Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Чтобы удовлетворить принципу Паули,необходимо ввести для кварков новое квантовое число. Его условное название−208Гл. 2. Задачи с решениями«цвет». Цвет должен иметь три разных значения для трех кварков, у которыхостальные квантовые числа совпадают. Квантовое число «цвет» имеет тризначения (например, называемые красным, синим и зеленым).2.4.30.
Нуклон это трехкварковая система с кварками u и dв определенных квантовых состояниях. В протоне доминирует u-кварк,в нейтроне — d-кварк. Строение протона p ≡ u↑ u↑ d↓ , нейтрона —n ≡ u↓ d↑ d↑ , причем кварки имеют нулевые орбитальные моменты количества движения (см. задачу 2.4.25).
Существуют ядерные трехнуклонные системы, аналогичные нуклонным трехкварковым системам. Этоядра 32 He ≡ ppn и 31 H ≡ pnn, находящиеся в основном состоянии. Сравните квантовые характеристики нуклонов в 32 He и 31 H с квантовымихарактеристиками кварков в нуклонах.Волновая функция трехкварковой системы, построенной из кварков u и d,может быть представлена в виде произведения четырех функций — цветовой,пространственной, спиновой и изоспиновой (см. (2.4.9)):Ψ(qqq) = Ψcolor · Ψspace · Ψspin · Ψisospin .(2.4.11)Мы видели, решая задачу 2.4.25, что требование антисиметрии такой функциив целом к перестановке любых двух кварков (обобщенный принцип Паули)приводит при нулевых орбитальных моментах кварков к параллельным спинамu-кварков в протоне (p ≡ u↑ u↑ d↓ ) и параллелным спинам d-кварков в нейтроне(n ≡ u↓ d↑ d↑ ).В волновой функции Ψ(N N N ) трехнуклонных систем (N = p или n)отсутствует цветовая функция Ψcolor .
Поэтому волновая функция таких системимеет видΨ(N N N ) = Ψspace · Ψspin · Ψisospin(2.4.12)и должна быть антисимметричной в целом к перестановке любой пары нуклонов.В основных состояниях 32 He и 31 H нуклоны находятся на s-орбитах (ихорбитальные моменты нулевые). Поэтому Ψspace симметрична (четна), и следовательно из двух оставшихся функций Ψspin и Ψisospin одна должна бытьсимметричной, а другая — антисимметричной к перестановке пары нуклонов.Переставим нуклоны одного типа (например, протоны в 32 He).
К такой перестановке Ψisospin симметрична. Поэтому к этой перестановке обязана бытьнесимметричной Ψspin . Несимметрично спиновое состояние двух нуклонов с антипараллельными (↑↓) спинами. Таким образом, для трехнуклонных системтипа 32 He и 31 H одинаково направленные, т. е. параллельные (↑↑) спины нуклонов одного типа, исключены. Итак, спиновая структура нуклонов в основныхсостояниях 32 He и 31 H выглядит следующим образом:32 Heосн.
сост.= p↑ p↓ n↑ ,31 Hосн. сост.= p↑ n↓ n↑ .2.4.31. Показать, что пространственная четность позитрония(e+ e− ) равна (−1)L+1 , где L — относительный орбитальный моментe+ и e− .Пространственная четность позитрония Pe+ e− определяется как произведение внутренней четности электрона и позитрона на орбитальный множитель (−1)L . Электрон и позитрон имеют значения спинов равные 1/2 и,следовательно, являются, соответственно, фермионом и антифермионом. Про-§2.4. Адроны, кварки. Системы двух и трех частиц.209изведение внутренних четностей электрона и позитрона равно (−1), посколькувнутренняя четность фермиона противоположна внутренней четности антифермиона. Поэтому пространственная четность позитрония Pe+ e− = (−1)(−1)L == (−1)L+1 .2.4.32.
Какие значения может иметь относительный орбитальныймомент двух π 0 -мезонов, образующихся в реакции pp → 2π 0 , еслиотносительный орбитальный момент pp равен Lpp ?Относительный орбитальный момент двух π 0 -мезонов Lππ определимиз законов сохранения моментаколичестваL lдвижения и четности. Получаем соотношение pp pp −1 pp = pπ0 pπ0 −1 ππ , где pp , pp , pπ0 — внутренние четности протона, антипротона и π 0 -мезона. Внутренние четности про0тонаpp =L +1, антипротона ppL = −1, π -мезона pπ0 = −1.
Получаем, что−1 −1 pp = −1 −1 −1 ππ , т. е. Lππ = Lpp ± 1.2.4.33. Показать, что зарядовые четностии J/Ψ(1S) равны соответственно +1 и −1.мезоновηc (1S)Зарядовая четность системы фермион-антифермион C = (−1)L (−1)J , гдеL — относительный орбитальный момент, а J — полный момент (спин) системы. Мезоны ηc (1S) и J/Ψ(1S) имеют одинаковый кварковый состав (ccкварки). Эти кварки в рассматриваемых мезонах имеют нулевые относительныеорбитальные моменты (состояние 1S ), но спин ηc (1S) равен 0, а спин J/Ψ(1S)равен 1. Поэтому Cηc = (−1)0 (−1)0 = +1, а CJ/Ψ = (−1)0 (−1)1 = −1.2.4.34.
Покажите, что зарядовая четность нейтрального пиона положительна.Используем то обстоятельство, что данный пион распадается, как правило,с испусканием двух фотонов, имеющих отрицательную четность (π 0 → 2γ),и то, что в электромагнитном взаимодействии C -четность сохраняется. Имеем |γ · C |γ = − |γ · − |γ = |γ · |γ = + π 0 . π 0 = CCОткуда и получаем для зарядовой четности π 0 значение +1.2.4.35.
Покажите, что в системе пионов с нулевым относительныморбитальным моментом двухпионная структура π + π − имеет комбинированную четность CP = +1, а трехпионная структура π + π 0 π − —комбинированную четность CP = −1.Пространственные четности рассматриваемых систем следующие: L=0P (π + π − ) = pπ pπ −1= (−1)(−1)(+1) = +1. L=0+ 0 −= (−1)(−1)(−1)(+1) = −1.P (π π π ) = pπ pπ pπ −1Обе системы истинно нейтральные, т. е. наделены опредленными зарядовымичетностями C . Следовательно эти системы наделены и определенными CP четностями. Найдем их, подвергая эти системы CP -преобразованию: 1) π + π − = C π + π − = π − π + = π + π − . P π + π − = C(+C P π + π 0 π − = C(− 1)π + π 0 π − = −C π + π 0 π − = −π − π 0 π + = −π + π 0 π − .C210Гл. 2. Задачи с решениямиОтсюда получаем CP (π + π − ) = +1, CP (π + π 0 π − ) = −1. Сделаем пояснение.Последние равенствав каждойизсерийпреобразова вышенаписанных двух ний, а именно π − π + = π + π − и π − π 0 π + = π + π 0 π − — это следствиетого, что системы π + π − и π + π 0 π − являются бозе-симметричными и их волновые функции не меняются при перестановке частиц, в данном случае π + и π −(следует помнить, что пионы образуют изоспиновый триплет, т.
е. являютсяодной и той же частицей, различным образом ориентированной в зарядовомпространстве).Для двухпионной системы (π + π − ) к ответу можно прийти еще двумяспособами: π + π − = π − π + . Для получе P π + π − = C1) Выше мы уже имели C − +ния зарядовой четности C нужно от π πвернуться к π + π − , т.
е.переставить π − и π + . Мы уже знаем (см. задачу 2.4.17), что перестановка бесспиновых частиц эквивалентна операции пространственной инверсии для функции их относительного движения, и сама этафункция при относительном орбитальном моменте частиц L = 0 является четной,знак при этой перестановке. Итак, име т. е. не меняетем π − π + L=0 = π + π − L=0 . Итак, в данном случае (L = 0) получаем π + π − = π − π + = π + π − , т. е. CP π + π − P π + π −C=C= +1.L=0L=02) Благодаря бозе-симметрии полная волновая функция системы π + π −должна быть симметричной к перестановке частиц.
Так как спина у ча с последующей операцией P .стиц нет, то это эквивалентно операции CТаким образом, сразу получаем CP (π + π − ) = +1. Это последнее рассуждение показывает, что комбинированная четность двухпионной системывсегда положитедьна (независимо от L).2.4.36. Чему равна зарядовая четность системы π + π − в состояниис относительным орбитальным моментом L = 1.В предыдущей задаче показано, что для двухпионной системы всегдаCP = +1. Поскольку пространственная четность такой системы при L = 1 отрицательна (pπ pπ (−1)L=1 = (−1)(−1)(−1) = −1), получаем и отрицательнуюзарядовую четность рассматриваемой системы: C(π + π − )L=1 = −1.2.4.37. Могут ли протону отвечать следующие, не противоречащие принципу Паули цвето-ароматовые кварковые структуры uк uз dз ,uс uк dк , uк uз dк ?Нет, существует только одно протонное состояние (все протоны тождественны, неразличимы).
Квантовое число «цвет» должно быть введено так, чтобыне увеличивать число наблюдаемых состояний. Правильно симметризованнаяцвето-аромато-спиновая волновая функция протона имеет следующий вид:1 ↑ ↑ ↓|p =uк uз dc + u↑з u↑c d↓к + u↑c u↑к d↓з − u↑з u↑к d↓c − u↑к u↑c d↓з − u↑c u↑з d↓к .6Стрелочное обозначение ↑↑ относится к кваркам с параллельными спинами,↑↓ — к кваркам с антипараллельными спинами.2.4.38. Показать, что изоспин дейтрона нулевой.Используем обобщенный принцип Паули (см. задачу 2.4.18). Волновуюфункцию дейтрона Ψ(2 H) можно представить в виде произведения трех функ-§2.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
