Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 43
Текст из файла (страница 43)
однимиэтого два состояния, отличающиеся обменом I3 1 и I3 2 , являются тем же состоянием, и необходимо исключить значения I3 1 + I3 2 , располагающиеся ниже диагонали, поскольку они дублируются такими же значениямивыше нее. Значения на самой диагонали отвечают двум бозонам, находящимсяв одном и том же состоянии. Такие состояния разрешены, так как бозоныподчиняются статистике Бозе–Эйнштейна.
Итак, после исключения значений I3 1 + I3 2 , расположенных ниже диагонали, получим следующий набор изшести значений I3 1 + I3 2 : 0 (на диагонали) и −2, −1, 0, +1, +2 (верхнийряд и правая колонка таблицы). Довольно очевидно, что такой набор проекцийсуммарного изоспина могут дать лишь состояния с I = 0 (I3 = 0) и 2 (I3 = 0,±1, ±2). Таким образом система тождественных бозонов с единичным изоспином каждого из них может быть лишь в состояниях с суммарным изоспином 0или 2. Состояние с суммарным изоспином 1 исключено.б) Комбинация π + π − это система нетождественных бозонов с изоспином 1каждого из них.
Ограничения на их суммарный изоспин, связанные со статистикой Бозе–Эйнштейна, теперь не действуют, и суммарный изоспин I = 1возможен.в) Комбинация π + π + это вновь система тождественных бозонов с изоспином 1 каждого из них. Поэтому вновь возникают ограничения, связанныес бозе-симметрией, рассмотренные выше для комбинации π 0 π 0 . Но посколькуπ + имеет I3 = +1 (π 0 имеет I3 = 0), то для системы π + π + остается единственное значение проекции изоспина, равное +2, а значит остается и един-§2.4. Адроны, кварки. Системы двух и трех частиц.205ственное значение суммарного изоспина, равное 2.
Итак, для π + π + разрешенолишь I = 2. Вновь I = 1 исключено.г) Комбинация Λπ 0 это совокупность частицы с нулевым изоспином (Λ)и единичным изоспином (π 0 ). Очевидно, что такая комбинация частиц имеет I = 1.Окончательный ответ: I = 1 возможно лишь для комбинаций б) π + π −и г) Λπ 0 .2.4.24.
Рассмотреть нейтрон-протонную (np) и двухнейтронную(nn) системы с орбитальными и полными моментами каждого нуклона3l = 1 и j = . Какие значения может иметь полный момент J этих2систем?В случае np-системы имеем дело с нетождественными частицами, поэтомуполный момент системы может быть любым, допустимым правилами векторного сложения моментов, т. е. |jn − jp | J jn + jp или J = 0, 1, 2, 3.В случае nn-системы значения J = 1, 3 запрещены принципом Паули, таккак в этом случае тождественные частицы будут иметь одинаковый наборквантовых чисел l, j и jz , что недопустимо. Поэтому J = 1, 3 исключаются.Поясним сказанное.В таблице представлены возможные значения суммарной проекции полного момента J двух фермионов с j1 = j2 = 3/2 на ось z , т.
е. значения Jz = j1 z ++ j2 z : PP PP j1 zPPj2 zPP−3/2−1/21 /23 /2−3/2−3−2−10−1/2−2−1011 /2−10123 /20123Если фермионы тождественны, то они не могут иметь одинаковые наборыl, j и jz . Поэтому необходимо исключить все значения Jz = j1 z + j2 z , находящиесятаблицы. Кроме того, два состояния, различающиеся диагонали наобменом j1 z и j2 z , являются одним и тем же состоянием.
Поэтому можноисключить Jz , находящиеся ниже диагонали. Итак, приходим к следующейтаблице PP PP j1 zPPj2 zPP−3/2−1/21 /23 /2−3/2−1/21/23/2−2−10012206Гл. 2. Задачи с решениямиНабор Jz = −2, −1, 0, 1, 2 соответствует J = 2. Оставшееся значениеJz = 0 соответствует J = 0. Таким образом, для тождественных фермионовостаются J = 0 и 2.2.4.25. Показать, что для частиц октета легчайших барионовс J P = 1/2+ выполняется следующее правило: у кварков одинаковогоаромата спины параллельны.Волновая функция бариона (системы из трех кварков) может быть записанав следующем виде:Ψ(1, 2, 3) = Ψcolor (к, з, с) · Ψspace r1 , r2 , r3 · Ψspin J1 , J2 , J3 · Ψisospin I1 , I2 , I3 ,(2.4.9)где 1, 2, 3 — совокупность всех координат и квантовых чисел кварков, а произведение четырех функций справа — это произведение соответственно цветовой(к — красный, з — зеленый, c — синий), пространственной, спиновой и изоспиновой частей волновой функции бариона.
Кварки это фермионы. В соответствии с обобщенным принципом Паули (см. задачу 2.4.18), Ψ(1, 2, 3) должнабыть антисимметрична в целом к перестановке всех квантовых чисел и координат двух тождественных кварков (кварки u и d считаются тождественными,поскольку составляют изоспиновой дублет), хотя цветовая, пространственная,спиновая и изоспиновая функции в отдельности могут быть как симметричными (s), так и антисимметричными (a).Ψ(к, з, с) всегда антисимметрична, так как кварки в барионе разноцветны.Низшие по массе супермультиплеты барионов (октет 1/2+ и декуплет 3/2+ )симметричны по пространственным координатам кварков, т. е.
Ψ(r1 , r2 , r3 ) неменяется при перестановке пространственных координат любой пары одинаковых кварков. Это является следствием того, что в рассматриваемых барионныхсупермультиплетах кварки находятся в состояниях с нулевыми относительными орбитальными моментами (L = 0).
Более подробно это обсуждается прирешении задач 2.4.17 и 2.4.18. С учетом сказанного (2.4.9) переписываетсяв видеΨa (1, 2, 3) = Ψa (к, з, с) · Ψs (r1 , r2 , r3 ) · Ψ(J1 , J2 , J3 ) · Ψ(I1 , I2 , I3 ).(2.4.10)Отсюда следует, что в супермультиплетах легчайших барионов (например,октете J P = 1/2+ и декуплете J P = 3/2+ ) допустимы лишь такие кварковыекомбинации, у которых спиновая и изоспиновая функции одновременно либо симметричны, либо антисимметричны, т. е. спин-изоспиновая комбинацияфункций либо Ψs (J1 , J2 , J3 ) · Ψs (I1 , I2 , I3 ), либо Ψa (J1 , J2 , J3 ) · Ψa (I1 , I2 , I3 ).Рассмотрим теперь протон (uud).
Запишем (2.4.10) в видеΨa (uud) = Ψa (uк uз dс ) · Ψs (ru ru rd ) · Ψ(Ju Ju Jd ) · Ψ(Iu Iu Id ).Переставим u-кварки. Изоспиновая функция к таким перестановкам симметрична. Значит должна быть симметрична и спиновая функция. Это означает, что спины u-кварков обязаны быть параллельными (↑↑). Спин d-кваркаантипараллелен спинам u-кварков, чтобы результирующий момент протона (егоспин) был равен 1/2. Итак, Ψ(Ju Ju Jd ) ≡ Ψ(↑↑↓). Эту ситуацию можно изобразить и так: p = u↑ u↑ d↓ .
Аналогично рассуждая, можно получить n = u↓ d↑ d↑ ,Ξ0 = u↓ s↑ s↑ , Ξ− = d↓ s↑ s↑ .2.4.26. Показать, что в супермультиплете легчайших барионов1/2+ не может быть частиц, состоящих из кварков одинакового аромата uuu, ddd, sss.§2.4. Адроны, кварки.
Системы двух и трех частиц.207Рассмотрим комбинацию uuu. Заменим в волновой функции протона (смотри предыдущую задачу) кварк d на кварк u. Пусть у зеленого и красногокварков спины параллельны:Ψa (uuu) = Ψa (uк uз uс ) · Ψs (ru ru ru ) · Ψ(↑↑↓) · Ψ(Iu Iu Iu ).Изоспиновая функция симметрична к перестановке любой пары u-кварков.Поэтому симметричной обязана быть и спиновая функция. Однако она антисимметрична к перестановке тех u-кварков, у которых спины антипараллельны.Таким образом, комбинация из трех одинаковых по аромату кварков в супермультиплете барионов 1/2+ (l = 0) запрещена.2.4.27. Как направлены спины кварков в Λ и Σ0 -гиперонах?Обе частицы имеют один и тот же кварковый состав uds и входят в октетлегчайших барионов с J P = 1/2+ . Λ-гиперон имеет изоспин равный нулю, тоесть изоспиновая волновая функция антисимметрична к перестановке имеющих изоспин кварков u и d.
Поэтому спиновая волновая функция Λ такжеобязана быть антисимметричной к перестановке u- и d-кварков, откуда следует,что спины этих кварков в Λ антипараллельны, а направление спина s-кваркапроизвольно, например Λ = u↑ d↓ s↓ .Σ0 -гиперон — частица с изоспином 1, т.
е. изоспиновая волновая функциясимметрична к перестановке несущих изоспин кварков u и d. Поэтому симметричной к такой перестановке будет и спиновая функция. Это означает, чтоспины u- и d-кварка в Σ0 параллельны, а спин s-кварка направлен в противоположную сторону: Σ0 = u↑ d↑ s↓ .2.4.28. Σ0 -гиперон распадается следующим образом: Σ0 → Λ + γ .Как меняются кварковые состояния при этом распаде? Определить типи мультипольность испущенного фотона. Как направлен спин Λ, еслиспин Σ0 направлен вверх?Σ0 и Λ имеют одинаковый кварковый состав uds.
Спины кварков в этихчастицах направлены следующим образом (смотри предыдущую задачу):Σ0 = u↑ d↑ s↓ , Λ = u↑ d↓ s↓ . Отсюда следует, что при распаде Σ0 с излучением фотона «переворачивается» один из кварков (в данном примере d-кварк);направление его спина меняется на противоположное. Спин-четность Σ0 равны 1/2+ . Таковы же и спин-четность Λ. Откуда спин-четность излученногофотона 1+ , то есть излучается M1-фотон. Если до распада спин Σ0 былнаправлен вверх, то спин Λ будет направлен вниз.2.4.29.
Показать, что без введения квантового числа «цвет», принимающего три значения, кварковая структура Δ++ , Δ− , Ω− противоречит принципу Паули.Указанные частицы имеют кварковый состав Δ++ − (uuu), Δ− − (ddd),Ω − (sss). Эти частицы имеют J P = 3/2+ . Орбитальный момент относительного движения кварков в них равен нулю. Кварки являются фермионамии имеют спин 1/2. Для них возможны только две проекции +1/2 и −1/2.Таким образом, для того, чтобы образовать состояние 3/2+ , все три кварка,обладающие одним ароматом, должны иметь одинаковые проекции спинов. Согласно принципу Паули два фермиона не могут находиться в одном состоянии(иметь одинаковые квантовые числа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
