Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 62
Текст из файла (страница 62)
I(40 Zr) =22 90Таким образом, I(40 Zr) = 6 невозможно.В то же время распад состояний c I = 6 ядра 9040 Zr c испусканием протонав основное состояние конечного ядра 8939 Y c изоспином I0 = 11/2 не противоречит закону сохранения изоспина:→−111 89 90 90+ = 5 или 6.I(40 Zr) = I0 (39 Y) + I(p), т. e. I(40 Zr) =222.8.52. Оценить вероятность для шарика массой M = 1 г преодолеть порог высотой H = 0,1 мм и такой же толщины d (чутьвыступающее лезвие безопасной бритвы).§2.8. Распады ядер.
Радиоактивность305Область пространства, где потенциальная энергия V (r) частицы (или тела)выше ее кинетической энергии T , образует для этой частицы потенциальныйбарьер, который c точки зрения классической физики непреодолим для этойчастицы. Квантовая механика допускает прохождение частицы через потенциальный барьер, причем вероятность P такого прохождения может быть оцененаc помощью приближенного соотношенияR0 2P = exp −2M [V (r) − T ] dr ,h̄Rгде пределами интегрирования являются границы барьера, т. e. той области,в которой кинетическая энергия частицы T < V (r). Это соотношение применимо, в частности, для вычисления вероятности ядерного α-распада, в которомα-частица, покидающая ядро, преодолевает кулоновский барьер.Применим это соотношение к нашей макроскопической задаче.
Посколькув данном случае V (r) = M gH и T ≈ 0, то для показателя экспоненты в вышеприведенном выражении получаем значение2−2M 2 gH d =h̄2см2 · (1 г)2 · 9,8 · 102 2 10−2 см · 10−2 см ≈ −1026 ,=−271,05 · 10эрг · сстак что вероятность P для шарика преодолеть порог оказывается равной26невообразимо малой величине e−10 .2.8.53. Оценить высоту и ширину кулоновского барьера дляα-частицы, вылетающей из ядра 21283 Bi.
Энергия α-частицы 6,09 МэВ(см. задачу 2.8.7).Изобразим потенциал, в котором движется α-частица (см. рисунок). Внутри ядра (r < R) α-частица движется в близком к прямоугольному отрицательном потенциале глубиной V0 , т. e. имеет кинетическую энергию Tα + V0 .Вне ядра (r > R) α-частица имеет кинетическую энергию Tα и находитсяв кулоновском потенциале ядра-остатка, имеющем видVкул =zα Zя e2,rгде zα = 2, а Zя — заряд ядра остатка (Zя = Z − 2), e — величина элементарного заряда.При R < r < R0 кинетическая энергия α-частицы ниже потенциальной, т. e.α-частица находится «под потенциальным барьером», преодолев который онаокончательно покидает ядро. Высотой этого барьера будем считать величинуVкул (R) − Tα .
Шириной барьера будем полагать расстояние R0 − R. Итак, длярассматриваемого α-распада ядра 21283 Bi (для него R ≈ 6,1 Фм) имеемVкул (R) =zα Zя e2e2 zα Zя h̄c12 · 81 · 197 МэВ · Фм=·=·≈ 38 МэВ.Rh̄cR1376, 1 ФмВысота барьера: Vкул (R) − Tα = 38 МэВ − 6,09 МэВ ≈ 32 МэВ.R0 =zα Zя e2e2 zα Zя h̄c12 · 81 · 197 МэВ · Фм=·=·≈ 38 Фм.Tαh̄cTα1376,09 МэВШирина барьера: R0 − R = 38 Фм − 6,1 Фм ≈ 32 Фм.306Гл. 2. Задачи с решениями2.8.54. Оценить высоту центробежного барьера для α-частицыc орбитальным моментом l = 3, вылетающей из тяжелого ядра.Высота центробежного барьера равна квантово-механической энергии вращения α-частицыh̄2 l(l + 1)2mα R2на границе ядра.
С учетом радиуса тяжелого ядраR ≈ 6 Фм и массы α-частицы mα c2 ≈ 4 · 939 МэВ (энергией связи α-частицы,составляющей менее 1 % ее массы, пренебрегаем), получаемEвр (кв.мех) =h̄2 l(l + 1)2mα R2=h̄2 c2 l(l + 1)22mα c R2=(197 МэВ · Фм)2 · 3 · 4≈ 1,7 MэВ.2 · 4 · 939 МэВ · (6 Фм)2§2.9. Ядерные реакции2.9.1. Протон с кинетической энергией T = 2 МэВ налетает наdσнеподвижное ядро 19779 Au. Определить дифференциальное сечение dΩупругого кулоновского рассеяния на угол θ = 60◦ . Как изменится величина этого сечения, если в качестве рассеивающего ядра выбрать 2713 Al?Дифференциальное сечение упругого кулоновского рассеяния на угол θ2dσZ1 Z2 e21определяется формулой Резерфорда=(см.
такθdΩ4Tsin42же (1.2.25)), где Z1 e — заряд налетающей частицы, Z2 e — заряд ядра. Тогда⎛ 2 ⎞21 · 79 · 4,8 · 10−10 ед.СГСЭdσ⎠ · 1 ==⎝6−12dΩ4 · 2 · 10 эВ · 1,6 · 10эрг/эВ(1/2)4= 3,2 · 10−23 см2 /стерад = 32 барн/стерад.Из формулы Резерфорда следует, что отношение дифференциальных сече27ний рассеяния при замене ядра 19779 Au на 13 Al будет определяться отношением§2.9. Ядерные реакции307 (dσ dσ Z2792квадратов зарядов этих ядер: R == 2 = 37, то есть = Au2dΩ dΩ ZAl13AuAlпри одинаковых условиях сечение рассеяния на золоте будет в 37 раз больше,чем на алюминии.2.9.2.
Вычислить сечение рассеяния α-частицы с кинетическойэнергией T = 5 МэВ кулоновским полем ядра 20882 Pb под углами больше 90◦ .Искомое сечение получим интегрированием формулы Резерфорда(см. предыдущую задачу и формулу (1.2.25))2π 2ππ dσdσZ1 Z2 e2sin θ dθσ (θ > θ0 ) =dΩ =sin θ dθ dϕ = 2π.θdΩ4TdΩΩθ0 0sin4θ02Заменяя переменные — θ = 2θ , dθ = 2dθ , получаемσ(θ > θ0 ) = 2πZ1 Z2 e24T2 π/2sin 2θ dθ=sin4 θ 2·θ0 / 2= 4πZ1 Z2 e24T2 π/22 sin θ cos θ dθ sin4 θ θ0 / 2= 8πZ1 Z2 e24T2 π/2= 8π2Z1 Z2 e4T=πZ1 Z2 e22T22 Z1 Z2 e22T=π= 8πsin3 θ θ0 / 2=πcos θ dθZ1 Z2 e24T12 sin2 θ0 /22 1sin2 π/4Z1 Z2 e22T2−−⎛2 = π/2−=2 sin2 θ 1θ0 / 21=2 sin2 π/21sin2 π/2=⎞112 − 2 ⎠ =√12 /2⎛ 2 ⎞22 · 82 · 4,8 · 10−10 эд.СГСЭ= 3,14 ⎝⎝2 · 5 · 106 эВ · 1,6 · 10−12 эрг/эВ⎠ ≈≈ 18 · 10−24 см2 = 18 барн.2.9.3.
Вычислить сечение рассеяния α-частицы с энергией 3 МэВ◦◦в кулоновском поле ядра 23892 U в интервале углов от 150 до 170 .Дифференциальное сечение упругого кулоновского рассеяния на угол θопределяется формулой Резерфорда2dσZ1 Z2 e21C==θθdΩ4Tsin42sin42308Гл. 2. Задачи с решениями(см. также (1.2.25)), где Z1 e — заряд налетающей частицы, Z2 e — зарядядра, а T — кинетическая энергия налетающей частицы. Сечение рассеянияα-частицы в интервале углов от θ1 до θ2 :σ=dσdΩ = CdΩ2π θ21sin40 θ1θ2sin θ · dθ · dϕ =⎛⎞ θ22 2ZZe111 2⎝⎠=−= −2πC = −4πθθθ4Tsin2 θ1sin2 2sin2 1222 92 · 2 · 1,44 2 11= 4π− 2 ◦ Фм2 = 3,93 барн.2◦24·3sin 75sin 852.9.4.
Дифференциальное сечение реакции dσ /dΩ под углом θ == 90◦ составляет 10 мб/ср. Рассчитать величину интегрального сечения, если угловая зависимость дифференциального сечения имеет вид1 + 2 sin θ .σ=ΩdσdΩ = adΩ2π π(1 + 2 sin θ) sin θ · dθ · dϕ =0 0⎛π⎞π= 2πa ⎝ sin θ · dθ + 2 sin2 θ · dθ ⎠ = 2πa(2 + π).00Найдем константу a из условия a(1 + 2 sin 90◦ ) = 10 мб/ср.
Имеем a =10 мб10. В результате получаем σ = 2π(2 + π) мб ≈ 108 мб.=3 ср32.9.5. α-частицы с кинетической энергией T = 6 МэВ от радиоактивного источника рассеиваются ядрами 19779 Au. При каком угле рассеяния θ можно ожидать отклонение от формулы Резерфорда (1.2.25)?Найдем расстояние rmin минимального сближения α-частицы с ядромОно отвечает рассеянию на угол θ = 180◦ (лобовому столкновениюα-частицы с ядром). Используем формулу (1.7.5):19779 Au.rmin =zα ZAu e2z Ze2= α Au h̄c ≈ 38 Фм.TTh̄cЭто расстояние существенно превышает радиус ядралу (1.7.2)):19779 Au(см. форму-/3RAu = (1,0 ÷ 1,1) · A1AuФм ≈ 1,05 · 1971/3 Фм = 6,1 Фм.Таким образом, даже при лобовом столкновении α-частицы с ядром 19779 Auядерная реакция невозможна. При всех других вариантах рассеяния θ < 180◦ ,и дистанция сближения α-частицы с ядром 19779 Au превышает rmin и, следовательно, при всех возможных углах рассеяния его дифференциальное сечениебудет описываться формулой Резерфорда.309§2.9.
Ядерные реакции2.9.6. Как изменится дифференциальное сечение рассеяния релятивистских электронов на ядре 168 O, если предположить, что весь зарядэтого ядра сосредоточен в одной точке?Во-первых, сечение потеряет осциллирующий (дифракционный) характер,так как интерференции на одиночном точечном заряде не будет. Сечение будетполностью описываться формулой Мотта (1.2.31), где Z = 8. Это сечение dσ e dσ eпредставим в виде Z 2, где— моттовское сечение на элеменdΩdΩMMтарном заряде (Z = 1). Отсюда виден и второй эффект — сильное возрастаниевеличины сечения, поскольку для реального ядра моттовское сечение (не учитывающее интерференции) равно сумме моттовских сечений на единичных dσ e.
Итак, за счет рассматриваемого эффекта сечениезарядах, т. е. ZdΩMвырастет в Z = 8 раз.2.9.7. Написать выражение для дифференциального сечения гравитационного рассеяния нерелятивистской частицы массы m на рассеивающем центре массы M (гравитационный аналог формулы Резерфорда).Считать m M , т. е. отдачу рассеивающего центра не учитывать.Для того, чтобы от формулы Резерфорда перейти к требуемой формуле гравитационного рассеяния, достаточно заменить выражение для rmin .
При расZ1 Z2 e2. При рассеянии в гравитационномT1mM=G, где G — гравитационная константаTсеянии в кулоновском поле rmin =поле нужно использовать rminНьютона, а T — кинетическая энергия налетающей частицы. При этом искомоедифференциальное сечение будет иметь вид dσ mM 21= G·.θdΩгравит4Tsin422.9.8. Золотая пластинка толщиной l = 0,1 мм облучается пучкомα-частиц с плотностью потока j = 103 частиц/см2 · с.
Кинетическаяэнергия α-частиц T = 5 МэВ. Сколько α-частиц на единицу телесногоугла падает в секунду на детектор, расположенный под углом θ = 170◦к оси пучка? Площадь пятна пучка на мишени S = 1 см2 .Число частиц, рассеянных в единицу времени в единичный телесныйdσугол, равно N = j · S · ns , где ns — число ядер на единицу площадиповерхности мишени, аdΩdσ— дифференциальное сечение упругого рассеяdΩния, в качестве которого ниже будет использовано сечение резерфордовскогорассеяния (1.2.25).ρ · l · NA, гдеЧисло ядер на единицу площади поверхности мишени ns =mMρ — плотность вещества мишени, l — ее толщина, mM — молярная массавещества мишени, численно равная массовому числу А ее ядер и NA — числоАвогадро.310Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
