Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Распады ядер. Радиоактивность2992.8.43. M2-фотон распространяется вдоль оси z и поглощаетсячетно-четным ядром в основном состоянии. Каковы спин J и четность P возбужденного состояния и каково значение Jz этого состояния?Четно-четное ядро в основном состоянии имеет спин-четность 0+ . M2фотон имеет спин-четность 2− .
Из законов сохранения полного момента J (1.10.26) и четности P (1.10.28) для электромагнитных переходов следует,что возбужденное состояние также имеет спин-четность 2− . Что касается Jzвозбужденного состояния, то его находим из условия Jz = (Jz )γ , где (Jz )γ —проекция полного момента фотона на ось z . Учтем, что проекция полногомомента фотона на направление его движения (в данном случае оно совпадаетc осью z ) может быть только ±1. Таким образом, Jz = (Jz )γ = ±1. Посколькуэнергия ядерного состояния в отсутствие внешних полей не зависит от Jz , тообе эти возможности (Jz = ±1) отвечают одной и той же энергии (см.
рисунок).2.8.44. Четно-четное ядро находится в магнитном поле в возбужденном состоянии со спин-четностью J P = 2+ и переходит в основное состояние, испуская фотоны вдоль оси z . Определить тип имультипольность фотонов. На схеме уровней показать все возможныеγ -переходы.Ядро, находясь в 2+ -состоянии, может иметь пять значений Jz : ±2, ±1, 0.В отсутствие внешних полей энергии ядерных состояний не зависят от Jz ,300Гл.
2. Задачи с решениямит. e. в данном случае имеем дело c пятикратным вырождением. Магнитноеполе снимает это вырождение, расщепляя уровни по Jz (см. рисунок). Учтем,что основное состояние четно-четного ядра имеет спин-четность 0+ . Поэтомуиспускаются фотоны 2+ , т. e. E2-фотоны. При этом (Jz )γ должно совпадатьc изменением Jz при переходе 2+ → 0+ . Поскольку фотон, излучаемый вдольоси z , имеет (Jz )γ = ±1, то из пяти формально возможных переходов Jz → 0(±2 → 0, ±1 → 0 и 0 → 0) остаются лишь два: ±1 → 0.2.8.45. Найти ширины Γ первого и второго возбужденных состояний ядра 5726 Fe (см.
рисунок), если их средние времена жизниτ (3/2− ) = 1,4 · 10−7 c и τ (5/2− ) = 1,3 · 10−8 c. Показать невозможность поглощения γ -квантов, испускаемых при распаде этих состояний,покоящимися невозбужденными ядрами 5726 Fe (так называемое резонансное поглощение гамма-квантов или резонансная флуоресценция).Оценим ширины возбужденных состояний на основе соотношения Γ · τ = h̄.Получаемh̄6,58 · 10−16 эВ · c== 5,1 · 10−8 эВ,τ (5/2)1,3 · 10−8 ch̄6,58 · 10−16 эВ · cΓ(3/2) === 4,7 · 10−9 эВ.τ (3/2)1,4 · 10−7 cΓ(5/2) =Энергия Tя отдачи ядра при излучении γ -кванта дается выражением (1.10.21): Tя ≈E22Mя c2масса ядра. Для ядраT я (5 /2 ) =T я (3 /2 ) =, где E — энергия излучающего состояния, а Mя —5726 Feполучаем136,5 · 103 эВ22 · 57 а.e.м. · 931,5 · 106 эВ/а.e.м.214,4 · 103 эВ2 · 57 а.e.м.
· 931,5 · 106 эВ/а.e.м.≈ 0,18 эВ,≈ 2,0 · 10−3 эВ.301§2.8. Распады ядер. РадиоактивностьТаким образом, энергия отдачи ядра во много раз превышает ширину уровней. Потери энергии на отдачу настолько велики, что резонансное поглощениеγ -квантов невозможно.2.8.46. Проводится эксперимент по резонансному поглощениюγ -квантов образцом из невозбужденных покоящихся ядер 5726 Fe (поглотитель) c образованием этих ядер в первом возбужденном состоянииc энергией 14,4 кэВ (см.
предыдущую задачу и рисунок к ней). Источником γ -квантов является другой образец из покоящихся ядер 5726 Fe,находящихся в первом возбужденном состоянии. С какой скоростьюнеобходимо сближать источник и поглотитель, чтобы последний сталпоглощать γ -кванты?Как следует из предыдущей задачи, при испускании γ -кванта из первоговозбужденного (14,4 кэВ) состояния покоящегося ядра 5726 Fe ядро получаетотдачу, энергия которой Tя ≈ 2,0 · 10−3 эВ много больше ширины излучающего уровня (Γ(3/2) ≈ 4,7 · 10−9 эВ).
Излученный фотон имеет энергиюEγ = E(3/2) − Tя , которая оказывается меньше той, которая необходима длятого, чтобы быть вновь поглощенным покоящимся невозбужденным ядром 5726 Fec образованием последнего в первом возбужденном состоянии даже c учетомэнергетической ширины Γ(3/2) этого состояния. Таким образом, резонансное поглощение рассматриваемого γ -кванта невозможно. Однако потеряннуюна ядерную отдачу энергию излученного фотона можно компенсировать засчет эффекта Доплера, сближая c необходимой скоростью ядро-источники ядро-поглотитель. При этом нужно компенсировать две энергии отдачи ядра(2Tя ), так как отдача ядра будет иметь место и при поглощении им фотона.Воспользуемся известным соотношением, следующим из формализма эффектаДоплера:ΔEγv= ,Eγcгде ΔEγ — потерянная при отдаче ядра энергия фотона, которую нужно компенсировать, v — скорость сближения источника и поглотителя, c — скоростьсвета.
С учетом того, что ΔEγ = 2Tя , получаемv=ΔEγ2T2Tя2 · 2,0 · 10−3 эВммc = яc ≈c=3 · 108= 83 .EγEγE(3/2)сс14,4 · 103 эВ2.8.47. Рассмотреть эффект уширения спектральной γ -линииза счет теплового движения атомов излучателя. Получить выражениедля формы спектральной линии в предположении незначительнойсобственной ширины линии.Спектральная линия уширяется за счет эффекта Доплера. Если ядро в покое испускает γ -квант c энергией E0 , то, участвуя в тепловом движениии двигаясь в некотором направлении со скоростью v , γ -квант будет иметьэнергию E , определяемую выражениемv1v1E = E0 1 +≈E+.(2.8.1)0 c1−v 2cc302Гл.
2. Задачи с решениямиЕсли скорости ядер излучателя имеют максвелловское распределение,то вероятность w(v) у ядра иметь в некотором направлении скорость в интервале от v до v + dv дается соотношением2w(v)dv =MvMe− 2kT dv ,2πkT(2.8.2)где M — масса ядра, T — абсолютная температура излучателя, а k — постоянная Бoльцмана (8,62 · 10−11 МэВ/K). Комбинируя (2.8.1) и (2.8.2), получаемдля распределения фотонов по энергии E гауссову зависимость−1w(E)dE = √ eΔ πE−E0Δ2dE ,(2.8.3)где E — энергия фотона, излучаемая холодным (при T = 0) ядром, а Δ —величина, определяемая выражением2kTΔ = E0.(2.8.4)2McПри этом ширина ΓД на половине высоты гауссового распределения (2.8.3),которую называют доплеровской шириной, дается соотношением√2kTΓД = 2Δ ln 2 = 2E0ln 2 .(2.8.5)2McВ заключение представим гауссову зависимость резонансной кривой (2.8.3)в виде резонанса в эффективном сечении−σ(E) = σ0 · eE−E0Δ2(2.8.6)и сопоставим эту зависимость c брейт-вигнеровским резонансным сечением (1.10.30), характерным для естественного γ -распада:σ(E) = σ0(Γ/2)2(E − E0 )2 + (Γ/2)2.(2.8.7)2.8.48.
Оценить уширение спектральной гамма-линии c энергиейEγ = 1 МэВ при комнатной температуре за счет теплового движенияатомов излучателя. Собственной (естественной) шириной линии пренебречь.Используем выражение (2.8.5) для доплеровской ширины γ -линии.Для оценок положим массовое число ядра-излучателя A = 50, а комнатнойбудем считать абсолютную температуру T = 300 K. ПолучаемΓ Д = 2 Eγ2kT2Mcln 2 ≈ 2 · 1 МэВ2 · 8,62 · 10−11 МэВ/K · 300 K0, 693 ≈ 1,7 эВ.50 · 939 МэВ2.8.49.
Рассмотреть образец, состоящий из находящихся при ком−натной температуре ядер 5726 Fe во втором возбужденном состоянии 5/2c энергией 136,5 кэВ. Какова форма γ -линии такого образца? Каковаширина линии?303§2.8. Распады ядер. РадиоактивностьФорма и ширина γ -линии определяется двумя эффектами: естественнымгамма-распадом и тепловым (доплеровским) уширением. В отсутствие последнего форма γ -линии брейт-вигнеровская (1.10.30)σ(E) = σ0(Γ/2)2(E − E0 )2 + (Γ/2)2c шириной Γ на половине высоты, связанной со средним временем жизниядерного уровня τ соотношением Γ · τ = h̄.Доплеровское уширение стремится придать γ -линии форму гауссианы(см.
формулу (2.8.6) в задаче 2.8.47)−σ(E) = σ0 · eE−E0Δ2√c шириной на половине высоты ΓД = 2Δ ln 2 = 2E02kTM c2ln 2 . Сопоставим−естественную ширину Γ второго возбужденного уровня 5726 Fe (136,5 кэВ, 5/2 )c доплеровской шириной ΓД этого уровня. Используя данные задачи 2.8.45и полагая для комнатной температуры T = 300 K, имеемΓ(5/2) ≈ 5,1 · 10−8 эВ,2kTΓ Д ( 5 / 2 ) = 2 E0ln 2 ≈M c22 · 8,62 · 10−11 МэВ/K · 300 K0,693 ≈ 0,27 эВ.57 · 939 МэВ≈ 2 · 136,5 кэВТаким образом, ΓД (5/2) Γ(5/2). Это означает, что эффект доплеровского уширения в формировании γ -линии будет доминировать. Результирующаяформа линии будет гауссовой (2.8.6), и ширина линии на половине высотыпрактически совпадет c доплеровской шириной ΓД (5/2) ≈ 0,27 эВ.2.8.50.
Какова форма гамма-линии от образца, состоящего из ядерc массовым числом A = 200, находящихся в первом возбужденномсостоянии c энергией E0 = 10 кэВ. Время жизни ядра τ = 10−16 c.Образец находится при абсолютной температуре T = 100 K.Форма γ -линии определяется двумя эффектами: естественным гаммараспадом и тепловым (доплеровским) уширением.
В отсутствие последнегоформа γ -линии брейт-вигнеровская (1.10.30) c шириной Γ на половине высоты, связанной со средним временем жизни ядерного уровня τ соотношениемΓ · τ = h̄. Доплеровское уширение стремится придать γ -линии форму гауссианы (см. формулу (2.8.6) в задаче 2.8.47) c шириной на половине высоты√2kTΓД = 2Δ ln 2 = 2E0ln 2 . Результирующий эффект зависит от соотно2Mcшения ширин Γ и ΓД .
Сопоставим эти ширины. ИмеемΓ=Γ Д = 2 E0h̄h̄c197 · 106 эВ · 10−13 см== −16≈ 6, 6 эВ,ττ ·c10с · 3 · 1010 см/с2kT2Mcln 2 ≈ 2 · 10 эВ ·42 · 8,62 · 10−11 МэВ/K · 100 K≈ 5 · 10−3 эВ.200 · 939 МэВ304Гл. 2. Задачи с решениямиТаким образом, Γ ΓД , т. e. эффектом доплеровского уширения можно пренебречь. Форма линии будет брейт-вигнеровской c шириной на половине высотыΓ ≈ 6,6 эВ.2.8.51. В ядре 9040 Zr возбуждается состояние, имеющее изоспинI = 6. Показать, что распад этого состояния в основное состояниеядра 8940 Zr c испусканием нейтрона невозможен.Изоспин I0 основного состояния ядра, состоящего из Z протонов и N нейZ − N тронов, дается (см. соотношение (1.4.5)) выражением I0 = .
Вычислимизоспины основных состояний ядер8939 Yи 39 − 50 I0 (89=39 Y) = 2 40 − 49 I0 (89=40 Zr) = 228940 Zr:11,29.2Величины изоспинов протона и нейтрона I(p) = I(n) =1.2Распады состояний ядра 9040 Zr c испусканием протона и нейтрона происходят в результате сильного взаимодействия. Из закона сохранения изоспинав сильных взаимодействиях следует невозможность распада состояния I = 689ядра 9040 Zr c испусканием нейтрона и образованием конечного ядра 40 Zr в основном состоянии c I0 = 9/2. Действительно, сохранение изоспина в нейтронном89распаде ядра 9040 Zr c заселением основного состояния ядра 40 Zr отвечает векторному равенству91 89 90 90+ = 4 или 5.I(40 Zr) = I0 (40 Zr) + I(n), т. e.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
