Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 63
Текст из файла (страница 63)
2. Задачи с решениямиПоток частиц через детектор 1j · S · ρ · l · NA Z 1 Z 2 eN==θ4TmMsin42103 см2 · с−1 · 1 см2 · 19,3 г/см3 · 0,01 см · 6, 02 · 1023 1/моль=×197 г/моль⎛⎞222 · 79 · 4,8 · 10−10 ед.СГСЭ×⎝4 · 5 · 106 эВ · 1,6 · 10−12 эрг/эВ⎠ · 1,015 = 0,78 с−1 .2.9.9. Рассчитать дифференциальное сечение dσ/dΩ упругого рас◦сеяния протонов на ядрах золота 19779 Au под углом θ = 15 , если известно, что за сеанс облучения мишени с массовой толщиной d = 7 мг/см2протонами с суммарным зарядом Q = 1 нКл на детектор площадьюS = 0,5 см2 , расположенный на расстоянии l = 30 см от мишени,попало ΔN = 1,97 · 105 упруго рассеянных протонов. Сравнить экспериментально измеренное сечение с резерфордовским.Дифференциальным сечением аксиально симметричной реакции a + A →→ B + b называется величинаdσab (θ)1ΔN=·, где ν — количество ядерdΩνN ΔΩмишени на единицу поперечной по отношению к направлению движения падающих частиц площади, N — количество попавших на мишень частиц a, ΔN —количество частиц b продуктов данной реакции, вылетевших в элемент телесного угла ΔΩ в направлении, характеризуемом углом θ.
Дифференциальноесечение обычно измеряется в барнах на стерадиан. Итак, имеемdσab (θ)1 ΔN=,dΩνN ΔΩΔΩ =Sl2,N=Q,epν=d · NA,mMгде ep — заряд протона, NA — число Авогадро и mM — молярная масса ядра19779 Au. Для искомого дифференциального сечения получаемdσab (θ)mM epΔN · l2=·=dΩd · NA QS=197 г/моль · 1,6 · 10−19 Кл · 1,97 · 105 · (30 см)27 · 10−3 г/см2 · 6,02 · 1023 /моль · 10−9 Кл · 0,5 см2== 2,65 · 103 барн/ср.Найдем теперь дифференциальное сечение упругого кулоновского рассеяния, используя формулу Резерфорда для протонов с кинетической энергиейT = 3 МэВ:2dσZAu Zp e21==θdΩ4Tsin4⎛=⎝2 2 ⎞279 · 1 · 4,8 · 10−10 ед.СГСЭ4 · 3 МэВ · 1,6 · 10−6 эрг/МэВ1⎠sin415◦2 = 3,1 · 103 барн/ср.Полученная величина близка к экспериментально измеренному сечению.§2.9.
Ядерные реакции3112.9.10. Коллимированный пучок α-частиц с энергией Tα = 10 МэВпадает перпендикулярно на медную фольгу с массовой толщиной μ == 1 мг/см2 . α-частицы, рассеянные под углом θ = 30◦ , регистрируютсядетектором площадью s = 1 см2 , расположенным на расстоянии R == 20 см от мишени. Какая доля δ от полного числа упавших на меднуюфольгу α-частиц будет зарегистрирована детектором?Используем формулу (1.2.23):dN (θ)dσ(θ)= jM, где dN (θ) — число чаdΩdΩстиц, вылетевших под углом θ в единицу времени (в секунду) в телесномугле dΩ.
j — плотность потока частиц (число частиц, упавших в единицувремени на единицу поперечной площади мишени). M — полное число ядермишени, находящихся в пучке (M = n · S · L, где n — число ядер мишенив единице объема; S — облучаемая площадь мишени; L — толщина мишени).Итак, число α-частиц ΔN , пересекающих детектор в секунду, дается выражениемΔN = jMdσ(θ)ΔΩ,dΩгде ΔΩ — телесный угол, вырезаемый детектором по отношению к мишени.Имеем M = nSL; ΔΩ =2sR2. Учтем также то, что nL — число атомов медина 1 см поперечной площади облучаемой части мишени. Величину nL нужно·связать с массовой толщиной μ медной фольги. Эта связь имеет вид: μ = nL ×× (вес одного атома меди).
Так как вес в граммах одного атома химическогоA(NA — число Авогадро), то получаемэлемента с массовым числом A равенnL = μNA. Итак, имеемAΔN = jS · nLNAdσ(θ)N dσ(θ) sΔΩ = jS · μ A.dΩA dΩ R2Поскольку число падающих в секунду на мишень α-частиц равно jS и рассеяние α-частиц является резерфордовским (см. для dσ(θ)/dΩ формулу (1.2.25)),312Гл. 2. Задачи с решениямито искомая доля δ регистрируемых детектором α-частиц дается следующимрасчетом:2ΔNN dσ(θ) sNAZα ZCu e21s2=μ A=μ(h̄c)=· 2 =2ΘjSAdΩ R= 10−34Tα h̄cAsin4R26,02 · 1023г(197 МэВ · 10−13 см)2 ·×63 гсм 2 · 2911 см21 2×≈ 2, 3 · 10−7 .◦ ·224 · 10 МэВ 137sin4302(20 см)2.9.11.
При облучении мишени из натурального бора наблюдалось появление радиоактивных изотопов с периодами полураспада20,334 мин и 0,0202 с. Какие образовались изотопы? Какие реакциимогли привести к образованию этих изотопов?Периоды полураспада 20,334 мин и 0,0202 с соответствуют ядрам 116 CиНатуральный бор состоит из двух изотопов: 115 B (80,2 %) и 105 B (19,8 %).Чтобы в мишени из натурального бора образовались ядра 116 C и 124 Be, необходимо подвергнуть ее облучению либо частицами трития (t ≡ 31 H), либоα-частицами:111211111011111210115 B(t, 2p) 4 Be, 5 B(t, 3n) 6 C, 5 B(t, 2n) 6 C, или 5 B(α, 3p) 4 Be, 5 B(α, t) 6 C.124 Be.2.9.12. Мишень из натурального бора бомбардируется протонами.После окончания облучения детектор β -частиц зарегистрировал активность 100 Бк.
Через t = 40 мин активность образца снизилась до≈ 25 Бк. Каков источник активности? Какая ядерная реакция моглапроисходить?АктивностьJ = λN меняется со временем по закону J = J0 e−λt , где$λ = ln 2 t1/2 , а t1/2 — период полураспада. Отсюда находим период полураспада:ln 2t ln 240 ln 240 · 0,693t1/2 ====≈ 20 мин.λln(J0 /J)ln(100/25)1,3863Такой период полураспада (20,334 мин) имеет ядро 116 C. Простейшие реакции,в которых может образоваться это ядро, следующие: 115 B(p, n)116 C, 105 B(p, γ)116 C,10115 B(d, n) 6 C. Более сложные реакции может предложить читатель.312.9.13.
Определить сечение σ реакции 3115 P (n, p) 14 Si, если известно,31что после облучения мишени 15 P массой m = 1 г в потоке нейтроновплотностью j = 2 · 1010 нейтронов/с · см2 в течение времени T = 4 часаее β -активность J , измеренная через время Δt = 1 час после окончанияоблучения, оказалась J(T + Δt) = 3,9 · 106 распадов/с. Для ядра 3114 Siпериод полураспада t1/2 = 157,3 мин.Активность образца зависит от времени и определяется выражениемJ(t) = λ · N (t), где N (t) — число радиоактивных ядер образца в моментln 2времени t, а λ =(см. § 1.11.2). N (t) определяется конкуренцией двухt1/2процессов: образования радиоактивных ядер (в данном случае ядер3114 Si313§2.9.
Ядерные реакции31в реакции 3115 P(n, p)14 Si) и распада этих ядер. С учетом этих двух проt определяется формулой (1.11.11):цессов активность в моментвремениJ(t) = λ · N (t) = jM σ 1 − e−λt , где σ — эффективное сечение реакции,в которой образуются радиоактивные ядра, а M — число ядер в облучаемомобразце, которое выражается через массу m образца в граммах с помощьюmNA, где NA — число Авогадро, а A — массовое числосоотношения M =Aядер образца в граммах.Облучение длилось в течение времени T и затем было прекращено. Активностьобразцав этот момент определялась выражениемJ(T ) = jM σ 1 − e−λT .
Через интервал времени Δt она за счет распадав момент времени T + Δtуменьшилась в e−λ·Δt раз. Поэтому активностьдается соотношением J(T + Δt) = jM σ 1 − e−λT · e−λ·Δt . Таким образом,искомое эффективное сечение находим с помощью следующего расчета:σ=J(T + Δt)J(T + Δt) · A==−λT −λ·ΔtjM 1 − e·ej · m · NA 1 − e−λT · e−λ·Δt=2 · 1010 с−1 · см−23,9 · 106 с−1 · 31 г=0,6930,693· 1 г · 6,02 · 1023 1 − e− 157,3 240 · e− 157,3 60= 2 · 10−26 см2 = 20 мб.2.9.14. Рассчитать интенсивность пучка нейтронов I , которым облучали пластинку 5525 Mn толщиной d = 0,1 см в течение T = 15 мин,если спустя Δt = 150 мин после окончания облучения ее активность Jсоставила 2100 Бк. Период полураспада t1/2 образующегося послеоблучения ядра 5625 Mn составляет 2,58 часа (154,8 мин), сечение активации σ = 0,48 б, плотность вещества пластины ρ = 7,42 г/см3 .Для активности пластины можно записать J = Ins σ 1 − e−λT e−λ·Δt ,где ns — число ядер мишени на единицу ее площади: ns =число Авогадро, A — массовое число ядер мишени).
ОтсюдаI=ρ · d · NA(N A —AJ · A · eλ·Δt=ρ · d · NA · σ · (1 − e−λT )2100 · 55 · eln 2·(150/154,8)7,42 · 0,1 · 6,02 · 1023 · 0,48 · 10−24 · (1 − e− ln 2(15/154,8) )== 1,62 · 107 нейтр/с.2.9.15. Какую минимальную кинетическую энергию в лабораторной системе координат (Tn )min должен иметь нейтрон, чтобы стала возможной реакция 168 O(n, α)136 C? Избытки масс нейтрона и ядерследующие: Δ(n) = 8,071 МэВ, Δ(168 O) = −4,737 МэВ, Δ(42 He) == 2,425 МэВ, Δ(136 C) = 3,125 МэВ.314Гл. 2. Задачи с решениямиРечь идет о нахождении пороговой энергии реакции Eпорог = (Tn )min .Используем формулу (1.11.2):mnEпорог = (Tn )min ≈ |Q| 1 +=M16 O939,57МэВ ≈= 2,216 1 +8 · 939,57 + 8 · 938,27 − 28,30≈ 2,216 (1 + 0,063) МэВ ≈ 2,36 МэВ.Здесь использовано то, что энергия реакции, выраженная через избытки масс(см.
(1.11.3)), имеет следующий вид:Q = Δ(n) + Δ(168 O) − Δ(42 He) − Δ(136 C) == (8,071 − 4,737 − 2,425 − 3,125) МэВ = −2,216 МэВ,и масса ядра168Oв энергетических единицах:M16 O · c = 8mn c + 8mp c2 − W16 O == (8 · 939,57 + 8 · 938,27 − 28,30) МэВ = 14 994,42 МэВ.222.9.16. Определить пороговое значение энергии α-частицы в реакции α + α → 63 Li + d, если одна из α-частиц покоится.
Энергии связиα-частицы, дейтрона и ядра 63 Li соответственно 28,3 МэВ, 2,2 МэВи 32,0 МэВ.MИспользуем формулу (1.11.2): Eпорог = (TA )min ≈ |Q| 1 + A , где Q —MBэнергия реакции. Через энергии связи W участвующих ядер Q = W (63 Li) ++ W (d) − 2W (α) = (32,0 + 2,2 − 2 · 28,3) МэВ = −22,4 МэВ. ПолучаемMAmEпорог ≈ |Q| 1 += |Q| 1 + α = 22,4 · 2 МэВ = 44,8 МэВ.MBmα2.9.17. Определить пороговое значение энергии электрона в реакции электрорасщепления дейтрона: e− + d → e− + p + n.Дейтрон это ядро 21 H. Для нахождения пороговой энергии воспользуемсяформулой (1.11.1):m|Q|Eпорог = (Te )min = |Q| 1 + e +.2Md2Md cРассчитываем энергию реакции Q:Q = (me + Md − me − mp − mn )c2 = −Wd = −2,224 МэВ.Здесь мы воспользовались тем, что Md c2 = (mp + mn )c2 − Wd , а Wd == 2,224 МэВ (см.
таблицу 1.5 в § 1.7.3). Итак, получаемme c2|Q|Eпорог = (Te )min = |Q| 1 ++=mp c2 + mn c2 − Wd2(mp c2 + mn c2 − Wd )0,5112,224МэВ =+= 2,224 1 +938,272 + 939,565 − 2,2242 (938,272 + 939,565 − 2,224)= 2,227 МэВ.315§2.9. Ядерные реакции2.9.18. Определить порог реакции фоторасщепления ядра 146 C с вылетом двух нейтронов: γ + 146 C → 126 C + n + n.
При решении использовать избытки масс «участников» реакции: Δ(146 C) = 3,020 МэВ,Δ(126 C) = 0, Δ(n) = 8,071 МэВ.Применим формулу (1.11.1):mγEпорог = (Eγ )min = |Q| 1 ++m14 C|Q|2m14 C c2= |Q| 1 +=|Q|2m14 C c2≈ |Q| = 13,122 МэВ.Здесь учтено то, что энергия реакции (см. формулу (1.11.3))Q = Δ(146 C) − Δ(126 C) − 2 · Δ(n) = (3,020 − 0 − 2 · 8,071) МэВ = −13,122 МэВи|Q|2m14 C c2 1.2.9.19. Определить, какую минимальную энергию должен иметьпротон, чтобы стала возможной реакция p + d → p + p + n. Использовать в расчете избытки масс «участников» реакции в МэВ:Δ(11 H) = 7,289; Δ(21 H) = 13,136; Δ(n) = 8,071.Необходимо найти порог реакции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
