Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 75
Текст из файла (страница 75)
е. имеют средние энергии ≈ 1 кэВ (жесткое рентгеновское излучение). Солнечная среда непрозрачна для фотонов. Из-замногократного поглощения и переизлучения фотоны из центральнойобласти Солнца доходят до его поверхности за времена, во много раз1превышающие R ≈ 2 секунды, где R — радиус Солнца (7 · 1010 см).cПри этом их спектр существенно изменяется. Оценить время движенияфотонов из центра Солнца к его поверхности, учитывая, что его непрозрачность в основном обусловлена рассеянием фотонов на электронах(томсоновским рассеянием).365§2.10. Деление и синтез ядерОценим длину свободного пробега LT фотона во внутренней области Солнца по отношению к томсоновскому рассеянию (определение длины свободногопробега дано в задаче 2.10.12):LT =11=≈ 0,025 см.ne · σT6 · 1025 см−3 · 6,65 · 10−25 см2Здесь для сечения σT томсоновского рассеяния использовано выражение 8π e2σT =re2 ≈ 6,65 · 10−25 см2 (re =≈ 2,82 · 10−13 см — классиче23me cский радиус электрона), а для концентрации ne электронов — выражениеne =ρ · NA100 г · 6,02 · 1023 моль−1=≈ 6 · 1025 см−3 .
Отметим, что концентраA1 г/мольция электронов падает с удалением от центра Солнца. Для оценок принята ихсредняя концентрация в центральной области Солнца радиусом 0,2R .Итак, длина свободного пробега фотона внутри Солнца в7 · 1010 см≈0,025 см≈ 3 · 1012 раз меньше его радиуса.
Фотон на пути к поверхности Солнцаиспытывает огромное число соударений с электронами, что делает его путь извилистым, а характер движения, подобным диффузии. Время движения фотонаиз глубины к поверхности Солнца можно оценить с помощью выраженияtγ ≈ NLT,cгде N — cреднее число соударений, испытанных фотоном на пути к солнечнойповерхности. Найдем это число. В бесконечной рассеивающей среде через nрассеяний фотон получит смещение из первоначального положения, описывае n:мое вектором X n = x1 + x2 + . .
. + xn .X n = 0. Отличной отОчевидно, среднее значение этого вектора равно нулю: Xнуля величиной, характеризующей смещение фотона из центра, будет среднийквадрат смещения: n2 = x21 + x22 + . . . + x2n + 2 x1 · x2 . . . + 2 xi · xj + . . .XПосле усреднения все средние! i-х смещений! дадут квадраты длины! квадратыx21 = x22 = . .
. = x2i = . . . = L2T , а средниесвободного пробега фотона: скалярные произведения xi · xj будут равны нулю. Последнее справедливо при изотропном рассеянии, когда вероятности всех взаимных ориентацийвекторов xi и xj одинаковы, и при томсоновском рассеянии, характеризую n2 = n · L2T .щимся симметрией вперед-назад. Таким образом, получаем X n2 = (R )2 . Следовательно,Когда, фотон достигает поверхности, n = N и XN=1L2T(R )2 , и окончательная формула для tγ приобретает видtγ ≈ NLT1=(R )2 .cc · LTЧисленную оценку по этой формуле выполним для времени выхода фотонаиз внутренней области Солнца радиусом 0,2R , для которой средняя плот-366Гл. 2. Задачи с решенияминость ≈ 100 г/см3 :20,2 · 7 · 1010 см12tγ (0,2R ) ≈(0,2R ) =≈ 3 · 1011 с ≈ 104 лет.c · LT3 · 1010 см/с · 0,025 смЭта величина — нижняя оценка среднего времени достижения фотоном поверхности Солнца.
Таким образом, полученный нами результат должен бытьзаписан в виде tγ > 104 лет. Более детальные расчеты, учитывающие движениефотона через всю толщину солнечной среды, приводят к величинам tγ от 105до 1 млн лет.2.10.22. Если звезда относится к звездам второго поколения и еемасса превышает массу Солнца, то «сгорание» водорода в ней происходит, главным образом, в последовательности реакций, называемойуглеродным циклом. Особенность его в том, что, начинаясь с ядрауглерода, он сводится к последовательному добавлению четырех протонов и образованию из них в конце цикла ядра 42 He:12136C + p → 7N + γ,1313+7 N → 6 C + e + νe ,13146C + p → 7N + γ,14157N + p → 8O + γ,1515+8 O → 7 N + e + νe ,151247 N + p → 6 C + 2 He.Таким образом, в углеродном цикле ядра углерода играют роль катализаторов. Количество этих ядер в результате цепочки реакций неменяется.
Определить энергию, выделяющуюся при образовании одного ядра 42 He в углеродном цикле.Суммируя реакции углеродного цикла, получаем компактную запись процесса образования одного ядра 42 He:4p → 42 He + 2e+ + 2νe + 3γ.Откуда энергия, выделяющаяся при образовании одного ядра в этом цикле,может быть рассчитана следующим образом:Q(4p → 42 He) = 4mp c2 − m4 He c2 − 2me+ c2 == (4 · 938,27 − 3727,38 − 2 · 0,51) МэВ = 24,68 МэВ.Таким образом, выделяющаяся энергия та же, что и в протон-протонномцикле (см. задачу 2.10.18).
Аннигиляция двух позитронов и в этом случаеувеличивает энерговыделение до 26,72 МэВ.2.10.23. Дейтроны с кинетической энергией T = 5 МэВ падают перпендикулярно на тритиевую (31 H) мишень (см. рисунок),массовая толщина которой μ = 0,2 мг/см2 . Исследуется реакцияd + 31 H → 32 He + n. Cколько нейтронов в секунду проходит через детектор, площадь поперечного сечения которого s = 14 cм2 ? Детекторнаходится на расстоянии R = 3м от мишени и расположен под углом367§2.10. Деление и синтез ядерθ = 30◦ к направлениюдейтронного пучка.
Дифференциальное сечениеdσ(θ = 30◦ )= 13 мб/стерадиан и дейтронный ток на мишениреакцииdΩI = 2 мкА.Используем формулу (1.2.23):dN (θ)dσ(θ)= jM, где dN (θ) — число чаdΩdΩстиц, вылетевших под углом θ в единицу времени (в секунду) в телесномугле dΩ. j — плотность потока частиц (число частиц, упавших в единицувремени на единицу поперечной площади мишени). M — полное число частицмишени, находящихся в пучке (M = n · S · L, где n — число частиц мишенив единице объема; S — поперечная облучаемая площадь мишени; L — толщинамишени).
Итак, число нейтронов ΔN пересекающих детектор в секунду даетсявыражениемdσ(θ)ΔN = jMΔΩ,dΩгде ΔΩ — телесный угол, вырезаемый детектором по отношению к мишени.1 I(e — величина элементарного заряда, т. е. заряда электронаИмеем j = ·eSили протона); M = nSL; ΔΩ =sR2. Учтем также то, что nL — число атомовтрития на 1 см2 поперечной площади облучаемой части мишени. Величину nLнужно связать с массовой толщиной μ тритиевой мишени. Эта связь имеетвид: μ = nL · (вес одного атома трития). Так как вес в граммах одного атомаA, то получаем nL =химического элемента с массовым числом A равенN= μ A .
Итак, окончательно имеемAΔN =NA1 Idσ(θ)1N dσ(θ) s· nSLΔΩ = I · μ A· 2 =e SdΩeA dΩR1г−6 кулон=0,2·100,2 · 10−3 2 ×с1,6 · 10−19 кулонсм6 · 1023см214 см2×13 · 10−27стерад ≈3гстерад (300 см)2≈ 103 нейтронов в секунду.368Гл. 2. Задачи с решениями2.10.24. До какой температуры нужно нагреть тяжелую воду, чтобы стало возможным слияние ядер дейтерия?Ядра дейтерия на больших расстояниях испытывают кулоновское отталкивание.
Для слияния они должны, преодолев кулоновское отталкивание, сблизиться до расстояния, на котором начинают действовать мощные ядерные силыпритяжения. Это расстояние примерно равно среднему расстоянию dN междунуклонами в ядре. В задаче 2.6.7 для этого расстояния найдено2 значение≈ 1, 7 Фм. Для сближения до расстояния2 dN ядра дейтерия 1 H должныобладать кинетической энергией Eкин 1 H , не меньшей энергии кулоновскогоотталкивания этих ядер на расстоянии dN . Таким образом,Eкин21H24,8 · 1010 ед.СГСЭe2==≈ 0,85 MэВ.dN1,7 Фм · 1,6 · 10−6 эрг/МэВТемпературу T тяжелой воды находим из хорошо известного термоди 3намического соотношения Eкин 21 H = kT , где k — постоянная Больцмана2(8,62 · 10−11 МэВ/Кельвин). Итак, имеем 22 Eкин 1 H20,85 МэВT == ·≈ 6,6 · 109 К.3k3 8,62 · 10−11 МэВ/KНа самом деле за счет высокоэнергичного хвоста максвелловского распределения по скоростям и квантово-механического эффекта туннелирования синтезядер дейтерия будет наблюдаться уже при температурах на 2–3 порядка болеенизких.2.10.25.
В создаваемых установках, использующих управляемыйтермоядерный синтез (термоядерных реакторах), концентрированнаядейтерий или дейтерий-тритиевая плазма, нагретая до очень высокойтемпературы (T = 108 –109 K), должна удерживаться в течение некоторого времени τ , достаточного для того, чтобы выделяющаяся в синтезеэнергия превосходила энергию, затраченную на нагрев и удержаниеэтой плазмы в ограниченном объеме. Выход термоядерной энергиипропорционален как концентрации плазмы n, так и длительностиее удержания τ . В термоядерной установке конкретного вида лишь приопределенном значении параметра n · τ , называемого критерием Лоусона, начинает вырабатываться дополнительная (сверх затраченной)энергия.
Оцените значение этого параметра для чистой дейтериевойплазмы, нагретой до температуры T = 5 · 108 K.Рассмотрим задачу в общем виде. Пусть имеется плазма из частиц (ядер)двух сортов a и b c концентрациями na и nb . При слиянии a и b выделяетсяэнергия Qab . Выделяющаяся в единице объема в единицу времени энергиясинтеза равна числу Nab актов реакции синтеза в единицу времени в единицеобъема, умноженному на Qab . За время τ выделяющаяся в единице объемаэнергия E определяется соотношениемE = Nab · Qab · τ.369§2.10. Деление и синтез ядерNab найдем, пользуясь определением эффективного сечения σ =N, ужеj·Mиспользованного в задаче 2.10.9.
В этом определении j — плотность потокападающих на мишень частиц (число частиц, упавших в единицу временина единицу поперечной площади мишени), M — число ядер в облучаемойчасти мишени. Это определение относится к случаю, когда есть падающие намишень частицы (например, частицы a) и есть неподвижные частицы мишени(частицы b). Учитывая, что j ≡ ja = na va , где va — скорость частиц a,и вместо числа M ядер мишени в нашем случае нужно брать число nb частицb в единице объема, для Nab можно записатьNab = ja · nb · σab = na nb σab vab ,где σab — сечение реакции синтеза частиц a и b. Поскольку в нашем случаедвигаются частицы обоих сортов мы перешли к относительной скорости этихчастиц: va → vab .
Окончательное выражение для E приобретает видE = Nab · Qab · τ = na nb σab vab Qab τ.Произведение эффективного сечения и относительной скорости мы усреднилипо распределению скоростей частиц в плазме.E это энергия, вырабатываемая синтезом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
