Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 78
Текст из файла (страница 78)
е. выполняется законсохранения импульса.Кинетическая энергия переносного движения обеих частиц равнаEц.и. =2(M1 + M2 )vц.и.M12v2M1=·=E,2(M1 + M2 ) 2(M1 + M2 )M v2где E = 1 .2Вычислим кинетические энергии частиц 1 и 2 в ЛСК после рассеяния. Здесь и далее будем рассматривать нерелятивистское приближение, когда кинетическая энергия частицы значительно меньшеее энергии покоя (E M c2 ). Кинетическая энергия до рассеянияE ≡ E1 =M1 v 2, кинетическая энергия первой частицы после рассеяния221 = p1 .E2M1§3.3. Упругое рассеяние частиц. Метод импульсных диаграмм383Импульс частицы 1 после рассеяния найдем из импульсной диаграммы, применяя для треугольника ADB теорему косинусов:p21 = AD2 = AB2 + DB2 − 2 · AB · DB · cos ψ.Как уже было доказано, AB2 = p21 = M12 v 2 иDB = 2 · OB · cos ψ = 2M2MMvp cos ψ = 2 1 2 cos ψ.M1 + M2 1M1 + M2Отсюда для AD получаем:AD2 = AB2 + DB2 − 2 · AB · DB · cos ψ == M12 v 2 + 4=M12 v 2M12 M22 v 2M12 v 2 · 2M22cosψ−2cos2 ψ =M1 + M2(M1 + M2 )2M12 + M22 + 2M1 M2 (1 − 2 cos2 ψ)(M1 + M2 )2== 2M12 v 2M1 + M22 − 2M1 M2 cos 2ψ .(M1 + M2 )2Кинетическая энергия первой частицы после рассеяния:2 2E1 = AD =M1 + M22 − 2M1 M2 cos 2ψ .E22M1(M1 + M2 )(3.3.1)Поскольку полная энергия сохраняется:1 + E2 ,E=Eлегко найти выражение для кинетической энергии частицы 2 послевзаимодействия:221 = E 1 − M1 + M2 − 2M1 M2 cos 2ψ =2 = E − EE2(M1 + M2 )=2M1 M2 (1 + cos 2ψ)(M1 + M2 )2E.
(3.3.2)Задача 3.3.1. Протон с кинетической энергией E = 10 МэВсталкивается с покоящимся электроном. Рассчитать максимальнуюэнергию, которую может потерять протон в этом столкновении.Используя формулу (3.3.2), найдем максимальную энергию, приобретаемую изначально покоящимся электроном (теряемую протоном)в результате взаимодействия: 4Mp meeE=E , когда cos 2ψ = 1.2max(Mp + me )Поскольку me Mp , можно пренебречь массой электрона в знаменателе и формула упростится: 4me4 · 0,511e=E=10 MэB = 0,0218 MэB = 21,8 кэB.EmaxMp938,3384Гл.
3. Взаимодействие частиц и излучений с веществомЗадача 3.3.2.Сравнить максимальные потери энергииα-частицей и протоном, сталкивающимися с покоящимся электроном и обладавшими до столкновения одинаковой кинетическойэнергией, равной 5 МэВ.Аналогично предыдущей задаче, используем для максимальных потерь формулу: 4Mp,α me4mee=E≈E.E2max(Mp,α + me )Mp,αТаким образом, отношение потерь энергии протоном и α-частицей пристолкновении с покоящимся электроном обратно пропорционально ихмассам:ΔEpM3727= α =≈ 4.ΔEαMp938,3Задача 3.3.3. Определить максимальный угол отклоненияα-частицы при соударении со свободным покоящимся электроном.Рис.
3.3.2. Импульсная диаграмма упругого рассеяния частиц для случая,когда масса налетающей частицы больше массы частицы-мишениЕсли масса налетающей частицы M1 > M2 , импульсная диаграммарассеяния имеет вид, представленный на рис. 3.3.2. Действительно,АОM= 1 и АО > ОВ, где ОВ — по-прежнему радиус окружности.ОВM2Из этой диаграммы следует, что существует максимальное значениеугла рассеяния налетающей частицы в ЛСК. В этом случае прямая ADкасается окружности в точке D. Из анализа прямоугольного треугольника ADO можно заключить, что для максимального угла рассеяния θmax имеет место формула:sin θmax =OD = OBM= 2.AOM1§3.3. Упругое рассеяние частиц.
Метод импульсных диаграмм385Для электрона и α-частицы получаемsin θmax =me0,511== 1,37 · 10−4 .Mα3727Так как угол мал, sin θmax ≈ θmax (радианы), т. е. θmax (градусы) == 0,0078.Кинетическая энергия Ee , которую приобретает первоначальнопокоившийся электрон при прохождении мимо него частицы с массой M и зарядом z , определяется выражениемEe =2μ 2 v 2me1+1b · μ · v22 ,(3.3.3)ze2где b — прицельный параметр, v c — скорость частицы до столкM meновения, μ =и me — масса электрона.(M + me )Задача 3.3.4. Определить потери энергии α-частицей, протоном и π -мезоном с энергией E = 1 МэВ, пролетающими мимо электрона на расстоянии 10−8 см = 105 Фм.Используем вышеприведенное выражение (3.3.3), чтобы найти энергию, приобретаемую покоящимся электроном (она равна энергии, теряемой пролетающими частицами).Вычислимb · μ · v2для каждого типа частиц:ze2b · μ · v2ze2b · μ · v2ze2Mα mev2meh̄c1·= 2bE··=Mα + me zα e2Mα + me zα e2 h̄cα0,511= 2 · 105 Фм · 1 МэВ×(3727 + 0,511)1371·≈ 9,5;×2197 МэВ · Фм=b= 2 · 105 Фм · 1 МэВp×b · μ · v2ze21371·≈ 75,7;1197 МэВ · Фм= 2 · 105 Фм · 1 МэВπ×0,511×(938,3 + 0,511)0,511×(140 + 0,511)1371·≈ 506.1197 МэВ · Фм13 Н.Г.
Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов386Гл. 3. Взаимодействие частиц и излучений с веществомMv2e21Здесь использовано E = α,p,π = 1 МэВ,=и h̄c ≈ 197 МэВ ×·2h̄c137× Фм.Подставляя найденные значения в формулу (3.3.3) для потерь энергии, получим значения энергий Ee (α), Ee (p), Ee (π), приобретаемыхэлектроном соответственно от α-частицы, протона и π -мезона:Ee (α) = 4EMα me·(Mα + me )21+1b · μ · v22 =ze23727 · 0,511α1·≈ 6 эВ,(3727 + 0,511)2 1 + (9,5)2938,3 · 0,5111Ee (p) = 4 · 1 МэВ·≈ 0,4 эB,(938,3 + 0,511)2 1 + (75,7)2140 · 0,5111Ee (π) = 4 · 1 МэВ·≈ 0,06 эB.2(140 + 0,511) 1 + (506)2= 4 · 1 МэВ§3.4. δ -электроныПри прохождении заряженной частицы в веществе ее кинетическаяэнергия идет на возбуждение и ионизацию атомов среды. Электроны,которые выбиваются из атомов в процессе ионизации и, в свою очередь,способные ионизировать другие атомы, называются δ -электронами.Энергия их велика по сравнению с энергией ионизации, поэтомупроцесс образования δ -электронов можно рассматривать как процессрассеяния тяжелой заряженной частицы на свободном электроне.Импульсная диаграмма для такого случая была рассмотрена выше(рис.
3.3.2). Из нее следует, что угол вылета δ -электрона заключенв пределах 0 ψ 90, причем максимальную энергию δ -электронполучает при выбивании его вперед (ψ = 0).Можно также показать, чтоДифференциальное сечение образования δ -электронов заряженной частицей с зарядом z , движущейся со скоростью v в среде,определяется соотношением 2 dσze1=,(3.4.1)23dΩme vcos ψгде ψ — угол вылета δ -электрона относительно направления движения частицы.Задача 3.4.1. Вычислить дифференциальное сечение образования δ -электронов под углом 30◦ α-частицей с энергией E = 10 МэВ.Какую энергию будут иметь δ -электроны?§3.5.
Взаимодействие электронов с веществом387Преобразуем формулу (3.4.1) с помощью константы конверсии ипостоянной тонкой структуры к виду, удобному для вычислений:dσze2 · h̄c1==223me c · h̄c · (v/c)dΩ=cos ψ2 · 197 · 10−13 МэВ · см0,511 МэВ · 137 · 0,005321≈cos3 30◦≈ 1,8 · 10−20 см2 /стерадиан = 1,8 · 104 баpн/стерадиан.Кинетическая энергия δ -электронов определяется формулой (3.3.2):Ee =4me Mα4 · 0,511 · 3727E cos2 ψ =(10 МэВ) cos2 30◦ = 4,1 кэB.(me + Mα )2(0,511 + 3727)2Задача 3.4.2.Какую максимальную энергию потеряетα-частица с энергией 5 МэВ на образование одного δ -электрона?На сколько изменится эта величина, если δ -электрон вылетит подуглом 60◦ к направлению движения α-частицы?Кинетическую энергию δ -электронов определяем с помощью форму4me MαE cos2 ψ (см. предыдущую задачу).
Максимальнаялы Ee =2(me + Mα )энергия теряется α-частицей (приобретается δ -электроном) при еговылете вперед (ψ = 0):(Ee )max =4me Mα4 · 0,511 · 3727E=· 5 MэB = 2,7 кэB.(me + Mα )2(0,511 + 3727)2Если угол ψ вылета электрона составляет 60◦ , то его энергияопределяется выражением:(Ee )60◦ = (Ee )max cos2 ψ = 2,7 кэВ · cos2 60◦ ≈ 0,7 кэB.§3.5. Взаимодействие электронов с веществом3.5.1. Потери энергии электронами. Прохождение электроновчерез вещество отличается от прохождения тяжелых заряженных частиц. Главная причина — малая масса электрона. Это приводит к относительно большому изменению импульса электрона при каждом егостолкновении с частицами среды, что вызывает заметное изменениенаправления движения электрона и как результат — электромагнитноерадиационное излучение.Удельные потери энергии электронов с кинетической энергией12E = me c −11 − β2являются суммой ионизационных и радиационных потерь.13*388Гл. 3.
Взаимодействие частиц и излучений с веществом3.5.2. Ионизационные потери энергии электронами. В областинизких энергий электронов (E < 1 МэВ) определяющий вклад в потери энергии дают неупругие процессы взаимодействия с атомнымиэлектронами, включающие ионизацию атомов. Передаваемая в одномстолкновении энергия в среднем очень мала и при движении в веществе потери складываются из очень большого числа таких малыхпотерь.
Статистические флуктуации в ионизационных процессах ведутк разбросу потерь и величин пробегов.Ионизационные потери энергии электроновdEdxиониз=−2πβn r 2 m e c22 e 01 me c2 Eln2Iβ22 (1 − β 2 )−2 222− 2 1 − β − 1 + β ln 2 + 1 − β ,гдеme — масса электpона (me c2 = 511 кэВ — энергия покоя электрона);c — скорость света; β = v/c; v — скорость электрона;E — кинетическая энергия электрона;ne — плотность электpонов вещества;I — сpедний ионизационный потенциал атомов вещества сpеды,через которую проходит частица: I = 13,5 · Z эВ, где Z — зарядядер вещества среды в единицах заряда позитрона;r0 = e2 /me c2 = 2,818 · 10−13 см — классический pадиус электpона.В нерелятивистской области ионизационные потери быстро уменьшаются при увеличении энергии и достигают минимума при энергииE ≈ 1,5 МэВ. Далее потери очень медленно (логарифмически) растутс энергией, выходя на плато (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
