Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 55
Текст из файла (страница 55)
M1- и Е2-переходы однонуклонные переходы в ядре12C§2.7. Модели ядер2672.7.28. Один из 1p3/2 -нуклонов ядра 126 C в результате поглощенияфотона перешел в состояние 1p1/2 . Определить тип (электрический илимагнитный) и мультипольность (полный момент количества движения)поглощенного фотона.При решении этой задачи воспользуемся решением задачи 1.8.19. Основное состояние ядра 126 C имеет спин-четность 0+ . При нуклонном переходе1p3/2 → 1p1/2 возбужденное состояние может иметь спин-четность 1+ или 2+ .Соответственно первое из возможных состояний возбуждается M1-фотоном,а второе — Е2-фотоном.2.7.29.
Ядро 168 O, находящееся в основном состоянии, поглощаетM1-фотон, в результате чего один из нуклонов его внешней подоболочки переходит в более высокорасположенную подоболочку. Что этоза подоболочка?У ядра 168 O в основном состоянии заполнена оболочка 1s1/2 , подоболочки 1p3/2 и 1p1/2 . Последняя подоболочка внешняя. Используя правила отбора (1.10.26) и (1.10.28) для электромагнитных переходов, получаем возможныеоднонуклонные M1-переходы из внешней подоболочки, указанные на рисунке.Внешний нуклон ядра 168 O в результате M1-перехода окажется либо на подоболочке 2p1/2 , либо на подоболочке 2p3/2 .2.7.30.
Показать, что с точки зрения квантовой механики не можетбыть вращения ядра вокруг оси симметрии и, как частный случай,268Гл. 2. Задачи с решениямивращения сферического ядра вокруг любой оси, проходящей через егоцентр.Рассмотрим вначале сферически симметричное ядро. В таком ядре ядерный потенциал, действующий на нуклоны, при повороте вокруг любой оси,проходящей через его центр, не меняется и, следовательно, не возникает сил,заставляющих нуклоны такого ядра согласованно участвовать во вращательномдвижении.Более формальное рассуждение сводится к следующему. Волновая функция ψ сферически симметричного ядра не зависит от углов θ и ϕ сферическойсистемы координат.
Поэтому∂ψ∂ψ== 0.∂θ∂ϕ2 квадрата полного орбитального момента количестваТак как оператор Lдвижения в сферических координатах имеет вид21∂∂1∂2 = −h̄2·sin θ+ 2 · 2 ,Lsin θ∂θ∂θsin θ∂ϕто отсюда следует, что для сферически симметричного ядра2 ψ = h̄2 L(L + 1)ψ = 0.LЭто означает, что орбитальный момент количества движения сферическогоядра равен нулю. Таким образом, у такого ядра нет состояний, отвечающихвращению.Аналогично этому не имеет смысла говорить о вращении деформированного ядра, имеющего форму аксиально-симметричного эллипсоида (рис. 1.9.2),вокруг оси симметрии z , поскольку момент количества движения относительноэтой оси также равен нулю.
Вращения могут происходить вокруг осей x и y ,перпендикулярных оси симметрии.2.7.31. Показать, что спектр возбужденных состояний деформированного ядра 18072 Hf представляет собой «вращательную полосу».Для четно-четных деформированных ядер согласно (1.9.1) энергия вращательных состояний Eвр =h̄2 J(J + 1), где J — спин состояния, который2Θ269§2.7. Модели ядерпринимает лишь четные значения J = 0, 2, 4, . . ., а Θ — момент инерцииядра. Таким образом, отношение энергий вращательных уровней должно бытьследующим:E2 + : E4 + : E6 + : E8 + == J2+ (J2+ + 1) : J4+ (J4+ + 1) : J6+ (J6+ + 1) : J8+ (J8+ + 1) == 2 (2 + 1) : 4 (4 + 1) : 6 (6 + 1) : 8 (8 + 1) = 3 : 10 : 21 : 36.Подставим приведенные на рисунке значения энергий и получим:E2+ : E4+ : E6+ : E8+ = 93 : 307 : 637 : 1079 =93 307 637 1079:::=31313131= 3 : 9,90 : 20,55 : 34,81.Полученные отношения, а также отсутствие в спектре уровней с J = 1, 3, 5, .
. .,указывают, что это «вращательная полоса» ядра.2.7.32. У ядра 15266 Dy наблюдается очень длинная вращательная(ротационная) полоса уровней со спин-четностью J P = 2+ , 4+ , 6+ , . . .. . . , 60+ . Она отвечает вращению эллипсоида с соотношением полуосейb : a : a = 2 : 1 : 1. Какова скорость v движения нуклонов в процессевращения в состоянии с J P = 60+ в самых отдаленных точках ядерногоэллипсоида (т. е. на его концах), если считать, что ядро вращается кактвердое тело?Ядро 15266 Dy представляет собой аксиально-симметричный вытянутый (вдольоси z) эллипсоид — см.
рисунок. Ядерный эллипсоид вращается вокруг оси(в данном случае это ось x), перпендикулярной его оси симметрии (оси z).При этом наибольшую скорость вращения имеют нуклоны, находящиеся наоси симметрии эллипсоида в точках максимального удаления от его центрасимметрии, т. е. в точках x = y = 0 и z = ±b.Искомая угловая скоростьвращения твердого эллипсоида вокруг оси x L дается выражением ω =, где L = 60h̄, а Θтверд — момент инерции тверΘтверд270Гл.
2. Задачи с решениямидого аксиального эллипсоида, который можно оценить с помощью соотношения(см. формулу (1.9.3)) 1 2222Θтверд = mR = AMN(b + a)2 ,5521Здесь использовано то, что R = (b + a), а масса ядра m = A · MN , где MN —2масса нуклона.Если эллипсоид и сфера радиуса R имеют равные объемы, то можем√44записать πba2 = πR3 . Так как в данном случае b = 2a, то b = 3 4 · R.33Используя для R оценку R = (1,0–1,1)A1/3 Фм ≈ 1,05A1/3 Фм, где A = 152,получаем√√33b = 4 · R = 4 · 1,05 · 1521/3 Фм ≈ 8,9 Фм,a ≈ 4,4 Фм.Итак, имеемω= LΘтверд=60h̄ · c2= 212AMN c2(b + a)252=60 · 6,58 · 10−22 МэВ · с · (3 · 1010 см/с)2 · 10152 · 939 МэВ · (8,9 + 4,4)2 10−26 см2= 1,4 · 1021 с−1 .Поскольку b = 8,9 Фм, для максимальной линейной скорости v движениянуклонов в процессе вращения ядра получаемv = b · ω = 8,9 · 10−13 см · 1,4 · 1021 с−1 ≈ 1,25 · 109 см/с ≈ 0,042 c.2.7.33.
На схеме показан спектр возбужденных состояний ядраОценить энергию первого возбужденного состояния 2+ .10646 Pd.Это типичный спектр квадрупольных колебаний сферически симметричного ядра, имеющего в основном состоянии J P = 0+ . Квадрупольные колебания атомных ядер характеризуются фононом J P = 2+ . Положение энергетических уровней определяется числом фононов n: En = (n + 5/2)h̄ω ,271§2.7. Модели ядергде h̄ω — энергия квадрупольного фонона. На рисунке есть только два уровня с J P = 2+ , нижний (искомый) уровень имеет n = 1, а второй n = 2.579Тогда E0 = h̄ω , E1 = h̄ω , E2 = h̄ω . Энергия второго 2+ -состояния22295E2 − E0 =−h̄ω = 2h̄ω = 1,128 МэВ. Энергия первого (искомого)22751,128 МэВ+−h̄ω = h̄ω == 0,564 МэВ. Экспе2 -состояния E1 − E0 =222римент дает для искомого уровня энергию 0,512 МэВ.Еще раз подчеркнем, что для спектра квадрупольных колебаний четночетных ядер, имеющих в основном состоянии J P = 0+ , характерными особенностями являются следующие:1.
Первое возбужденное состояние имеет J P = 2+ .2. При энергиях возбуждения, вдвое превышающих энергию первого возбужденного состояния, должны находиться три состояния с примерно одинаковой энергией и имеющих квантовые характеристики J P = 0+ , 2+ , 4+ , чтосоответствует сумме двух квадрупольных фононов 2+ .2.7.34. Показать, что момент количества движения J двух квадрупольных фононов 2+ может принимать значения 0, 2 и 4.
ЗначенияJ = 1 и 3 исключаются. Этот результат важен для понимания квантовых характеристик нижних вибрационных возбуждений четно-четныхсферических ядер (§ 1.9.2 и задача 2.7.33).Воспроизведем идеальный спектр нижних вибрационных состояний такихядер (рис. 2.7.2):Рис. 2.7.2. Идеальный спектр нижних вибрационных (квадрупольных) состояний четно-четных сферических ядерФормально выполненное векторное сложение моментов двух (n = 2) квадрупольных фононов дает следующие значения результирующего моментаJ(n = 2) = 2 + 2 = 0, 1, 2, 3, 4.Уточнение набора этих значений проще всего осуществить с помощью такназываемой таблицы Слэтера (табл. 2.4).В этой таблице буквами m1 и m2 обозначены проекции углового моментана ось z каждого из двух квадрупольных фононов. Очевидно, что эти проекциимогут принимать значения 0, ±1 и ±2.
При векторном сложении моментов ихпроекции суммируются. Составим таблицу (таблицу Слэтера), указывая в нейвсе возможные значения суммарной проекции M = m1 + m2 .272Гл. 2. Задачи с решениямиТ а б л и ц а 2.4Таблица Слэтера для двух квадрупольных фононовHH m2m1 HH−2−10+1+2−2−4−3−2−10−1−3−2−10+10−2−10+1+2+1−10+1+2+3+20+1+2+3+4Учтем, что рассматриваемые частицы тождественны (неразличимы). Ввидуэтого два состояния, отличающиеся обменом m1 и m2 , являются одним итем же состоянием, и необходимо исключить значения M , располагающиесяниже диагонали.
Значения на самой диагонали отвечают двум квадрупольным фононам, находящимся в одном и том же состоянии. Такие состоянияразрешены, так как фононы подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна. Итак,после исключения значений M , расположенных ниже диагонали, получимследующий набор M , представленный в табл. 2.5.Т а б л и ц а 2.5Откорректированная таблица Слэтера для двух квадрупольных фононовHH m2m1 HH−2−10+1+2−2−10+1+2−4−3−2−10−2−10+10+1+2+2+3+4Очевидно, Mmax = 4 соответствует J = 4. Но при J = 4 квантовое числоM может принимать значения −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4. Перенесемих из табл.
2.5 на рис. 2.7.3 и исключим из дальнейшего рассмотрения.Для остающихся состояний максимальное M равно 2, что может соответствовать лишь J = 2. Если теперь исключить из рассмотрения все пять значенийM , отвечающих J = 2 (M = −2, −1, 0, +1, +2), перенеся их на рис. 2.7.3,то в табл. 2.5 останется единственное состояние с M = 0, которое, очевидно,отвечает J = 0. Это единственное значение 0 также перенесем на рис. 2.7.3.Таким образом, на рис. 2.7.3 собраны все значения M = m1 + m2 , отвечающиеJ = 0, 2 и 4.Итак, мы получили, что для двух квадрупольных фононов возможны лишьсостояния с четными J :J(2h̄ω) = 0, 2 и 4.273§2.7. Модели ядер−4−3−2−10−2−10+10+1+2+2+3+4Рис.
2.7.3. Итоговый набор значений M = m1 + m2 , разрешенных для двухквадрупольных фононов и объединенных в группы с J = 0, 2 и 42.7.35. При энергиях возбуждения атомных ядер > 10 МэВ в нихвозникают поляризационные коллективные электрические дипольные (E1) возбуждения (в четно-четном ядре это отвечает переходу0+ → 1− ), в процессе которых происходит динамическое пространственное разделение протонов и нейтронов ядра (см. нижеследующийрисунок). Показаны крайние положения протонной и нейтронной составляющих ядра в процессе этих колебаний (они меняются местами через половину периода).
Частота подобных колебаний в ядрах1021 –1022 Гц. Максимум резонанса этих колебаний (называемого гигантским дипольным резонансом), хорошо видного в сечениях поглощения ядрами фотонов, располагается при энергиях h̄ω = 13–25 МэВ.Зависимость от массового числа A резонансной энергии этих коле75баний имеет вид h̄ω ≈ 1/3 МэВ. Как велико среднее отклонениеAцентров масс протонов и нейтронов в гигантском дипольном резонансеядер с Z = N = A/2? Каково максимальное (амплитудное) отклонение?Получить численные оценки для ядра 4020 Ca.При рассмотрении коллективных колебаний Z протонов относительно Nнейтронов можно использовать формализм квантового гармонического осциллятора. Гамильтониан осциллятора может быть записан в следующем виде:H=p2mω 2 2+x,2m2274где h̄ω ≈Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
