импульсных диаграммУпругим рассеянием называется такой процесс взаимодействия двухчастиц, при котором суммарная кинетическая энергия обеих частицсохраняется и только перераспределяется между частицами, а самичастицы изменяют направление своего движения.Заряженные частицы небольших энергий рассеиваются за счеткулоновского взаимодействия, заряженные частицы высоких энергийи нейтроны — за счет ядерного взаимодействия.Измерение экспериментальных величин (углов, расстояний, скоростей) производится в неподвижной системе координат, связаннойс местом проведения эксперимента, лабораторией.
Это так называемаялабораторная система координат (ЛСК). Для анализа результатов эксперимента удобно также использовать систему, в которой неподвижнойточкой, выбранной за начало координат, является общий центр инерцииобеих частиц (система центра инерции, СЦИ).Если r1 и r2 — радиусы-векторы частиц 1 и 2 с массами M1 и M2 ,то по определению радиус-вектор центра инерции системы находитсякак:rц.и.
=r1 M1 + r2 M2.M1 + M2Рассмотрим частицы с различными массами M1 и M2 . Пусть дляопределенности частица 2 покоится (исполняет роль мишени), а частица 1 движется со скоростью v . Тогда если поместить начало координатв точку нахождения частицы 2 и обозначить координату частицы 1через x, то координата центра инерции:xц.и. =M1 x.M1 + M2Тогда скорость движения центра инерции относительно ЛСК:vц.и.
=M1 vM1 + M2Скорости движения частиц 1 и 2 в СЦИ соответственно равны:⎧⎪⎨ v1 = v − vц.и. =⎪⎩ v2 = 0 − vц.и.M2 v,M1 + M2M1 v=−.M1 + M2§3.3. Упругое рассеяние частиц. Метод импульсных диаграмм381Их импульсы в СЦИ:⎧M1 M2 v⎪,⎨ p1 = M1 v1 =M1 + M2⎪⎩ p2 = M2 v2 = − M2 M1 v = −p1 ,M1 + M2p1 | = |p2 | и они противоположны по направлению.
Таким образом,т. е. |суммарный импульс обеих частиц в СЦИ в любой момент времениравен нулю, что существенно упрощает анализ эксперимента.Рис. 3.3.1. Импульсная диаграмма упругого рассеяния частиц для случая,когда масса налетающей частицы меньше массы частицы-мишениИмпульсная диаграмма рассеяния (рис.
3.3.1) — геометрическоепостроение, с помощью которого можно найти скорость и направлениедвижения второй частицы после рассеяния по известной скоростии направлению падающей частицы. Дальнейшие рассуждения справедливы для любого соотношения масс частиц, но для определенностисчитаем M1 < M2 .Пусть вектор AB изображает импульс p1 частицы 1 в ЛСК дорассеяния. Импульс частицы 2 равен нулю.
Разделим отрезок ABAOM= 1 . Тогдав отношении масс частиц:OBM2(вектор OB) = (вектор AB)M2M2= p1= p1 ,M1 + M2M1 + M2т. е. равен импульсу частицы 1 в СЦИ до рассеяния. В соответствиисо свойствами СЦИ импульс частицы 2 должен быть равен p1 , но противоположен по направлению:p2 = −p1 = (вектор OC).382Гл. 3. Взаимодействие частиц и излучений с веществомИз закона сохранения импульса следует, что импульсы обеихчастиц в СЦИ после соударения должны быть по-прежнему равны по величине и противоположны по направлению (так как суммарный импульс в СЦИ всегда равен нулю).
Поэтому описаниепроцесса рассеяния в СЦИ сводится к повороту пары импульсовp1 = (вектор OB) и p2 = (вектор OC) на некоторый угол θ так,что импульсы частиц после рассеяния изображаются на диаграммеотрезками p1 = (вектор OD) и p2 = (вектор OE) (импульсы послерассеяния в СЦИ отмечены двумя штрихами).Для обратного перехода в ЛСК учтем, что СЦИ движется соскоростью vц.и. =M1 vотносительно ЛСК.
Поэтому обе частицыM1 + M2будут обладать дополнительными импульсами переносного движения(т. е. обусловленного движением центра масс):(p1 )пер = M1 vц.и. =M12M1v=p ,M1 + M2M1 + M2 1(p2 )пер = M2 vц.и. =M1 M2M2v=p .M1 + M2M1 + M2 1Здесь p1 = M1 v — импульс частицы 1 в ЛСК до рассеяния.На рис. 3.3.1 импульсам (p1 )пер и (p2 )пер соответствуют отрезкивекторов AO и OB. Таким образом, импульс частицы 1 в ЛСК послерассеяния p1 изображается векторной суммой ее импульса в СЦИ(вектор OD) и ее переносного импульса (вектор AO), т. е. векторомAD (AD = AO + OD). Аналогично, складывая векторы p2 = OEи (p2 )пер = OB, получаем вектор DB = OB − OD = OB + OE, изображающий импульс частицы 2 после рассеяния.Как и следовало ожидать, импульсы частиц после рассеяния (векторы AD и DB) образуют с начальным импульсом частицы 1 (векторAB) векторный треугольник: AB = AD + DB, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
