Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Рассчитаем теперь энергию, затрачиваемую на поддержание нагрева плазмы. Мы имеем na + nb ≈ 2n частицв единиценагретых до температуры T . Для этого потребовалась энер 3 объема,гия 2n kT = 3nkT . Итак, чтобы термоядерный реактор стал источником2энергии, необходимо условие E > 3nkT илиn2 σab vab Qab τ > 3nkT.Отсюда для критерия Лоусона получаем, опуская нижние индексы,n·τ >3kT=σ · v Q2Eкин · mc2.c · σ · QВторая часть этого выражения это эквивалентная запись, содержащая массуm v23m и среднюю кинетическую энергию частицы Eкин == kT , а также22скорость света c.Обратимся теперь к нашей конкретной задаче. Реакция синтеза имеет вид(см.
задачу 2.10.17):'31 H + p + 4,03 МэВ,221H + 1H →32 He + n + 3,27 МэВ.Следовательно, Q = (3,27 ÷ 4,03) МэВ. Для дейтрона при температуре T = 5 ×·32× 108 К средняя кинетическая энергия Eкин = kT =3МэВ8,62 · 10−11·5×·2K× 108 K ≈ 65 кэВ. Масса дейтрона mc2 = 1876 МэВ. Сечение синтеза дейтерияпри энергии 65 эВ около 0,02 барна.
В итоге получаемn·τ >2Eкин · mc22 · 0,065 МэВ · 1876 МэВ=≈c · σ · Q3 · 1010 см/с · 0,02 · 10−24 см2 · (3,27 ÷ 4,03) МэВ≈ 1016 с · см−3 .Глава 3ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ И ИЗЛУЧЕНИЙС ВЕЩЕСТВОМ§3.1. ВведениеДля анализа результатов различных экспериментов важно знать,какие процессы происходят при взаимодействии частицы с веществоммишени. Регистрация частиц также происходит в результате их взаимодействия с веществом детектора.Взаимодействие частиц с веществом зависит от их типа, заряда,массы и энергии.
Заряженные частицы ионизуют атомы вещества,взаимодействуя с атомными электронами. Нейтроны и γ -кванты, сталкиваясь с частицами в веществе, передают им свою энергию, вызывая ионизацию за счет вторичных заряженных частиц. В случаеγ -квантов основными процессами, приводящими к образованию заряженных частиц, являются фотоэффект, эффект Комптона и рождение электрон-позитронных пар. Взаимодействие частиц с веществом зависит от таких характеристик вещества, как его плотность,атомный номер вещества, средний ионизационный потенциал вещества.Каждое взаимодействие приводит к потере энергии частицей ик изменению траектории ее движения.
В случае пучка заряженныхчастиц с кинетической энергией E , проходящих слой вещества, ихэнергия уменьшается по мере прохождения вещества, разброс энергийчастиц пучка увеличивается. Пучок расширяется за счет многократного рассеяния.Между проходящей в среде частицей и частицами вещества (электронами, атомными ядрами) могут происходить различные реакции.Как правило, их вероятность заметно меньше, чем вероятность ионизации.
Однако реакции важны в тех случаях, когда взаимодействующаяс веществом частица является нейтральной. Например, нейтрино можно зарегистрировать по их взаимодействию с электронами веществадетектора или в результате их взаимодействия с нуклонами ядра.§3.2. Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с веществом371Нейтроны регистрируются по протонам отдачи или по ядерным реакциям, которые они вызывают.§3.2.
Взаимодействие тяжелых заряженных частицс веществом3.2.1. Удельные потери энергии заряженной частицей. Тяжелые заряженные частицы взаимодействуют главным образом с электронами атомных оболочек, вызывая ионизацию атомов. Проходя черезвещество, заряженная частица совершает десятки тысяч соударений,постепенно теряя энергию.
Тормозная способность вещества можетбыть охарактеризована величиной удельных потерь энергии dE/dx,где dE — энергия, теряемая частицей в слое вещества толщиной dx.Если энергия заряженной частицы теряется на ионизацию среды, то говорят об удельных ионизационных потерях. Удельные потери энергиивозрастают с уменьшением энергии частицы (рис. 3.2.1) и особеннорезко перед остановкой в веществе (пик Брэгга).Рис. 3.2.1.
Зависимость удельной потери энергии в воздухе от энергии частицыдля нескольких типов частиц372Гл. 3. Взаимодействие частиц и излучений с веществом3.2.2. Элементарные оценки потерь энергии заряженной частицей. Рассмотрим тяжелую нерелятивистскую заряженную частицус зарядом ze и скоростью v , пролетающую вдоль оси x на расстоянии bот электрона (рис. 3.2.2).Рис. 3.2.2.
Тяжелая нерелятивистская заряженная частица с зарядом ze и скоростью v пролетает вдоль оси x на расстоянии b от электронаМаксимальная сила взаимодействия в момент наибольшего сближения частиц равна F = ze2 /b2 . Если время взаимодействия взять приближенно равным Δt ≈ 2b/v , то переданный электрону импульс равенΔp ≈ F Δt = 2ze2 /bv , а переданная ему энергия ΔE ≈ (Δp)2 /2me == 2z 2 e4 /me v 2 b2 (me — масса электрона).
В элементе объема dV содержится число электронов dN = ne dV , где ne — плотность электронов.Так как dV = 2π · b · db · dx, то суммарная энергия dE , переданная этимэлектронам частицей, дается выражениемdE = ΔE · dN = 4πne z 2 e4 dbdx.me v 2 bИнтегрируя по b от bmin до bmax , получим величину удельных ионизационных потерьdEn z 2 e4b= 4π e 2 ln max .dxbminme vПри bmax → ∞ и bmin → 0 интеграл расходится. Реально величинаbmax ограничена тем, что при больших b и малых E атомный электрон уже не может рассматриваться как свободный, так как энергия взаимодействия будет сравнима с потенциалом ионизации, и придостаточно больших b передаваемая энергия может оказаться недостаточной для возбуждения атома.
Ограничение на нижний пределинтегрирования bmin связано с тем, что электрону тяжелой нерелятивистской заряженной частицей может быть передана максимальнаяэнергия ΔEmax = 2me v 2 .§3.2. Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с веществом373Удельные ионизационные потери энергии для тяжелыхзаряженных частиц при энергиях E (M c)2 /meТочный расчет дает при E (M c)2 /me (E и M — кинетическаяэнергия и масса частицы): dEz22me c2 β 22222− ln(1 − β ) − β ,= −4π 2 ne r0 me c lndxионизIβ(3.2.1)где:me — масса электрона (me c2 = 511 кэВ — энергия покоя электрона);c — скорость света; β = v/c; v — скорость частицы;z — заряд частицы в единицах заряда позитрона;ne — плотность электронов вещества;I — средний ионизационный потенциал атомов вещества среды,через которую проходит частица: I = 13,5 · Z эВ, где Z — зарядядер вещества среды в единицах заряда позитрона;r0 = e2 /me c2 = 2,818 · 10−13 см — классический радиус электрона.Учитывая, что плотность электронов вещества ne = Zn, где n —плотность ядер вещества, Z — заряд ядер в единицах заряда позиρNтрона, можно выразить ne через параметры среды: ne = Zn = Z AA(NA — число Авогадро, A — массовое число ядер вещества среды, ρ —плотность вещества среды в г/см3 ).
Тогда формула (3.2.1) удельныхионизационных потерь тяжелых частиц преобразуется к виду, болееудобному для вычислений:dEZ · z2 ρβ2эВ2−= 3,1 · 105 ·11,2+ln−β.(3.2.2)22dxZ(1 − β )AβсмЗадача 3.2.1. Рассчитать удельные ионизационные потериэнергии для протонов с кинетической энергией E = 10 МэВ в алюминии.Полная энергия частицы E + M c2 = M c21 − β2. ОткудаE1E 2 /M 2 c4 + 2E/M c2+1= и β2 = 2 2 4.2McE /M c + 2E/M c2 + 11 − β2Отношение кинетической энергии частицы E к энергии покоя M c2обозначим как α, тогдаβ2 =α2 + 2α.α + 2α + 12374Гл. 3.
Взаимодействие частиц и излучений с веществом10 МэВПри этом α == 0,0107, β 2 = 0,021, ρAl = 2,7 г/см3 . Под938,3 МэВставляя найденные значения в формулу (3.2.2), получаем:−dE13 · 12 · 2,7= 3,1 · 105 ·dx27 · 0,02111,2 + ln0,021− 0,02113 · (1 − 0,021)эВ=смМэВ= 92,314.смОбратим внимание, что вклад последнего члена в скобках оченьмал и им можно пренебречь при небольших кинетических энергияхчастиц. При анализе формулы (3.2.1) также можно заметить, что приβ 2 1 два последних слагаемых являются малыми поправками к первому и взаимно компенсируют друг друга.
Действительно, используяразложение в ряд Тейлора, можно получить:− ln(1 − β 2 ) − β 2 = −(−β 2 + β 4 /2 + . . .) − β 2 ≈ −β 4 /2 → 0 при β 2 1.Проиллюстрируем это, проведя расчет вышеописанной задачи по форdEМэВ= 92,314, при этоммуле (3.2.1). Получим тот же результат: −dxсмвклады каждого из членов формулы следующие:z22me c2 β 2МэВ= 92,310n r2 me c2 ln,2 e 0см1Iβ dEz2МэВ−= 4π 2 ne r02 me c2 ln 1 − β 2 = 0,407,dx 2смβ dEz2МэВ−= 4π 2 ne r02 me c2 β 2 = −0,403.dx 3смβ−dEdx= 4πМожно показать, что роль двух последних слагаемых становится заметной, когда кинетическая энергия частицы превышает ее энергиюпокоя.Задача 3.2.2. Определить удельные ионизационные потери протонов в алюминии, если их кинетическая энергия равна: 1) 1 МэВ,2) 10 МэВ, 3) 100 МэВ, 4) 500 МэВ, 4) 1 ГэВ.Расчеты по формуле (3.2.2) показывают, что с ростом энергиипротона его удельные потери энергии на ионизацию вначале резкопадают, а начиная с некоторой (более 500 МэВ) энергии выходят нанасыщение.
Рассчитаем значения в нескольких точках. Они отмечены§3.2. Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с веществом375Рис. 3.2.3. Удельные ионизационные потери энергии протонов в алюминиив зависимости от энергии протоновна графике (рис. 3.2.3):1 МэВ :−10 МэВ :−100 МэВ :−500 МэВ :−1 ГэВ :−dEdxdEdxdEdxdEdxdEdxМэВ,смМэВ92,смМэВ15,смМэВ6,смМэВ5.см= 477====Задача 3.2.3. Рассчитать отношение удельных ионизационныхпотерь протонов и α-частиц с одинаковой кинетической энергией10 МэВ в железе.Из формулы (3.2.1) видно, что удельные ионизационные потеритяжелых частиц пропорциональны квадрату заряда частицы.
Поэтомудля частиц с разными z , движущихся в одной и той же среде с однойи той же скоростью v0 (то есть одной и той же величиной β 2 ),отношение удельных потерь дается выражением:( 2dE1dE2z−= 1 ,−dxv1 =v0dxv2 =v0где z1 и z2 — заряды первой и второй частиц.z2376Гл. 3. Взаимодействие частиц и излучений с веществомПри использовании в расчетах не скорости, а кинетической энергиичастиц необходимо учесть, что квадраты скоростей частиц соотносятсяобратно пропорционально их массам (β 2 = 2E/mc2 ). Поэтому формуладля отношения удельных ионизационных потерь будет немного болеегромоздкой.Рассчитаем величину потерь энергии протонов и α-частиц с одинаковой кинетической энергией 10 МэВ в железе. Используя преобразованную формулу (3.2.2) и пренебрегая в ней последним слагаемым(вследствие его малости при данных β 2 ), запишем:−dEdx(α−2z2 β= α2 2pβα zpdEdxp=βα211,2 + lnZFe (1 − βα2 )(11,2 + lnβp2=ZFe (1 − βp2 )22 0,0210,0053=11,2 + ln0,0053 1226 · (1 − 0,0053)11,2 + ln(0,02126 · (1 − 0,021)= 10,5.Т.
е. α-частица, обладая той же кинетической энергией и лишь вдвоебольшим зарядом, теряет на ионизацию в 10 раз больше энергии, чемпротон.При энергиях 1 и 1000 МэВ отношения удельных потерь энергииα-частиц и протонов:( dEdE−= 4 (при энергии 1 МэВ)−dx−dEdxαdx(α−dEdxpp= 7 (при энергии 1000 МэВ).Задача 3.2.4. Рассчитать отношение удельных ионизационныхпотерь энергии для протонов с энергией 10 МэВ в углероде и свинце.Имеем:α=β2 =10 МэВ= 0,01066 (см. задачу 3.2.1);938,3 МэВ0,010662 + 2 · 0,010660,010662 + 2 · 0,01066 + 1= 0,02098;ρC = 2,25 г/см3 (углерод в форме графита);ρPb = 11,34 г/см3 .§3.2. Взаимодействие тяжелых заряженных частиц с веществом(−dEPbdx⎛−dECdx=377⎞β211,2 + ln−β ⎟ZPb ρPb AC ⎜ZPb (1 − β 2 )⎜⎟=2⎠ZC ρC APb ⎝β211,2 + ln−β22Z C (1 − β )⎞0,0209811,2 + ln− 0,0209882 · 11,34 · 12 ⎜82 · (1 − 0,02098)⎟⎝⎠0,020986 · 2,25 · 20811,2 + ln− 0,020986 · (1 − 0,02098)⎛=≈ 2.Задача 3.2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
