Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 79
Текст из файла (страница 79)
рис. 3.5.1). Причиной такой зависимости является поляризация среды пролетающим электроном (эффектплотности). В результате ослабляется кулоновское поле релятивистского электрона, и в плотных средах (твердые тела, жидкости) потерине растут. В газах рост потерь может достигать нескольких десятковпроцентов.При расчетах потерь учитывается движение обоих электронов послевзаимодействия и то, что приведенная масса взаимодействующих электронов равна me /2. Принимаются в расчет также квантово-механические эффекты тождественности электронов.
Относительная величинаэтих поправок составляет несколько процентов.§3.5. Взаимодействие электронов с веществом389Задача 3.5.1. Рассчитать удельные ионизационные потери энергии в алюминии электронов с энергиями 1 МэВ, 100 МэВ и 1 ГэВ.α = E/me c2 ,β2 =α2 + 2α.α + 2α + 12Имеем:α = 1 MэB/0,511 MэB ≈ 1,96,β 2 = 0,886.α = 100 MэB/0,511 MэB ≈ 196,β 2 ≈ 1.α = 1000 MэB/0,511 MэB ≈ 1960, β 2 ≈ 1.Подставляя найденные β 2 в формулу для удельных ионизационныхпотерь, приведенную выше, получаем:1 MэB :100 MэB :1 ГэB :dEМэВ≈4;dxсмdEМэВ−≈6;dxсмdEМэВ−≈ 7,5.dxсм−Эти точки отмечены на графике, приведенном ниже.Рис.
3.5.1. Зависимость удельных ионизационных потерь энергии электроновв алюминии от их энергииЗадача 3.5.2. В чем различие механизмов потерь энергии припрохождении тяжелой и легкой заряженных частиц через вещество?390Гл. 3. Взаимодействие частиц и излучений с веществомИонизационные потери электронов преобладают в области относительно небольших энергий. Поскольку массы покоя электрона ипозитрона малы, при каждом столкновении с атомными электронамипроисходит относительно большое изменение их импульса и в результате — заметное изменение направления движения электрона илипозитрона. При этом они приобретают ускорение и, следовательно,начинают терять энергию на электромагнитное излучение.
С ростомэнергии электронов радиационные потери растут, и при некоторойэнергии, называемой критической, величина удельных радиационных потерь становится равна величине удельных ионизационных потерь. При дальнейшем росте энергии радиационные потери преобладают.Тяжелые заряженные частицы невысоких энергий взаимодействуютв основном с атомными электронами и теряют энергию на возбуждениеи ионизацию атомов. При этом они мало отклоняются от направлениясвоего первоначального движения.Задача 3.5.3. Оценить отношение удельных ионизационных потерь в железе для протонов и электронов с энергиями: 10 МэВ,100 МэВ и 1 ГэВ.Учтем, что при данных энергиях электронов βe2 ≈ 1.
Следовательно,в формуле удельных ионизационных потерь можно пренебречь поправочными слагаемыми и оставить только первое слагаемое в скобках.Поэтому3dEdE− p − e =dx1dx( 2 22zp βe2me c2 βp2me c2 Ee22−ln(1 −βp )−βpln=ln22IβpIβe22(1 −βe2 )2.Bычисления дают:%dEdE− p − e≈ 17,5;dxdx 10 МэВ%dEdE− p − e≈ 2,4;dxdx 100 МэВ%dEdE− p − e≈ 0,6.dxdx1 ГэВ3.5.3.
Радиационные потери энергии электронов. Ионизационные потери энергии электронов преобладают в области относительнонебольших энергий. С ростом энергии электрона E растут радиационные потери. Согласно классической электродинамике, заряд, испытывающий ускорение (замедление) a, излучает энергию. Мощность§3.5. Взаимодействие электронов с веществом391излучения W определяется соотношениемW =2 e2 a2.3 c3(3.5.1)Радиационные потери энергии электроновdEdxdEdxdEdxрад=−16Z 2 r02nEпpи E < me c2 = 511 кэB,3137Z 2 r022E4= −nE· 4 ln−21373me cрадZ 2 r02183 2= −nE· 4 ln 1/3 +1379Zрадпpи 1 <пpиE137< 1/ 3 ,2me cZE137> 1/ 3 ,2me cZ(3.5.2)(3.5.3)(3.5.4)гдеme — масса электpона (me c2 = 511 кэВ — энергия покоя электрона);c — скорость света;Z — заряд ядра в единицах заряда позитрона;n — концентрация атомов вещества;r0 = e2 /me c2 = 2,818 · 10−13 см — классический радиус электрона.Ускорение частицы с зарядом ze и массой m, пролетающей на расстоянии b от атомного ядра c зарядом Ze, можно оценить какa≈1 Zze2.m b2Оно пропорционально произведению зарядов ядра и частицы и обратнопропорционально массе частицы.
Поэтому энергия, излучаемая приторможении протона, меньше энергии, излученной электроном в том 2 2mp938,3же поле, примерно в=≈ 3,37 · 106 . По этой причинеme0,511радиационные потери, играющие важную роль в торможении электронов высокой энергии, практически не влияют на прохождение черезвещество тяжелых заряженных частиц.Задача 3.5.4. Рассчитать удельные радиационные потери в медном поглотителе электронов с энергиями 20 МэВ и 1 ГэВ.Используем формулы (3.5.2)–(3.5.4) удельных радиационных поρNAтерь электронов.
Концентрация атомов вещества n =(NA — числоAАвогадро, A — массовое число ядер вещества среды, ρ — плотностьвещества среды). Для меди Z = 29, A = 64, плотность ρ = 8,93 г/см3 .Получаем:392Гл. 3. Взаимодействие частиц и излучений с веществом1) Энергия электронов E = 20 МэВ. α =137E20 МэВ==0,511 МэВme c2= 39,14. Поскольку 1 < 39,14 < 1/3 = 44,6, используем формуZлу (3.5.3): dEZ 2 r022E4== −nE· 4 ln−dx рад1373me c2ρNZ 2 r022E4МэВ= − AE= 13,44 ln−.2137Ame cdEdx= −nEрадсмE1000 МэВ== 1957.20,511МэВme c2) Энергия электронов E = 1 ГэВ.
α =Поскольку 1957 >3137= 44,6, используем формулу (3.5.4):Z 1/ 3Z 2 r02·1371832=4 ln 1/3 +9ZρNZ 2 r021832= − AE4 ln 1/3 +A1379Z= 670МэВ.смГрафик радиационных потерь электронов в меди см. далее в разделе 3.5.4.Задача 3.5.5. Определить удельные радиационные потери припрохождении электронов с энергией 50 МэВ через алюминиевуюмишень и сравнить их с удельными потерями на ионизацию.Для алюминия137Z1/ 3≈ 58 <E50 МэВ=≈ 98. Поэтому ис20,511МэВme cпользуем формулу (3.5.4) для удельных радиационных потерь: dEρNA Z 2 r021832МэВ= 5,2=−E4 ln 1/3 +.dxрад137A9ZсмДля ионизационных потерь находим (учитывая, что β 2 ≈ 1 приэнергии электронов E = 50 МэВ): dEМэВ−= 5,7.dxТаким образом,ионизсм(dE/dx)иониз≈ 1,1.(dE/dx)радИонизационные потери близки к радиационным, так как энергия50 МэВ для электронов в алюминии близка к критической.
Критиче610МэВ ≈ 47 МэВ (см. следующий раздел).ская энергия Eкр (Al) ≈ZAl§3.5. Взаимодействие электронов с веществом393Задача 3.5.6. Электроны и протоны с энергией E = 100 МэВпадают на алюминиевую пластинку толщиной Δx = 5 мм. Определить энергии электронов и протонов на выходе пластинки.Используя данные задач 3.5.1 и 3.5.5, получаем следующие суммарные потери (ионизационные + радиационные) электронов при прохождении пластинки: dEdE· Δx =ΔEe = −+dxdxионизрад= (6 + 2 · 5,2)МэВ· 0,5 см = 8, 2 МэВ.смУдельные ионизационные потери протонов с E = 100 МэВ припрохождениипластинки определены в задаче 3.2.2. Было алюминиевойdEpМэВ= 15Поэтомуполучено −dxсмионизdEpΔEp = −dx· Δx = 15ионизМэВ· 0,5 см = 7,5 MэB.смИтак,(E ) = E − ΔEe = (100 − 8,2) МэВ = 91,8 МэВ. eвыхEp вых = E − ΔEp = (100 − 7,5) МэВ = 92,5 МэВ.Задача 3.5.7.
Определить энергию E0 электронов на входев свинцовую пластину толщиной Δx = 0,1 см, если на ее выходеэнергия электронов равна E = 3 МэВ.В области энергий электронов E > 3 МэВ их ионизационные потериочень плавно возрастают с увеличением энергии. Радиационные потерипри таких энергиях в несколько раз меньше ионизационных. Расчет даетdEМэВ−(E = 3 МэВ) = 3,2,dx радсм dEМэВ−(E = 3 МэВ) = 11,9.dxсмионизОднако радиационные потери быстро возрастают с увеличением энергии и поэтому имеют заметное влияние на результат.
Для точногорасчета необходимо прибегнуть к численному интегрированию, разбивтолщину свинцовой мишени на малые отрезки Δxi и, учитывая зависимость потерь от энергии, получить полные потери при прохождениипластинки путем сложения потерь на каждом отрезке. В результатеможно получить n dEidEi−· Δxi ≈ 4,7 MэB.E0 = E + ΔE = E ++ −i=1dxионизdxрад394Гл.
3. Взаимодействие частиц и излучений с веществом3.5.4. Критическая энергия. Отношение удельных радиационных и ионизационных потерь энергии K определяется зависимостью:K=(dE/dx)рад≈ 1,64 · 10−3 ZE ,(dE/dx)иониз(3.5.5)где E выражается в мегаэлектронвольтах, а Z — средний заряд ядератомов среды (эта зависимость применима к твердым веществам и жидкостям).Энергия электронов Eкр , при которой величина удельных радиационных потерь равна величине удельных ионизационных потерь, называется критической.
Критические энергии электронов для различныхвеществ приведены в табл. 3.1.При энергиях электрона выше критической радиационные потерипреобладают над ионизационными. Так, для электронов с энергией100 МэВ радиационные потери в железе и свинце превышают ионизационные соответственно в 3 и 10 раз. В области энергий, в которой преобладают радиационные потери, энергия электронов экспоненциальноубывает с ростом толщины x поглотителя. Скорость этого убыванияхарактеризуют так называемой радиационной длиной Lr :E = E0 e−x/Lr ,(3.5.6)где E0 — начальная энергия электрона.Т а б л и ц а 3.1Критические энергии электронов Eкр и радиационные длины Lr различныхвеществВеществоКритическая энергияEкр , МэВH2 (жидкость)340Радиационная длина Lrг/см263,0см888C10342,719,3Воздух8336,63 · 104Al47248,9Fe2413,81,76Cu21,512,91,44Pb6,96,40,56Задача 3.5.8. Определить критические энергии электронов дляуглерода, алюминия, железа, свинца.Из определения критической энергии следует, что в формуле (3.5.5)(dE/dx)рад= 1.
Отсюда(dE/dx)иониз1610Eкр ≈≈МэВ,−3Z1,64 · 10 Zнужно положить K =где Z — заряд ядер вещества (в единицах заряда электрона).395§3.5. Взаимодействие электронов с веществомДля углерода: Eкр = (610/6) МэВ ≈ 102 МэВ,алюминия: Eкр = (610/13) МэВ ≈ 47 МэВ,железа: Eкр = (610/26) МэВ ≈ 23,5 МэВ,свинца: Eкр = (610/82) МэВ ≈ 7,4 МэВ.Задача 3.5.9. Рассчитать отношение удельных ионизационныхи радиационных потерь в алюминии для электронов с энергиями:10 и 100 МэВ.Полагая при данных энергиях β 2 ≈ 1 и вспоминая, что плотность электронов ne = Zn, где n — концентрация атомов вещества,получим:E10 МэВ1) Энергия электронов E = 10 МэВ.=≈ 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
