Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 56
Текст из файла (страница 56)
2. Задачи с решениями75A 1/ 3МэВ и m = MNA A·2 2 = A M — приведенная масса ядраNAA4+22по отношению к рассматриваемым колебаниям (MN — масса нуклона). Схемауровней гармонического осциллятора приведена на рис. 1.8.2 слева. Осциллятор имеет эквидистантную систему уровней. Возбуждению гигантского дипольного резонанса отвечает переход системы из основного состояния в первоевозбужденное (0 → h̄ω ). Для волновых функций нижайших осцилляторныхсостояний (основного и первого возбужденного) решение уравнения Шредингера дает (см.
учебники по квантовой механике):√ x −(x/x )2 /211−(x/x0 )2 /20ψ0 = √·e,ψ=·2e,√14 √4 √x0π x0π x0где x0 = h̄/mω .Среднее отклонение x1 в процессе колебаний протонов относительно нейтронов вычисляется с помощью диагонального матричного элемента ψ1 | x |ψ1 :∞ 322xx2x1 = ψ1 | x |ψ1 = √ x0e−(x/x0 ) d = √ x0 .x0πx0π0maxДля 40колебаний20 Ca имеем x1 ≈ 0,49 Фм. Учитывая, что амплитуда x1πв π/2 раз больше среднего значения x1 , получаем xmax=·x1 = 0,77 Фм.122.7.36. Рассмотрите возбуждение гигантского дипольного резонанса в несферическом ядре 15266 Dy (параметры его несферичности приведены в задаче 2.7.32).
Определите спектр энергий (характерных частот)электрических дипольных колебаний в этом ядре и соотношение вероятностей возбуждения колебаний с различными частотами.Ядро 15266 Dy аксиально-симметричное вытянутое (см. рис. к задаче 2.7.32).Длинная (вдоль оси z) полуось b ≈ 8,9 Фм, короткие (вдоль осей x и y )полуоси a ≈ 4,4 Фм. Резонансная частота (энергия) электрических дипольных75колебаний (см. задачу 2.7.35) дается выражением h̄ω ≈ 1/3 МэВ.
Если исAпользовать формулу для радиуса ядра R = r0 · A1/3 , где r0 = (1,0 ÷ 1,1) Фм, тоr80можно записать h̄ω ≈ 75 0 МэВ ≈МэВ. Несферическое аксиальное ядроRRимеет две резонансные частоты электрических дипольных колебаний — вдольи перпендикулярно оси симметрии. Их энергии для ядра 15266 Dy соответственно8080МэВ =МэВ ≈ 9 МэВ,b8,980h̄ωa =МэВ ≈ 18 МэВ.4,4h̄ωb =Для получения соотношения вероятностей возбуждения электрических дипольных колебаний вдоль различных осей ядерного эллипсоида используемчисто статистические соображения. Учитывая, что у ядерного эллипсоида,отвечающего ядру 15266 Dy, имеется две коротких (a) и одна длинная полуось(b), т.
е. две «короткие» колебательные степени свободы и одна «длинная»колебательная степень свободы, вероятность возбуждения колебаний с энергией h̄ωa ≈ 18 МэВ будет в два раза больше, чем вероятность возбужденияколебаний с энергией h̄ωb ≈ 9 МэВ.275§2.8. Распады ядер. Радиоактивность§2.8. Распады ядер. Радиоактивность2.8.1. Активность препарата 3215 P равна 2 мкКи (микрокюри). Сколько весит такой препарат?Закон радиоактивного распада: N (t) = N0 · e−λt , где N0 — количестворадиоактивных ядер в произвольно выбранный начальный момент времениt = 0, N (t) — количество радиоактивных ядер, не распавшихся к моментувремени t, λ — постоянная распада (вероятность распада ядра в единицувремени).λN — активность радиоактивного препарата (число распадов в единицувремени).
Она обычно измеряется в Ки (кюри), 1 Ки = 3,7 · 1010 распадов/c.t1/2 — период полураспада (время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза). Для 3215 P этот период равен 14,5 суток. Период полураспада t1/2 связан c постоянной распада λ соотношениемln 2.λt1/2 =Количество ядер в образце массой m граммов дается соотношениемmNAN =, где NA — число Авогадро, A — массовое число. ПосколькуAначальная активность препарата λN0 =дает следующий расчет:m=λN0 · t1/2 ANA · ln 2=mNA ln 2·= 2 мкКи, то его массу mAt1/2=2 · 10−6 Ки · (3,7 · 1010 распадов/c · Ки) · 14,5 суток · 86 400 c/сутки · 326,02 · 1023 моль−1 · 0,693== 7,1 · 10−12 г.2.8.2. Во сколько раз число распадов ядер радиоактивного иодав течение первых суток больше числа распадов в течение вторыхсуток? Период полураспада изотопа 13153 I равен 193 часам.13153 IИз закона радиоактивного распада N (t) = N0 · e−λt следует, что в течение24Nпервых суток (первых 24 часов) распалось N1 = N0 e−λt dt = 0 1 − e−λ·24λ0ядер, где λ здесь и дальше выражено в часах.
В течение вторых суток распа48Nлось N2 = N0 e−λt dt = 0 1 − e−λ·24 e−λ·24 ядер. Отношение числа распаλ2424дов за первые сутки к числу распадов за вторые суткигде t1/2 — период полураспадаt1/2 =13153 Iln 20,693=. ОкончательноλλN1=eN224·0,693t1/2N1= eλ·24 = e T1/2N2ln 2,в часах, связанный c λ соотношением=e24·0,693193= 1,09 раз.276Гл. 2.
Задачи с решениями2.8.3. Определить энергию E , выделяемую 1 мг препарата 21084 Po завремена, равные периоду полураспада t1/2 = 138,4 суток и среднемувремени жизни τ , если при одном акте распада освобождается энергияQα = 5,4 МэВ.За время равное периоду полураспада распадается половина ядер 21084 Po,Nчисло которых определяется выражением N = m A , где m — масса препаAрата, NA — число Авогадро, A — массовое число.
Учитывая условия задачи,получаем:N (21084 Po) = mNA6,02 · 1023 моль−1= 10−3 г≈ 2,9 · 1018 ядер полония.A210 г · моль−1Выделяющаяся за время периода полураспада энергия дается выражениемNE(t1/2 ) =· Qα . Таким образом, для данной задачи имеем2E(t1/2 ) =N2,9 · 1018· Qα =· 5,4 МэВ = 0,78 · 1019 МэВ =22= 0,78 · 1019 МэВ · 1,6 · 10−13 Дж/МэВ ≈ 1,26 · 106 Дж.Количество ядер радиоактивного препарата за период времени, равныйt1/2среднему времени жизни τ =, уменьшается в e ≈ 2,7 раз. Поэтому имеемln 2N1E(τ ) = N −· Qα ≈ 2,9 · 1018 · 1 −· 5,4 МэВ ≈ 1,6 · 106 Дж.2,7e2.8.4.
В результате α-распада радий 22688 Ra превращается в радонКакой объем радона при нормальных условиях будет находитьсяв равновесии c 1 г радия? Период полураспада 22688 Ra равен 1600 лет,Rn—3,82дня.период полураспада 2228622286 Rn.В данной последовательности распадов устанавливается вековое равновесие (см. § 1.10.1). При установлении векового равновесия количество радиоактивных ядер обоих изотопов и их постоянные распада связаны уравнениемλ1 N1 = λ2 N2 (см. соотношение (1.10.5)), откуда NRn = NRaRntRa1/2 и t1/2 — периоды полураспадаядер22688 Ra22688 Raдается соотношением NRaи22286 RntRnλRa1/ 2= N1 Ra , гдеλRnt1/2соответственно.
КоличествоmNA=, где m — масса источника,MMMM — молярная масса 22688 Ra (численно равная массовому числу A ядерV Nисточника) и NA — число Авогадро. Искомый объем V = M Rn , где VM —молярный объем газа (22,4 л/моль). Окончательно получаемV =VM · m · tRn1/ 2MM · tRa1/ 2=NA22,4 л/моль · 1 г · 3,82 дня=226 г/моль · 1600 лет · 365 дней/год= 6,5 · 10−7 л = 6,5 · 10−4 см3 .2.8.5. В естественной смеси изотопов урана — 99,27 % урана-238и 0,27 % урана-235.
Оба изотопа подвержены α-распаду. Попробуйте§2.8. Распады ядер. Радиоактивность277ответить на два вопроса: 1) Каков возраст вещества Солнечной системы, если предположить, что при ее образовании оба изотопа урана присутствовали в этом веществе в равных количествах? 2) Как много 23892 Uраспалось c момента образования земной коры (tк ≈ 2,5 · 109 лет)?1) Используем формулу N = N0 e−λt . Тогда возраст tc Солнечной системынаходится из соотношенияe−λ238 tc99,27=,−λ235 tc0,72eгде индексы 238 и 235 отмечают соответствующие изотопы урана. Учитывая, что λ и период полураспада t1/2 связаны соотношением λ = ln 2/t1/2 ≈≈ 0,693/t1/2 и то, что t1/2 (238) = 4,468 · 109 лет, а t1/2 (235) = 7,04 · 108 лет,получаемtc =t1/2 (238) · t1/2 (235)t1/2 (238) − t1/2 (235)·1e−λ238 tc·=ln 2 e−λ235 tc44,68 · 7,04199,27=·ln= 5,93 · 109 лет.44,68 − 7,04 0,6930,72Изотопный анализ метеоритов приводит к возрасту Солнечной системы tc ≈≈ 4,6 · 109 лет.2) В течение tк ≈ 2,5 · 109 лет доля распавшихся ядер 23892 U составила 1 −−λ238 tK−e.
Для этой доли получаем−1 − e−λ238 tK = 1 − e0,6932,5·109 лет4,468·109 лет= 0,32.2.8.6. Используя формулу Вайцзеккера (1.8.7) и энергию связиα-частицы (Wα = 28,3 МэВ), оценить, начиная c какого массовогочисла A становится энергетически возможным α-распад.α-распаду отвечает процесс (A, Z) → (A − 4, Z − 2) + α. Этот процессэнергетически возможен, если он идет c выделением энергии, т. e. если энергияα-распада Qα > 0.
Выразим Qα через массы M и энергии связи W участвующих ядер:Qα = [M (A, Z) − M (A − 4, Z − 2) − mα ]c2 == Wα − [W (A, Z) − W (A − 4, Z − 2)] = Wα − ΔW ,гдеΔW = W (A, Z) − W (A − 4, Z − 2) = ΔZТаким образом,Qα = Wα − 2∂W (A, Z)∂W (A, Z)+ ΔA=∂Z∂A∂W (A, Z)∂W (A, Z)+4.=2∂Z∂A∂W (A, Z)∂W (A, Z)−4.∂Z∂AДалее преобразуем это выражение, используя для энергии связи ядра формулуВайцзеккера (1.8.7), в которой пренебрегаем последним слагаемым (энергией278Гл.
2. Задачи с решениямиспаривания). Получаем:∂W (A, Z)∂W (A, Z)−4=∂Z∂A81ZZ 2= Wα − 4av + as 1/3 + 4ac A2/3 − 4asym 1 − 2=AA3 A 45,9ZZ 2= −34,1 + 1/3 + 2,88A2/3 − 94,4 1 − 2МэВ.AAAQα = Wα − 2ZВ качествев этом соотношении используем условие для линии стабильAности (1.8.10):Z1=.2/ 3A0,015A+2Совместное использование двух вышенаписанных соотношений приводитк выводу о том, что Qα > 0 при A > 150. Решение проще всего получитьподбором, двигаясь вдоль линии стабильности (1.8.10).2.8.7. Определить кинетические энергии α-частицы и конечного2082122084ядра при α-распаде 21283 Bi → 81 Tl + α. Энергии связи 83 Bi, 81 Tl и 2 He212208следующие: W ( 83 Bi) = 1654,37 МэВ, W ( 81 Tl) = 1632,28 МэВ и Wα == 28,30 МэВ.Воспользуемся формулами (1.10.3)A−4,A4≈ Qα ,ATα ≈ QαTA−4где Tα и TA−4 — кинетические энергии α-частицы и конечного ядра, A — массовое число начального ядра, а Qα — энергия α-распада, определяемая черезмассы и энергии связи W участвующих объектов c помощью соотношенийQα = [M (A, Z) − M (A− 4, Z − 2) − mα ]c2 = W (A− 4, Z − 2) + Wα − W (A, Z).ПолучаемQα = (1632,28 + 28,30 − 1654,37) МэВ = 6,21 МэВ,A−4212 − 4= 6,21МэВ = 6,09 МэВ,A21244≈ Qα = 6,21МэВ = 0,12 МэВ.A212Tα ≈ QαTA−42.8.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
