Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Подставляя в вышенаписанное соотношение Tα = 3,95; 4,84и 6,57 МэВ, получаем EP∗ = 13,11; 13,89 и 15,39 МэВ соответственно.2.9.46. Предсказать возможные орбитальные моменты нейтронас энергиями 0,01; 0,1; 1, 10 и 100 МэВ, взаимодействующего с тяжелым ядром.Относительные угловые моменты l, при которых в основном будет происходить реакция, зависят от импульса p налетающей частицы. Максимальноезначение lmax этого момента, при котором частица «попадает» в ядро, приблизительно равно pR/h̄ (см.
соотношение (1.10.24) и обсуждение рис. 1.11.1),илиRlmax ≈ – ,(2.9.5)λ– = h̄/p. Поэтому, если импульс частицы мал (соответственно великагде λ–), то в реакции могут участвовать лишь частицыее приведенная длина волны λс низким угловым моментом l. Преобразуем выражение (2.9.5) с помощью– = h̄ = h̄c, где m и T — масса и кинетическая энергиязамены λp2T · mc2частицы, которая считается нерелятивистской. ПолучаемR√lmax =2T · mc2 .h̄c(2.9.6)Таким образом, если энергия частицы достаточно велика, то в реакции могутучаствовать частицы с большим набором орбитальных моментов.Оценим с помощью вышеприведенного выражения для lmax возможныезначения орбитального момента нейтрона с различными кинетическими энергиями TN , взаимодействующего с тяжелым ядром (R ≈ 6,5 Фм):1. TN = 0,01 МэВ.R√6,5 Фмlmax =2T · mc2 =2 · 0,01 МэВ · 939,6 МэВ ≈ 0,14.h̄c197 МэВ · ФмПоскольку l может быть только целочисленным или нулем, то остается лишьвариант l = 0 (нейтронная s-волна).2.
TN = 0,1 МэВ.6,5 Фмlmax =2 · 0,1 МэВ · 939,6 МэВ ≈ 0,45,197 МэВ · Фм336Гл. 2. Задачи с решениямит. е. вновь остается вариант l = 0 (нейтронная s-волна).3. TN = 1 МэВ.6,5 Фмlmax =2 · 1 МэВ · 939,6 МэВ ≈ 1,4,197 МэВ · Фмт. е. наряду с s-волной в реакции с заметной вероятностью начинает участвовать и p-волна (l = 1).4. TN = 10 МэВ.6,5 Фмlmax =2 · 10 МэВ · 939,6 МэВ ≈ 4,5,197 МэВ · Фмт.
е. возможны l = 0, 1, 2, 3, 4.5. TN = 100 МэВ.lmax =6,5 Фм2 · 100 МэВ · 939,6 МэВ ≈ 14,197 МэВ · Фмт. е. возможны l от 0 до 14.На самом деле полученные значения орбитальных моментов нейтронаявляются наиболее вероятными. Квантовая механика не исключает во всехрассмотренных случаях взаимодействия с ядром нейтрона и с бóльшими значениями l, т. е. с l > lmax . Эти последние возможности реализуются с меньшимивероятностями.2.9.47.
Рассеяние медленных (Tn ≈ 1 кэВ) нейтронов на ядре 23892 Uизотропно в системе центра инерции (СЦИ). Как можно объяснитьэтот факт?При решении данной задачи воспользуемся решением задачи 2.9.46(см. также обсуждение формулы (1.10.24) в § 1.10.3).C классической точки зрения, максимальное значение орбитального момента нерелятивистского нейтрона (ln )max , имеющего кинетическую энергию Tnи взаимодействующего с ядром радиусом R, дается выражением (2.9.6) задачи 2.9.46. Поэтому получаемR(ln )max =2Tn · mn c2 ≈h̄c6,5 Фм2 · 10−3 МэВ · 939,57 МэВ ≈ 0,04 1.≈197 МэВ · ФмДля определения радиуса ядра 23892 U (6,5 Фм) здесь использована формула (1.7.2).
Поскольку квантово-механическое значение l может быть тольконулем или целым положительным числом, то в качестве единственного возможного значения ln получаем ln = 0. При этом волновая функция относительногодвижения нейтрона и ядра в СЦИ сферически симметрична. Следовательно,вероятность рассеяния нейтрона в СЦИ не зависит от угла рассеяния, т. е. угловое распределение нейтронов в СЦИ изотропно.Отметим, что полученный вывод справедлив в «классическом» пределе,когда рассеяние нейтронов с ненулевым орбитальным моментом вообще запрещено. Квантовая механика оставляет возможность (хотя и незначительную)для рассеяния нейтронов с ln = 0.2.9.48.
С каким орбитальным моментом могут рассеиваться протоны с кинетической энергией Tp = 2 МэВ на ядре 11250 Sn?Решение использует подход и формулы задач 2.9.46 и 2.9.47. Максимальное значение орбитального момента протона (lp )max , имеющего кинетическую337§2.9. Ядерные реакцииэнергию Tp и взаимодействующего с ядром радиусом R, дается выражением (2.9.6) задачи 2.9.46. Поэтому получаемR5,1 Фм(lp )max =2Tp · mp c2 ≈2 · 2 МэВ · 938,27 МэВ ≈ 1,6.h̄c197 МэВ · ФмДля определения радиуса ядра 11250 Sn (5,1 Фм) здесь использована формула (1.7.2).
Поскольку квантово-механическое значение l может быть тольконулем или целым положительным числом, то в качестве возможных значений lp получаем lp = 0 или 1.Вновь отметим, что полученный результат справедлив в «классическом»пределе, когда рассеяние протонов с lp > 1 запрещено. С точки зрения квантовой механики рассеяние протонов с lp > 1 также возможно, но существенноменее вероятно. Оно при увеличении lp все сильнее подавляется так называемым центробежным барьером.2.9.49.
Определить орбитальный момент lt трития (изотопа водо27рода 31 H), образующегося в реакции 2713 Al(α, t)13 Si, если орбитальныймомент налетающей α-частицы lα = 0 и конечное ядро образуетсяв основном состоянии.Полагаем, что реакция протекает в лабораторной системе координат.α-частица движется (исполняет роль снаряда), а ядро 2713 Al покоится (исполняетроль мишени). Для нахождения lt используем законы сохранения полногомомента количества движения J и четности P . Момент количества движенияи четность системы в начальном (i-м) состоянии, т.
е. до реакции, должныбыть равны этому моменту и четности в конечном (f -м) состоянии: Ji = Jf ,PPPi = Pf . Спин-четности «участников» реакции JαP = 0+ , JAl= 5/2+ , JSi= 0+ ,P+Jt = 1/2 . Имеем: Ji = Jα + lα + JAl , Jf = JSi + Jt + lt , Pi = pα · pAl ×·× (−1)lα =0 , Pf = pt · pSi · (−1)lt . Таким образом, получаем два уравнения:51Jα + lα + JAl = JSi + Jt + lt , или 0 + 0 + = 0 + + lt ,22pα · pAl · (−1)lα = pt · pSi · (−1)lt , или (+1) · (+1) · (−1)0 = (+1) · (+1) · (−1)lt .Из первого уравнения следует, что lt = 2, 3. Из второго уравнения следует,что lt должно быть четным, т. е. окончательно имеем lt = 2. Отметим, что законсохранения четности в двухчастичной реакции мы записываем в виде (1.11.5).2.9.50.
При каких орбитальных моментах количества движенияпротона возможна ядерная реакция p + 73 Li → 84 Be∗ → α + α?Полагаем, что реакция протекает в лабораторной системе координат. Протон движется (исполняет роль снаряда), а ядро 73 Li покоится (исполняет рольмишени).
Для нахождения орбитального момента протона lp используем законсохранения четности P (рассматриваемая реакция может протекать за счетсильного и электромагнитного взаимодействий, в которых четность системы·сохраняется). Четность системы в начальном (i-м) состоянии Pi = pp · pLi ×× (−1)lp . Четность системы в конечном (f -м) состоянии Pf = pα · pα · (−1)lαα .Имеем Pi = Pf илиpp · pLi · (−1)lp = pα · pα · (−1)lαα .В задаче 2.4.17 показано, что система двух α-частиц может быть толькоP= 0+ , 2+ , 4+ , .
. .). При этом отв состояниях с положительной четностью (Jαα338Гл. 2. Задачи с решенияминосительный орбитальный момент α-частиц lαα = 0, 2, 4, . . . . Таким образом,Pс учетом того, что pp = +1 и JLi(основное состояние) = 3/2− , вышенаписанное равенство сводится к(+1) · (−1) · (−1)lp = (+1).Откуда lp нечетно, т.
е. lp = 1, 3, . . ..2.9.51. Определить орбитальный момент дейтрона ld в реакцииподхвата протона нейтроном 157 N(n, d)146 C, если орбитальный моментнейтрона ln = 0, а начальное и конечное ядра находятся в основномсостоянии.Полагаем, что реакция протекает в лабораторной системе координат. Нейтрон, подхватывающий протон ядра 157 N, движется (исполняет роль снаряда),а ядро 157 N покоится (исполняет роль мишени). Используем законы сохраненияполного момента количества движения J и четности P .
Момент количествадвижения и четность системы в начальном (i-м) состоянии, т. е. до реакции,должны быть равны этому моменту и четности в конечном (f -м) состоянии:Ji = Jf , Pi = Pf . В основном состоянии ядер 157 N и 146 C: J P (157 N) = 1/2− ,J P (146 C) = 0+ . Спин-четность нейтрона JnP = 1/2+ .
Имеем: Ji = JN + Jn + ln ,Jf = JC + Jd + ld . Таким образом, получаем два уравнения:11JN + Jn + ln = JC + Jd + ld , или + + 0 = 0 + 1 + ld ,22pn · pN · (−1)ln =0 = pd · pC · (−1)ld , или (+1) · (−1) · (+1) = (+1) · (+1) · (−1)ld .Из первого уравнения следует, что ld = 0, 1, 2. Из второго уравненияследует, что ld должно быть нечетным. Таким образом, окончательно получаемld = 1.362.9.52.
Для реакции срыва 3517 Cl(d, p)17 Cl найти возможные значения орбитального момента ln захваченного ядром нейтрона, есликонечное ядро образуется в основном состоянии. Какое значение lnпредсказывает в этом случае модель ядерных оболочек?36Рассматриваемая реакция d + 3517 Cl → 17 Cl + p сводится к передаче дейтро35ном нейтрона ядру 17 Cl (нейтрон «срывается» с дейтрона ядром-мишенью),36т. е. к процессу n + 3517 Cl → 17 Cl. Для нахождения орбитального момента ln35захваченного ядром 17 Cl нейтрона используем законы сохранения моментаколичества движения J и четности P .
Момент количества движения и четность системы в начальном состоянии n + 3517 Cl, т. е. до реакции, должны бытьравны этому моменту и четности в конечном состоянии 3617 Cl. Учитывая, что36спины и четности ядер 3517 Cl и 17 Cl в основном состоянии равны соответственно3/2+ и 2+ , а спин нейтрона Jn = 1/2 и четность его pn = +1, можем записатьследующие два уравнения:31ln + Jn + J( 35 36+ = 2,17 Cl) = J(17 Cl), или ln +22pn · p35 Cl · (−1)ln = p36 Cl , или (+1) · (+1) · (−1)ln = (+1).Из первого уравнения следует, что ln = 0, 1, 2, 3, 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
