Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Учитывая, что vr = r˙ , а vθ = rθ̇, получаем Z Z e2m 2 означает выполE =ṙ + r2 ϕ̇2 + 1 2 . Сохранение углового момента L2rнение равенства mbv = mr2 ϕ̇. При r = rmin производная ṙ = 0 и, пренебрегаянезначительной отдачей ядра, получаем следующую систему уравнений:⎧2θ̇ 2mrminZ Z e2mv 2⎪⎪+ 1 2 =⎨2bv⎪⎪⎩ θ̇ = 2 .rmin2rminПодставив второе уравнение в первое и учитывая выражение для b, приходимк квадратному уравнению для rmin , решая которое получаем для θ = 90◦⎛⎞2rmin =−10ед. СГСЭ (1 + 1,41)Z1 Z2 e2 ⎝1 ⎠ 2 · 79 · 4,8 · 10==1+6θ2T2·6,5·10эВ·1,6 · 10−12 эрг/эВsin2= 4,2 · 10−12 см = 42 Фм.3) Потенциальная энергия α-частицы в точке наибольшего сближенияс ядром22 · 79 · 4,8 · 10−10 ед.
СГСЭZ1 Z2 e2V (rmin ) === 5,4 МэВ,rmin4,2 · 10−12 см · 1,6 · 10−12 эрг/эВи ее кинетическая энергия в этой точке T = T − V = (6,5 − 5,4) МэВ == 1, 1 МэВ.2.6.2. При упругом рассеянии электронов с энергией T = 750 МэВна ядрах 4020 Ca в сечении наблюдается первый дифракционный минимумпод углом θmin = 18◦ . Оценить радиус ядра 4020 Ca.Положение первого дифракционного минимума в сечении упругого рассеяния θmin можно оценить с помощью формулы (1.7.6) для дифракции плоской0,6λволны на диске или шаре радиуса R: sin θmin =.
Учитывая, что электроныRрелятивистские, получаемR=0,6λ0,6 2πh̄c 0,6 · 6,28 · 200 МэВ · Фм=== 3,2 Фм = 3,2 · 10−13 см.sin θmin sin θmin T750 МэВ · 0,312.6.3. В опытах Резерфорда использовались α-частицы с энергиейоколо 5 МэВ. Их дебройлевская длина волны ≈ 6 Фм и не превышает§2.6. Свойства атомных ядер. Энергия ядра235радиус тяжелого ядра (A ≈ 200). Почему в этих опытах не наблюдаласьдифракционная картина?Рассчитаем расстояние rmin минимального сближения α-частицы и тяжелого (A ≈ 200) ядра при лобовом столкновении:Кинетическая энергия α-частицы Tα и энергия кулоновского отталкиванияее ядром Vкул на расстоянии их минимального сближения дается соотношениемTα = Vкул =Zα Zя e2.rminОтсюдаrmin =Zα Zя e22 · 79 · (4,8 · 10−10 ед.
СГСЭ)2=≈ 4,6 · 10−12 см ≈ 46 Фм.Tα5 · 106 эВ · 1,6 · 10−12 эрг/эВТаким образом, α-частица не доходит до ядра: α-частичные волны проходятвдали от ядра. Они «облизывают» пустое пространство и не «ощущают» очертания ядра. Дифракционная картина возникнуть не может.2.6.4. Имеются пучок нейтронов с энергией 5 МэВ и пластинказолота. Предложите эксперимент по определению радиуса ядра золотаи обоснуйте свое предложение.Рассмотрим два эксперимента: дифракционное рассеяние и ослабление пучка нейтронов мишенью золота (описание обоих типов экспериментов содержится в п. 1.7.2).
Последний эксперимент всегда возможен, а для дифракционногорассеяния нужно, чтобы длина волны нейтрона λn была сравнима или меньшерадиуса R ядер, входящих в состав мишени, т. е. необходимо выполнениеусловия λn R. Оценим λn и R ядра золота (A = 197):RAu = (1,0 ÷ 1,1)A1/3 Фм ≈ (1,0 ÷ 1,1)1971/3 Фм ≈ 6 Фм,λn =h2πh̄c1240 МэВ · Фм= ≈ √≈ 12,8 Фм.p2 · 940 МэВ · 5 МэВ2mn c2 · TnТаким образом λn > RAu , и дифракционный опыт нецелесообразен.2.6.5.
Оценить радиусы атомных ядер279023813 Al, 40 Zr, 92 U.Эмпирическая зависимость радиуса ядра R от числа нуклонов A (A > 10)R ≈ r0 · A1/3 (п. 1.7.2). Если ядро аппроксимировать сферой однородной плотности (без размытого края), то параметр r0 ≈ 1,2 · 10−13 см (1.7.3) и приблизительно одинаков для всех ядер. Исходя из этого имеем:236Гл. 2. Задачи с решениямидля2713 AlR = 1,2 · 10−13 см · 271/3 = 3,6 · 10−13 см,для9040 ZrR = 1,2 · 10−13 см · 901/3 = 5,4 · 10−13 см,для23892 UR = 1,2 · 10−13 см · 2381/3 = 7,5 · 10−13 см.2.6.6. Оценить плотность ядерной материи.Масса одного нуклона в ядре mN ≈ 1,66 · 10−24 г.
Плотность ядернойматерии есть масса ядра, деленная на его объем:mN Aρ=4πR33=3mN A4πr03 A=3mN4πr03=3 · 1,66 · 10−24 г3 =4 · 3,14 · 1,05 · 10−13 см= 1,8 · 1014 г/см3 = 180млн. тоннсм3.Плотность ядерной материи почти не зависит от A.2.6.7. Найти среднее расстояние между нуклонами в ядре.Используем эмпирическое соотношение (1.7.2) для радиуса ядра:R = r0 A1/3 = (1,0 ÷ 1,1)A1/3 Фм.Объем ядра Vя =44 3Vπr0 A. Объем, приходящийся на один нуклон, VN = я =3A= πr03 . Длина стороны куба такого объема dN и есть среднее расстояние3между нуклонами в ядре.
Имеем4 1/ 34 1/ 3dN =πr03≈ (1,0 ÷ 1,1) 3,14Фм ≈ 1,7 Фм.332.6.8. Оцените диаметр нейтронной звезды с массой Солнца(2 · 1033 г).Плотность нейтронной звезды приблизительно равна плотности веществав ядре: ρяд ≈ 2 · 1014 г/см3 (см. задачу 2.6.6). Масса M нейтронной звездычерез ее объем V , плотность ρ и диаметр D выражается следующим образом:4316M = V · ρ = πR3 ρ = πD3 ρ.Используя в этом выражении в качестве ρ ядерную плотность ρяд , получаем#6M6 · 2 · 1033 гD= 3≈ 3≈ 2,7 · 106 см = 27 км.142πρ3,14 · 2 · 10г/см2.6.9. В числе Авогадро зашифрована масса протона.
Как получитьэту массу из числа Авогадро? Какова точность такой оценки, и с чемсвязаны отличия полученного значения от реальной (табличной) массыпротона?Число Авогадро NA = 6,022 · 1023 это число атомов (или молекул) в одноммоле вещества. Напомним, что 1 моль вещества это число граммов этоговещества, численно равное его атомной (или молекулярной) массе, т. е. массеатома вещества, выраженной в атомных единицах массы (а. е. м.). По определению а.
е. м. (см. соотношение (1.7.15)), один моль 12 C равен точно 12 г,§2.6. Свойства атомных ядер. Энергия ядра237и в этом количестве углерода-12 содержится NA его атомов. Таким образом,масса одного атома 12 C дается выражениемM12атC =12г.NA(2.6.1)Если пренебречь различиями в массах протона mp и нейтрона mn , энергиейe,связи ядра W , массами me атомарных электронов и их энергией связи Eсватто можно записать следующее приближенное соотношение: M12 C ≈ 12 · mp .Откуда с учетом (2.6.1) имеемmp ≈1г = 1,66054 · 10−24 г.NA(2.6.2)Табличное значение следующее: mp = 1,67262 · 10−24 г, т. е.
отличаетсяот вышеприведенного всего на 0,7 %. Каковы источники этого небольшогоотличия и каков их вклад? Для выяснения этого запишем точное выражениедля массы атома 12 C в энергетических единицах и выполним вычисления:eM12атC · c2 = 6 [mp + mn ] c2 − W + 6me c2 − Eсв== (6 · 938,272 + 6 · 939,565 − 92,160 + 6 · 0,511 − 0,0007) МэВ = 11177,93 МэВ.Здесь учтено, что для атома углерода-12 суммарная энергия связи электроновeEсв= 0,7 кэВ = 0,0007 МэВ.Полученное «точное» значение M12атC · c2 = 11177,93 МэВ на 0,7 % меньшезначения 11259,264 МэВ, даваемого приближенным выражением M12атC c2 ≈≈ 12 · mp c2 .
Кроме того, из вышенаписанного точного выражения для M12атC · c2следует, что основной вклад в обсуждаемое отличие вносит энергия связиядра 12 C, равная 92,16 МэВ.Таким образом, масса протона (и нейтрона) в граммах может быть полученас точностью не хуже 1 % просто как обратная величина числа Авогадро.2.6.10. Считая протоны точечными частицами, оценить энергии кулоновского Vкул и ядерного (нуклон-нуклонного) взаимодействия VNNдвух протонов, отстоящих друг от друга на расстоянии 2 Фм (среднеерасстояние между нуклонами в ядре около 1,7 Фм).Для кулоновской энергии Vкул получаемVкул24,8 · 10−10 ед. СГСЭe2==эрг ≈ 0,7 МэВ.r2 · 10−13 см · 1,6 · 10−6МэВДля ядерного взаимодействия нуклонов на расстоянии 2 Фм, обусловленe−r/a,ного однопионным обменом, используем потенциал Юкавы ϕЮ = −gNrгде gN — ядерный заряд нуклона, а a = 1,4 Фм — характерный радиус нуклон-нуклонного взаимодействия, обусловленного однопионным обменом(см.
задачу 2.1.8). Знак «минус» перед gN означает притяжение одинаковыхядерных зарядов, в отличие от электрических. Имеем2VN N = gN · ϕЮ = −gNe−r/ag2e−r/a= − N h̄c.rh̄cr(2.6.3)g2Здесь введена безразмерная константа нуклон-нуклонного взаимодействия N ,h̄cменяющаяся в пределах 1 ÷ 10 в зависимости от энергии нуклонов и их238Гл.
2. Задачи с решениями2gN≈ 1. Тогда из (2.6.3) получаемh̄ce−2/1,4≈ 1 · 200 МэВ · Фм≈ 24 МэВ.2 Фмквантовых состояний. ПримемVN N2.6.11. Оценить энергию Eвзрыва , выделяющуюся при ядерном взрыве урана массой m = 100 кг (диаметр уранового металлического шаратакой массы около 20 см). На какую высоту h можно поднять куб водыс длиной ребра 1 км с помощью выделившейся энергии? Считать весьуран разделившимся.Высота подъема h водяного куба массы M находится из соотношенияEвзрыва = M gh = Q1 · NU , где Q1 — энергия, освобождающаяся в одном актеделения (она равна примерно 200 МэВ), а NU — число ядер урана.
NU находимm · NA, где NA — число Авогадро. Итак, имеемиз соотношения NU =AEвзрыва = M gh = Q1 · NU = Q1 ·m · NA=A105 г · 6 · 1023эрг· 1,6 · 10−6≈ 1023 эрг = 1016 Дж.200 гМэВ1023 эрг≈ = 105 см = 1 км.3гсм105 см · 1 3 · 103 2= 200 МэВh=EвзрываMgсмс2.6.12. Определить энергию, выделяющуюся при превращении всего дейтерия, содержащегося в m = 100 кг тяжелой воды, в гелий.На какую высоту можно поднять куб воды с длиной ребра h = 1 кмс помощью выделившейся энергии?Синтез гелия из дейтерия идет за счет реакции22311 H + 1 H → 2 He + 0 n.Найдем энергию реакции Q (энергию, выделяющуюся в одном акте синтеза),используя избытки масс ядер Δ:Q = 2m2 H c2 − m3 He c2 − mn c2 = 2Δ2 H − Δ3 He − Δn =1212= (2 · 13,136 − 14,931 − 8,071) МэВ = 3,27 МэВ.Энергия, выделяющаяся при синтезе, находится из соотношения (см. такжепредыдущую задачу):Eсинтеза = (энергия одного акта синтеза) · (число актов синтеза) =4 1 m · NA· ·.20 2A41Здесь— весовая доля дейтерия в тяжелой воде (D2 O), множитель — учи202=Q·тывает, что число актов синтеза вдвое меньше числа ядер D ≡ 21 H.
ПосколькуEсинтеза = M gh, тоэрг3,27 МэВ · 1,6 · 10−6· 105 г · 6 · 1023Q · m · NAМэВh = Q · 0,2 · 0,5 ·=≈ 5 3гмA · Mg2 г · 10см · 1 3 · 9,8 2смс≈ 1,6 · 104 см = 160 м.239§2.6. Свойства атомных ядер. Энергия ядраЕсли произойдет синтез 100 кг чистого дейтерия, то выделяющаяся энергиябудет в 5 раз больше, и с помощью этой энергии куб воды объемом 1 км3может быть поднят на высоту ≈ 800 м, т. е. примерно на такую же высоту, каки при делении 100 кг урана (предыдущая задача).2.6.13. Массы нейтрона и протона в энергетических единицахравны соответственно mn c2 = 939,6 МэВ и mp c2 = 938,3 МэВ. Определить массу ядра 21 H в энергетических единицах, если энергия связидейтрона W (2, 1) ≈ 2,2 МэВ.W (A, Z)Масса ядра M (A, Z) = Zmp + (A − Z)mn −c2ветственно заряд и масса ядра.
Тогда для дейтронаM (2, 1) =1c2, где Z и A — соот-(1 · 938,3 МэВ + 1 · 939,6 МэВ − 2,2 МэВ) = 1875,7МэВc2.2.6.14. Масса Mат (A, Z) нейтрального атома 168 O составляет 15,9949 а.е.м. Определить удельную энергию связи ε ядра 168 O.W (A, Z)Удельная энергия связи ядра ε(A, Z) =, где W (A, Z) — энергияAсвязи ядра, A — массовое число. Полная энергия связи ядраW (A, Z) = [Zmp + (A − Z)mn − M (A, Z)] c2 == [Zmp + (A − Z)mn − Mam (A, Z) + Zme ] c2 .Используя энергетические единицы для масс 1 а.е.м.
= 931,49 МэВ, получаем для ядра 168 O:ε=1[Zmp + (A − Z)mn − Mam (A, Z) + Zme ] c2 =A8 · 938,27 МэВ +(16 − 8)· 939,57 МэВ − 15,9949 · 931,49 МэВ + 8 · 0,511 МэВ==16= 7,98 МэВ/нуклон.2.6.15. Массы нейтральных атомов в а.е.м.: 168 O − 15,9949, 158 O −− 15,0030, 157 N − 15,0001. Чему равны энергии отделения нейтронаи протона в ядре 168 O?Для энергий отделения нейтрона Bn и протона Bp используем выражения(1.7.12) и (1.7.13). При этом учтем, что масса ядра M (A, Z) связана c массойатома Mат (A, Z) соотношением M (A, Z) = Mат (A, Z) − Zme (незначительнойэнергией связи атомарных электронов пренебрегаем).
Поэтому для энергийотделения нейтрона и протона имеем соответственноBn (A, Z) = mn c2 + Mат (A − 1, Z)c2 − Mат (A, Z)c2 ,Bp (A, Z) = mp c2 + Mат (A − 1, Z − 1) − Mат (A, Z)c2 + me c2 .Итак, для ядра 168 O получаем:Bn = 939,5654 МэВ++ (15,0030 а.е.м. − 15,9949 а.е.м.) · 931,494 МэВ ≈ 15,6 МэВ,Bp = 938,2720 МэВ++ (15,0001 а.е.м. − 15,9949 а.е.м.) · 931,494 МэВ + 0,511 МэВ ≈ 12,1 МэВ.240Гл. 2. Задачи с решениями2.6.16. Определить энергию, необходимую для отделения дейтрона(ядра 2 H) от ядра 13 C. Чему равна энергия отделения ядра 11 B от ядра13C? Энергии связи W ядер 13 C, 11 B и 2 H равны соответственно 97,1;76,2 и 2,2 МэВ.Отделению ядра 2 H от ядра 13 C отвечает процесс 13 C → 2 H + 11 B. Поэтомуэнергия отделения ядра 2 H от ядра 13 C равна энергии отделения ядра 11 B отядра 13 C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
