Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Для ядер 40 Zr и 79 Au период спонтанногоделения настолько велик, что не поддается измерению. Для 23892 U период (t1/2 )спонтанного деления около 1016 лет, а у 282112 Cn этот период снижается ужедо 0,50 мс.Гипотетическое ядро 300125 X, даже если его и создать, испытает мгновенное(за характерное ядерное время) спонтанное деление, поскольку для этогоядраZ2> 48, и барьер деления для такого ядра отсутствует.AНа рисунке 2.10.1 показана (на качественном уровне) зависимость формыи высоты барьера деления, а также энергии деления от величины параметра Z 2 /A.2.10.8.
Тепловые нейтроны поглощаются ядрами изотопов 23592 UиОпределить энергии возбуждений E ∗ составных ядер (соответ239ственно 23692 U и 92 U). Сравнить их и прокомментировать результат.23892 U.Используем формулу (1.11.13):m∗EU= Tn 1 − n + Q.MU§2.10.
Деление и синтез ядер355Рис. 2.10.1. Зависимость формы и высоты потенциального барьера, а такжеэнергии деления от величины параметра Z 2 /A. По горизонтальной оси −среднее расстояние между центрами осколков. Двусторонние вертикальныестрелки показывают высоту барьера деленияЗдесь Tn — кинетическая энергия нейтрона, mn и MU — массы нейтронаи составного ядра урана, Q — энергия реакции.
Например, для реакции n +236222+ 23592 U → 92 U имеем Q(235) = mn c + M235 U c − M236 U c , или через избытки235236масс Q(235) = Δ(n) + Δ( U) − Δ( U).Произведем вычисления, используя избытки масс нейтрона Δ(n) == 8,071 МэВ и изотопов урана Δ(235 U) = 40, 921 МэВ, Δ(236 U) = 42,446 МэВ,Δ(238 U) = 47,309 МэВ, Δ(239 U) = 50,574 МэВ и то, что кинетическая энергия12*356Гл. 2. Задачи с решениямитеплового нейтрона Tn ≈ 0 (сотые доли электронвольта). Имеем∗E236≈ Q(235) = Δ(n) + Δ(235 U) − Δ(236 U) == (8,071 + 40,921 − 42,446) МэВ = 6,546 МэВ,∗E239≈ Q(238) = Δ(n) + Δ(238 U) − Δ(239 U) == (8,071 + 47,309 − 50,574) МэВ = 4,806 МэВ.Таким образом, энергия возбуждения ядра 23692 U на 1,74 МэВ выше энергиивозбуждения ядра 23992 U. С учетом того, что барьер деления для обоих рассматриваемых изотопов примерно одинаков и равен около 6 МэВ, получаем,что для 23692 U энергия возбуждения (≈ 6,5 МэВ) превысит величину барьера итепловой нейтрон, захваченный 23592 U, вызовет его мгновенное деление.
В то жевремя энергия возбуждения 23992 U (≈ 4,8 МэВ) ниже высоты барьера примернона 1 МэВ, и для того чтобы изотоп 23892 U, захвативший нейтрон, разделился,этот нейтрон должен иметь кинетическую энергию Tn > 1 МэВ, т. е. бытьбыстрым.Причина существенно бóльшей энергии возбуждения ядра 23692 U по сравнению с аналогичной энергией 23992 U при поглощении теплового нейтрона кроетсяглавным образом в энергии спаривания (последнее слагаемое в формуле Вайцзеккера (1.8.7)). Это слагаемое имеет вид Eсп = δA−3/4 , причем (см.
(1.8.9))δ = +34 МэВ — четно-четные ядра;δ = 0 — нечетные ядра;δ = −34 МэВ — нечетно-нечетные ядра.При поглощении нейтрона нечетным изотопом 23592 U (для него Eсп = 0) онстановится четно-четным (23692 U), и это увеличивает энергию возбуждения последнего за счет возрастания его энергии связи на величину энергии спарива−3/4МэВ ≈ 0,56 МэВ.
И наоборот, при поглощенииния Eсп (23692 U) = +34 · 236236нейтрона четно-четным изотопом 23892 U (для него Eсп та же, что и для 92 U,т. е. ≈ 0,56 МэВ) он становится нечетным (Eсп = 0), и это уменьшает энергиювозбуждения последнего за счет уменьшения его энергии связи на ту жевеличину ≈ 0,56 МэВ.
Таким образом, различие в энергиях возбуждения239изотопов 23692 U и 92 U в пользу первого из них составляет только за счет энергииспаривания величину ≈ 2 · 0,56 МэВ ≈ 1,1 МэВ.2.10.9. Сечение деления для естественной смеси изотопов уранатепловыми нейтронами σTест составляет 4,2 барн. Чему равно сечениеделения σT235 этими нейтронами урана-235?Формулы (1.2.23) и (1.2.24) дают следующее определение полного эффективного сечения реакцииNσ=,j·Mгде N — число случаев реакции в единицу времени, j — плотность потокападающих на мишень частиц (число частиц, упавших в единицу времени наединицу поперечной площади мишени), M — число ядер в облучаемой частимишени. В данном случае мишенью является естественная смесь изотопов235урана.
Она на 99,2742 % состоит из ядер 23892 U, на 0,7204 % — из ядер 92 U234234и на 0,0054 % — из ядер 92 U. Ничтожным вкладом изотопа 92 U пренебрегаем.238Из оставшихся изотопов (23592 U и 92 U) тепловыми нейтронами делится толь235ко 92 U. Двигаясь в мишени из естественной смеси изотопов урана, тепловой§2.10. Деление и синтез ядер357нейтрон лишь с вероятностью 0,007204 встретит ядро 23592 U, способное делиться.
За счет этого сечение деления для естественной смеси изотопов уранаснижается до σTест = 4,2 барн. Поэтому для получения σT235 необходимо в вышеприведенном выражении для эффективного сечения учесть лишь ту долю ядермишени, которая отвечает ядрам 23592 U, т. е. в знаменателе этого выражениявместо M использовать M · 0,007204. Итак, имеем два соотношенияN= 4,2 барн,j·MN=.j · M · 0,007204σTест =σT235ОткудаσT235 =σTест4,2 барн=≈ 580 барн.0,0072040,0072042.10.10. Считая, что мгновенное спонтанное деление ядер ограничивает область существования устойчивых или долгоживущих ядер состороны больших значений Z (число протонов) и A (число нуклонов),предсказать верхнюю границу таблицы элементов Менделеева.Z2Если параметр делениядостигает 48, то потенциальный барьер деленияAисчезает, и ядра с такими или бóльшими параметрами деления становятсянеустойчивыми к мгновенному (за время ≈ 10−22 с) спонтанному делению(см.
задачу 1.8.4 и соотношение (1.8.14)). Таким образом, одно уравнение длянахождения максимальных Z и A может быть записано в виде2Zmax= 48.AmaxДругим уравнением может быть уравнение линии стабильности (1.8.10). Итак,система уравнений для нахождения максимальных Z и A выглядит следующимобразом:⎧ 2⎪⎪ Zmax = 48,⎨Amax⎪⎪⎩ Zmax =Amax2/ 30,015 · Amax + 2.Решением этой системы уравнений являются Zmax ≈ 140 и Amax ≈ 390. У такого ядра отношение числа нейтронов к числу протонов ≈ 1,8.2.10.11. Оценить поток антинейтрино из реактора мощностью1000 МВт.Рассмотрим в качестве конкретного примера реактор на тепловых нейтронах, в котором делящимся материалом являются ядра 23592 U. Одной изнаиболее вероятных реакций деления в таком реакторе является следующая(см.
(1.11.22а)):95139n + 23592 U → 38 Sr + 54 Xe + 2n.95139Ядра-осколки 38 Sr и 54 Xe нестабильны, так как перегружены нейтронами и путем цепочки β − -распадов достигают области стабильных ядер наN Z -диаграмме. Антинейтрино, возникающие в каждом акте такого распада,формируют поток антинейтрино, испускаемых реактором. Оценим суммарное139число актов β − -распада, которое необходимо ядрам-осколкам 9538 Sr и 54 Xe длятого чтобы стать стабильными ядрами. Это число и будет равно числу nν eантинейтрино, возникших в реакторе при делении одного ядра 23592 U. Умножив358Гл. 2.
Задачи с решениямидалее это число на число f делений в одну секунду в урановом реакторемощностью 1000 МВт, получим искомый поток антинейтрино Jν e . Итак, оцениваем nν e . При каждом β − -распаде массовое число A ядра не меняется, а число139протонов Z в ядре увеличивается на 1. Ядра-осколки 9538 Sr и 54 Xe имеют массовые числа соответственно 95 и 139. Для наиболее стабильных ядер с такимимассовыми числами количества протонов находятся из соотношения (1.8.10):⎧95⎪≈ 41 для A = 95,⎨A0,015 · 952/3 + 2Zравн ≈=139⎪0,015A2/3 + 2⎩≈ 58 для A = 139.2/ 30,015 · 139+29538 Sr,Таким образом, ядропрежде чем достигнет наиболее устойчивого состояния, испытает (41 − 38) = 3 акта β − -распада. В свою очередь, ядро 13954 Xeиспытает (58 − 54) = 4 акта β − -распада.
Суммарное число актов β − -распадаравно 3 + 4 = 7, и следовательно, при делении одного ядра 23592 U в среднемобразуется nν e ≈ 7 антинейтрино.Как следует из данных задачи 2.10.2, при мощности реактора в 1000 МВтчисло f делений в 1 с должно быть 3,1 · 1019 . Поэтому поток Jν e антинейтриноиз такого реактора получаем в результате следующего вычисления:Jν e = nν e · f = 7 · 3,1 · 1019 с−1 ≈ 2 · 1020 с−1 .2.10.12. Пучок частиц падает на толстый слой поглотителя, содержащего n поглощающих частиц в единице объема. Получите выражение для длины свободного пробега L (среднего расстояния, котороепадающая частица пролетает в веществе поглотителя без взаимодействия).
Во сколько раз уменьшается интенсивность падающего пучкачастиц при прохождении толщины поглотителя равной L?Число частиц N (x), прошедших слой вещества толщиной x, при однократном взаимодействии дается выражениемN (x) = N (0) · e−nσx ,где N (0) — число частиц до попадания в поглотитель, а n — количество частицпоглотителя в единице объема, σ — эффективное сечение взаимодействия.Таким образом, вероятность P (x) того, что частица пройдет слой веществатолщиной x без поглощения (без взаимодействия) определяется соотношениемP (x) =N (x)= e−nσx .
По определению среднего (математического ожидания),N (0)∞∞xP (x) dxxe−nσx dx1L = 0∞= 0∞=.nσ−nσxP (x) dxedx00Следовательно, при прохождении в поглотителе расстояния, равного длинесвободного пробега L, интенсивность пучка уменьшается в e раз.2.10.13. Определить длину L свободного пробега и среднее времяжизни τ реакторного антинейтрино до взаимодействия в воде, восполь-359§2.10. Деление и синтез ядерзовавшись данными эксперимента Райнеса и Коуэна (1956–1959 гг.),получивших для сечения σ взаимодействия реакторных антинейтринов веществе значение ≈ 10−43 см2 .Антинейтрино в реакторе рождается в распаде нейтрона: n → p + e− + ν e .Двигаясь в веществе, эти антинейтрино поглощаются или рассеиваются в немза счет взаимодействия с нуклонами атомных ядер и электронами атомныхоболочек.
Эффективные сечения σ взаимодействия реакторных антинейтрино(их энергии около 1 МэВ) с нуклонами и электронами примерно одинаковы иравны величине, приведенной в условии задачи.Длина свободного пробега (она определена в предыдущей задаче) L == 1/nσ, где n — количество частиц поглотителя (нуклонов и электронов)в единице объема.
Для количества частиц поглотителяобъема (их ρN в единицеρNAA. Здесь— конценконцентрации) имеем выражение n = (Z + A)AAтрация молекул поглотителя (NA — число Авогадро, ρ — плотность вещества,A — массовое число (число нуклонов) молекулы поглотителя), а (Z + A) —суммарное число нуклонов и электронов в молекуле поглотителя. Для водыρ = 1 г/см3 , A(H2 O) = 18 и (Z + A) = 28. Таким образом, n = 28 · 6 ×·× 1023 /18 см−3 ≈ 9,3 · 1023 см−3 . ОткудаL = 1/nσ = 1/(10−43 см2 ) · (9,3 · 1023 см−3 ) ≈ 1,1 · 1019 см = 1,1 · 1014 км.Для величины τ имеемτ = L/c = 1,1 · 1014 км/3 · 105 км/с ≈ 3,6 · 108 с ≈ 11,5 лет (1 год ≈ π · 107 с).2.10.14. Какова длина свободного пробега L падающей на поглотитель частицы в следующих случаях:1) Поглощение тепловых нейтронов (их кинетическая энергия ≈≈ 0,025 эВ) кадмием.
Плотность кадмия ρCd = 8,6 г/см2 . Эффективноесечение поглощения σCd = 2500 барн/атом.2) Поглощение фотонов в свинце (ρPb = 11,3 г/см2 , σPb == 15,7 барн/атом).3) Поглощение антинейтрино от ядерного реактора в Земле (ρЗ == 5 г/см2 , σ ≈ 10−19 барн/(электрон или нуклон)). Полагаем (Z/A)З ≈≈ 0,5.1) Тепловые нейтроны в кадмии. Имеем nCd = ρCdNA, где NA — числоACdАвогадро (6,02 · 1023 моль−1 ), а ACd — атомная масса кадмия (112,40 г/моль).ПолучаемLn,Cd =1ACd==nCd σCdρCd σCd NA=112,40 г/моль8,6 г/см3 · 2500 · 10−24 см2 · 6,02 · 1023 моль−1= 8,7 · 10−3 см.2) Фотоны в свинце.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
