Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Оценим высоту кулоновского барьера по формуле, приведенной в задаче 2.8.53:Vкул =zα Zя e2e2 zα Zя h̄c=·.rh̄cR§2.10. Деление и синтез ядер351Расчет по этой формуле для сравниваемых ядер дает12 · 26 · 197 МэВ · ФмVкул 56·≈ 18,7 МэВ,26 Fe =1374,0 Фм12·79·197МэВ·ФмVкул 197·≈ 37,2 МэВ.79 Au =1376,1 ФмЗдесь радиусы ядер рассчитывались по формуле (1.7.2).Итак, в случае ядра 5626 Fe энергия α-частиц больше высоты кулоновскогобарьера, и этот барьер не препятствует реакции.
В случае ядра 19779 Au энергияα-частиц меньше высоты кулоновского барьера. Следовательно, рассматриваемая реакция будет сильно подавлена для ядра 19779 Au, и вероятность ее (эффек197тивное сечение) для ядра 5626 Fe будет существенно выше, чем для ядра 79 Au.§2.10. Деление и синтез ядер2.10.1. Рассчитать, исходя из данных рис. 1.7.4, какая энергияосвобождается при делении 1 г урана.Для ядра урана A ≈ 240 . При его делении на два осколка равноймассы (A1 = A2 ≈ 120) удельная энергия связи нуклона увеличивается отε240 ≈ 7,6 МэВ до ε120 ≈ 8,5 МэВ, т.
е. увеличение средней энергии связи наодин нуклон составляет величинуΔε = ε120 − ε240 ≈ (8,5 − 7,6) МэВ = 0,9 МэВ.Число ядер N в образце массы m дается выражением N = mNA /A, где NA —число Авогадро, а A — массовое число. Освобождающаяся при делении 1 гурана энергия E :E = N · Δε · A = m · NA · Δε = 1 г · 6,02 · 1023 (г)−1 · 0,9 МэВ == 5,4 · 1023 МэВ ≈ 1011 Дж.2.10.2. Какое количество ядер должно делиться в 1 с для получения мощности в 1 Вт? Какая масса урана-235 делится в секундув ядерном реакторе мощностью 1000 МВт?В одном делении освобождается энергия около 200 МэВ = 3,2 · 10−4 эрг =Дж= 3,1 · 1010 делений в 1 с.= 3,2 · 10−11 Дж. Отсюда получаем 1 Вт = 1сСоответственно при мощности 1000 МВт число делений в 1 с должно быть·3,1 · 1019 , а масса делящегося урана (3,1 · 1019 ) · 235 · 1 а.е.м.
= (3,1 · 1019 ) ×× 235 · 1,66 · 10−24 г ≈ 12 мг. Отметим, что это соответствует делению 1 кгурана в сутки.2.10.3. Оценить количество 23592 U, которое необходимо подвергнуть делению для того, чтобы ядерный реактор полезной мощностью1000 МВт непрерывно работал в течение года. Считать, что лишь 1/3полной мощности реактора оказывается полезной.Чтобы генерировать полезную мощность 1000 МВт реактор должен вырабатывать полную мощность 3000 МВт = 3 · 109 Дж/с. Таким образом,полная энергия, освобождаемая в реакторе в течение 1 года (≈ 3 · 107 с) засчет деления, равна (3 · 109 Дж/с) · (3 · 107 с) ≈ 1017 Дж. Далее учтем, что352Гл.
2. Задачи с решениямив каждом акте деления освобождается около 200 МэВ. Поэтому требуемое дляобеспечения вышеуказанной мощности число делений следующее:1017 Дж ≈ 3 · 1027 .−13(200 МэВ) · 1,6 · 10Дж/МэВМасса одного атома урана-235 равна (235 а.е.м.) · 1,66 · 10−27 кг ≈ 4 · 10−25 кг,·так что необходимая полная масса урана-235 равна (4 · 10−25 кг) ×× (3 · 1027 делений) ≈ 1200 кг, т.
е. более одной тонны. Поскольку доляурана-235 в естественном уране всего 0,72 %, то требуемое для работы·реактора количество естественного урана становится равным ≈ (1,2 т) ×1≈ 170 тонн. Непосредственно в реакторе используется обогащенный×0,0072уран, доля урана-235 в котором может быть порядка 10 %. Соответственнотребуемое количество обогащенного урана сокращается примерно в 10–20 раз.2.10.4. Показать, что основная часть энергии деления освобождается в виде кинетической энергии осколков.Такой вывод следует из того, что кулоновская энергия двух соприкасающихся осколков приблизительно равна энергии деления. Под действиемэлектрических сил отталкивания кулоновская энергия осколков переходит в ихкинетическую энергию.
Оценим величину кулоновской энергии соприкасающихся одинаковых осколков:Eкул =(eZ)2,2Rгде Z и R — заряд и радиус осколков. При делении урана (A ≈ 240, 2Z = 92)на два одинаковых осколка (симметричное деление), оценивая радиус каждогоиз них с помощью выражения R = 1,2A1/3 Фм, получаемEкул =24,8 · 10−10 СГСЕ · 462 · 6 · 10−13 см · 1,6 · 10−6 эрг/МэВ≈ 250 МэВ.2.10.5. Наиболее вероятное деление 23592 U тепловыми нейтронами95приводит к появлению в качестве осколков ядер 13954 Xe и 38 Sr с суммарной кинетической энергией T ≈ 170 МэВ.
Определить, как распре95деляется эта энергия между ядрами 13954 Xe и 38 Sr и каковы скоростиих движения. Считать, что ядро делилось в состоянии покоя.Для решения задачи можно использовать простейшую нерелятивистскуюкинематику. Запишем уравнения баланса кинетических энергий и импульсов&осколков:TXe + TSr = T ,pXe = pSr или MXe TXe = MSr TSr .Решение этой системы дает для искомых кинетических энергий осколковследующие выражения и величины:MSr95= 170МэВ = 69 МэВ,MSr + MXe95 + 139MXe139=T= 170МэВ = 101 МэВ.MSr + MXe95 + 139TXe = TTSr353§2.10.
Деление и синтез ядерВычисляем скорости осколков:2TXe2 · 69 МэВvXe = c=c= 0,0327c = 0,98 · 109 см/с,139 · 931,5 МэВMXe c22TSr2 · 101 МэВvSr = c=c= 0,048c = 1,43 · 109 см/с.295 · 931,5 МэВMSr cЗдесь для массы осколков в энергетических единицах использовано M c2 == A · (1 а.е.м), где A — массовое число осколка, а 1 а.е.м = 931,5 МэВ.2.10.6. Получить выражение для энергии деления. Найти значениепараметра деления Z 2 /A, при котором деление энергетически выгодно(т.
е. сопровождается выделением энергии).Выразим энергию деления Eдел через энергии связи начального и конечныхядер. Массу M (A, Z) начального ядра, состоящего из Z протонов и N нейтронов, и имеющего энергию связи W (A, Z), запишем в следующем виде:M (A, Z)c2 = (Zmp c2 + N mn c2 ) − W (A, Z).(2.10.1)Если это ядро разделить на осколки с массами M1 (A1 , Z1 ), M2 (A2 , Z2 ) и энергиями связи W1 (A1 , Z1 ), W2 (A2 , Z2 ), то для энергии деления имеем выражениеEдел = M (A, Z)c2 − [M1 (A1 , Z1 )c2 + M2 (A2 , Z2 )c2 ] == W1 (A1 , Z1 ) + W2 (A2 , Z2 ) − W (A, Z), (2.10.2)причем A = A1 + A2 , Z = Z1 + Z2 .Для анализа деления удобно рассматривать ядро в модели жидкой каплии использовать формулу Вайцзеккера (1.8.7) для энергии связи ядра. Дляслучая, когда ядро делится на два одинаковых осколка с A1 = A2 = A/2и Z1 = Z2 = Z/2, пренебрегая незначительной энергией спаривания δA−3/4и полагая Z(Z − 1) ≈ Z 2 , получаем (слагаемые объемной энергии и энергиисимметрии сокращаются)A ZEдел = 2W,− W (A, Z) ≈2 2A ZA Z≈ [Eпов (A, Z) + Eкул (A, Z)] − 2[Eпов,+ Eкул,]=2 2 ⎡2 2 Z 2 ⎤ A 2/ 3 ⎢ Z2⎥+ ac ⎣ 1/3 − 2 2 1/3 ⎦ == ΔEпов + ΔEкул = as A2/3 − 22= as A2/3 (1 −√32 ) + acZ2A1/ 3A11− √34A2≈ −0,26 · as A2/3 + 0,37 · acZ2A 1/ 3.(2.10.3)Откуда следует, что деление энергетически выгодно (Eдел > 0) в том случае,когда 0,37 · acZ2A 1/ 3> 0,26 · as A2/3 , т.
е. когдаZ20,26 as0,26 17,2>·=·≈ 17.A0,37 ac0,37 0,72(2.10.4)Z2= 17 для иттрия (8939 Y). Таким образом, деление энергетически выгодно дляAвсех ядер тяжелее иттрия.12 Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов354Гл. 2. Задачи с решениямиПодведем итоги. В выражение (2.10.1) для энергии ядра входит суммаповерхностной и кулоновской энергий Eпов + Eкул . При делении Eпов возрастает, так как возрастает площадь ядерной поверхности (суммарная площадьповерхностей осколков больше площади поверхности начального ядра), а Eкулуменьшается, так как увеличивается среднее расстояние между протонами.Для того чтобы при делении освобождалась энергия (Eдел > 0) необходимо,чтобы уменьшение в Eкул превышало увеличение в Eпов , что имеет место приусловии (2.10.4).2.10.7.
Используя значение параметра Z 2 /A, определите статус90197238282следующих ядер относительно деления: 6028 Ni, 40 Zr, 79 Au, 92 U, 112 Cn300(коперниций) и гипотетическое ядро 125 XЗначения параметра Z 2 /A вместе с энергиями деления Eдел (рассчитанными по формуле (2.10.3)) для вышеперечисленных ядер приведены в таблице:Ядро2Z /A6028 Ni9040 Zr19779 Au23892 U282112 Cn300125 X13,117,831,735,644,552,13,1134,3 192,1 317,2 421,4Eдел , МэВ −15, 2Для ядра 6028 Ni энергия деления Eдел < 0. Поэтому спонтанное делениеневозможно.
Это также следует из того, что параметр деления (Z 2 /A) дляэтого ядра < 17 (см. задачу 2.10.6). Это ядро можно разделить, лишь сообщивему энергию не менее 15,2 МэВ.197238282Ядра 9040 Zr, 79 Au, 92 U, 112 Cn способны к спонтанному делению, так какZ2< 48, то это делениедля них Eдел > 0. Однако, поскольку для нихAподбарьерное, т. е. происходит за времена бóльшие характерного ядерноговремени (≈ 10−22 с). Величина барьера деления быстро уменьшается с ростом Z 2 /A, поэтому время спонтанного деления резко снижается при движе19723828290197нии 9040 Zr → 79 Au → 92 U → 112 Cn.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
