Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Энергиисвязи ядер 146 C и 148 O оказываются меньше на 2,04 МэВ энергии связи ядра1414147 N. Соответственно энергии ядер 6 C и 8 O в основном состоянии (сутьих массы в энергетических единицах) будут больше на эту же величину:ΔE = −ΔW = 2,04 МэВ. Здесь мы подчеркнем, что массы протона и нейтрона при пренебрежении электромагнитным взаимодействием (кулоновскимисилами) должны считаться одинаковыми. Необходимые уточнения, связанныес электромагнитным взаимодействием, мы сделаем, решая задачу 2.6.40. Сразускажем, что его учет не влияет на основные выводы.Основные состояния ядер 146 C и 148 O имеют одинаковую (с точностью дозамены n ↔ p) природу.
Они имеют и одинаковые спин-четность 0+ и образуютдва из трех членов самого нижнего изотриплета уровней с J P = 0+ и I = 1,а именно члены с I3 = ±1. Оставшийся член этого изотриплета (с I3 = 0)может принадлежать только ядру 147 N. Его энергетическое положение в отсутствие электромагнитного взаимодействия должно совпадать с положениемчленов с I3 = ±1, что возможно лишь при энергии возбуждения этого уровняв ядре 147 N равной ΔE = 2,04 МэВ, что и показано на рисунке. Спин-четностьвсех членов изомультиплета должна быть одинаковой. Поэтому искомый уровень в 147 N обязан иметь характеристики 0+ .Предсказанный на основе вышеприведенных рассуждений уровень ядра 147 Nэто самый нижний уровень этого ядра с I = 1.
Более низкое состояние с I = 1невозможно, так как члены с I3 = ±1 соответствующего изотриплета должныбыли бы при отсутствие электромагнитного взаимодействия располагаться притех же энергиях (на одной горизонтали) в ядрах 146 C и 148 O, т. е. ниже ихосновных состояний.251§2.6. Свойства атомных ядер. Энергия ядраПредсказанный нами результат (самый нижний уровень с I = 1 в ядреимеет энергию 2,04 МэВ и спин-четность 0+ ) хорошо согласуется с экспериментом. Соответствующий экспериментальный 0+ -уровень расположен приэнергии возбуждения 2,31 МэВ и является первым возбужденным состояниемядра 147 N.147N2.6.40.
Учесть влияние электромагнитного взаимодействия при решении задачи 2.6.39. Как с учетом этого взаимодействия следуетвидоизменить рисунок, приведенный в тексте этой задачи? Сравнитьполученные результаты с экспериментом.Итак, обратимся к вопросу о влиянии электромагнитного взаимодействияна наши выводы, сделанные при решении задачи 2.6.39. Роль электромагнитного взаимодействия проявляется в двух эффектах: в различной энергиикулоновского отталкивания в ядрах-изобарах и в несколько отличающихсямассах протона и нейтрона.
При движении 146 C → 147 N → 148 O возрастает число протонов и увеличивается кулоновская энергия Eкул = 0,72Z(Z − 1)A 1/ 3МэВ(см. (1.8.4)). За счет увеличения Eкул энергия связи ядра-изобара с бóльшимчислом протонов уменьшается и его масса возрастает. В то же время массаядра с бòльшим числом протонов уменьшается за счет того, что mp < mn .Легко убедиться, что результирующий массовый эффект этих разнонаправленных тенденций для двух соседних ядер-изобар (A, Z ) и (A, Z + 1) даетсявыражением[m(A, Z + 1) − m(A, Z)] c2 = Eкул (A, Z + 1) − Eкул (A, Z) − (mn − mp ) c2 == ΔEкул − (939,565 − 938,272) МэВ ≈ (1,44формулу, получим, что масса ядра 147 N14146 C на ≈ 2,3 МэВ, а масса ядра 8 OZA 1/ 3− 1,29) МэВ.Используя этувозросла по сравнениюс массой ядравозросла по сравнениюс массой 147 N на ≈ 2,9 МэВ.
Эти массовые приращения сдвигают всю системууровней одного и того же ядра как целое и не меняют взаимное расположениеуровней ядра. Таким образом и после учета электромагнитного взаимодействияпредсказание энергии самого нижнего уровня с I = 1 ядра 147 N не изменится,т. е. останется равным 2,04 МэВ.Видоизмененный с учетом электромагнитного взаимодействия рисунок задачи 2.6.39 теперь будет выглядеть так, как показано на следующей странице.Две штрихпунктирные линии на этом рисунке соединяют изотриплет уровней 0+ , которые за счет электромагнитного взаимодействия теперь смещеныдруг относительно друга по энергии (не располагаются на одной горизонтали).Но энергия возбуждения компоненты I = 1, I3 = 0 этого изотриплета в ядре147 N, равная согласно нашим предсказаниям 2,04 МэВ (экспериментальнаявеличина 2,31 МэВ), очевидно, не меняется при учете электромагнитноговзаимодействия.Из рисунка также следует, что энергии основных состояний ядер 146 Cи 147 N при учете электромагнитного взаимодействия сблизились, а энергияосновного состояния ядра 148 O ушла от них довольно высоко вверх.
Энергииэтих «электромагнитных» сдвигов для пар ядер 146 C − 147 N и 147 N − 148 O составили соответственно около 2,3 и 2,9 МэВ. Проверим, насколько хорошо этипредсказанные сдвиги отвечают экспериментальным данным. Эксперименталь-252Гл. 2. Задачи с решенияминое значение энергии основного состояния ядра 146 C равно 13 040,87 МэВ.Если к этому значению добавить величину (2,3 − 2,04) МэВ = 0,26 МэВ(см. рисунок), то мы должны получить для энергии основного состоянияядра 147 N значение 13 041,13 МэВ, что весьма близко к экспериментальномузначению 13 040,20 МэВ. Энергия основного состояния ядра 148 O согласнонашим оценкам больше энергии основного состояния 147 N на 2,9 МэВ, чтодает для основного состояния 148 O предсказательную величину (13 041,13 ++ 2,9) МэВ = 13 044,03 МэВ.
Это практически совпадает с табличным значением 13 044,84 МэВ для ядра 148 O.2.6.41. Используя простейшие представления модели ядерных оболочек, дать интерпретацию самого нижнего по энергии состояния ядра147 N с изоспином 1 (обсуждению этого состояния посвящены задачи2.6.39 и 2.6.40).Обсуждение начнем с оболочечных нуклонных конфигураций трех ядеризобар 146 C, 147 N и 148 O в основном состоянии. Они показаны на рисунке.Стрелками показаны моменты j внешних нуклонов.У всех представленных на рисунке ядер полностью заполнена оболочка1s1/2 и подоболочка 1p3/2 .
Спин-четность основных состояний рассматрива-§2.7. Модели ядер253емых ядер полностью определяется состояниями пары нуклонов на внешнейподоболочке 1p1/2 . Эффект спаривания нуклонов одного типа на одной итой же подоболочке приводит к взаимной компенсации моментов количествадвижения j пары внешних нуклонов ядер 146 C и 148 O, в силу чего основныесостояния этих ядер имеют спин-четность 0+ . Основное состояние ядра 147 N11имеет спин-четность 1+ . Поэтому вектора jn = и jp = внешних нуклонов22сонаправлены, что и показано на рисунке.1414Основные состояния ядер 6 C и 8 O являются двумя компонентами (соответственно с I 3 = −1 и I 3 = +1) самого нижнего по энергии изотриплетауровней с I = 1, I 3 = 0, ±1 в ядрах-изобарах 146 C, 147 N и 148 O.
Не хватаеткомпоненты с I 3 = 0, принадлежащей ядру 147 N. Поскольку члены одногоизомультиплета не могут отличаться ничем, кроме замены нуклонов одноготипа на нуклоны другого типа, то сразу получаем оболочечную структуру этогоотсутствующего на предыдущем рисунке самого нижнего по энергии состояния147 N с I = 1, I3 = 0:Как мы уже знаем из задач 2.6.39 и 2.6.40, показанное на этом рисункесостояние является первым возбужденным состоянием ядра 147 N с энергией2,31 МэВ (предсказанное значение 2,04 МэВ).
Это состояние отличается отосновного другой взаимной ориентацией моментов jn и jp внешних нуклонов.Энергетически более выгодной в ядре 147 N является параллельная ориентацияэтих моментов (как и у дейтрона). Энергетически менее выгодной являетсяантипараллельная ориентация внешних нуклонов. Для разворота моментоввнешних протона и нейтрона в противоположные стороны в ядре 147 N необходимо затратить энергию 2,31 МэВ. Отметим, что аналогичное изменениеориентации моментов протона и нейтрона в дейтроне приводит к его развалу.Для этого требуется энергия 2,22 МэВ, близкая к энергии обсуждаемоговозбуждения ядра 147 N.§2.7. Модели ядер2.7.1.
Рассчитать расстояние между уровнями 1s, 2s и 3s ядра 9040 Zr,полагая, что нуклоны в этом ядре 1) находятся внутри непроницаемойсферы ядерных размеров и 2) внутри потенциальной ямы изотропногогармонического осциллятора.Непроницаемая сфера соответствует бесконечной прямоугольной потенциальной яме. В такой яме энергии уровней с l = 0 определяются соотношением:254En =Гл.
2. Задачи с решениями(nh̄π)28mR2, где n = 1, 2, 3, . . . (номера уровней 1s, 2s, 3s, . . .), m — массануклона и R — радиус ядра (полуширина ямы). Таким образом, величинырасстояний между уровнями 1s, 2s и 3s будут следующими:ΔE1s→2s = 3≈(πh̄)28mR2=3(πh̄c)22 ≈8mc2 r0 A1/33 · (3,14 · 200)2 МэВ2 · фм2≈ 5,5 МэВ;28 · 931,5 МэВ · 1,2 · 901/3фм2ΔE2s→3s = 5(πh̄)28mR2=5(πh̄c)2 2 ≈ 9,1 МэВ.8mc2 r0 A1/3В яме трехмерного гармонического осциллятора выражение для энергии уровней с l = 0 определяется соотношением En = h̄ω(2n + 3/2), гдеn = 0, 1, 2, 3, . .
. Следовательно, уровни с l = 0 в яме гармонического осциллятора образуют ряд состояний 0s, 1s, 2s, 3s, . . . Для ядерной осцилляторной ямы h̄ω ≈ 41 · A−1/3 МэВ (см. (1.8.37)). Для ядра 9040 Zr это даетh̄ω = 41 · 90−1/3 МэВ ≈ 9,1 МэВ. Таким образом, ΔE0s→1s = ΔE1s→2s == ΔE2s→3s = 2h̄ω = 18,2 МэВ.2.7.2. Оценить энергетическое расстояние h̄ω между соседнимиосцилляторными оболочками в ядрах с массовыми числами A = 40и 200.По формуле (1.8.37) находим h̄ω = 12 МэВ для A = 40 и h̄ω = 7 МэВдля A = 200.
Таким образом, с ростом массового числа A расстояние междусоседними оболочками уменьшается.2.7.3. Определить спины J и четности P основных состоянийизотопов кислорода 15 O–23 O.Изотоп 16 O имеет полностью заполненные оболочки 1s1/2 и 1p по протонами нейтронам, т. е. является дважды магическим ядром J P (16 O) = 0+ . Конфигурацию основного состояния ядра 16 O можно записать в виде16O:(1s1/2 )2 (1p3/2 )4 (1p1/2 )2 .Верхние числовые индексы уровней — это числа нуклонов одного типа (нейтронов или протонов) на данном уровне.Ядро 15 O имеет одну нейтронную вакансию (дырку) на уровне 1p1/2 .Спин-четность этого ядра определяется характеристиками отсутствующегонейтрона, т. е. J P (15 O) = 1/2− .
Итак, ядро 15 O имеет следующую нейтроннуюконфигурацию и спин-четность:15O:(1s1/2 )2 (1p3/2 )4 (1p1/2 )1J P = 1 /2 − .Начиная с изотопа 17 O происходит заполнение нейтронами уровня 1d5/2 .Если число нейтронов на этой подоболочке нечетное, то спин-четность ядраполностью определяется характеристиками этого нечетного нейтрона, т. е. будем иметь J P = 5/2+ . Если число нейтронов на подоболочке 1d5/2 четное, то255§2.7. Модели ядерв силу спаривания нейтронов будем иметь J P = 0+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
