Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Поэтому электрические квадрупольные моменты протона и нейтрона должны быть равны нулю. Отличные отнуля электрические квадрупольные моменты могут быть у адронов, в которыхкварки имеют l = 0.2.4.16. Покажите, что реакция π − + d → n + n + π 0 не может идтидля покоящихся пионов.§2.4. Адроны, кварки. Системы двух и трех частиц.201Так как Jd = 1 и рассматривается захват пиона в s-состоянии, в реакции будут участвовать состояния с J = 1 в начале и конце. Посколькуэнерговыделение Q около 1 МэВ, конечное состояние (nnπ 0 ) должно бытьs-состоянием. Следовательно, два нейтрона должны находиться в триплетномспиновом состоянии (↑↑), что запрещено принципом Паули.2.4.17. Показать, что система двух α-частиц может быть тольков состояниях с J P = 0+ , 2+ , 4+ , . . . .Определим полную четность двух α-частиц.
Она дается выражениемPαα = pα pα (−1)L , где pα — внутренняя четность α-частицы, а L — относительный орбитальный момент двух α-частиц. Так как pα = +1, то Pααопределяется состоянием относительного орбитального движения α-частиц,т. е. пространственной частью Ψαα волновой функции системы двух α-частиц,зависящей от их координат r1 и r2 . Ψαα может быть записана в виде Ψαα = Ψ r1 , r2 = ψ r1 · ψ r2 .Запись Ψαα в виде произведения волновых функций отдельных α-частиц(факторизованная запись) заведомо справедлива для невзаимодействующихα-частиц. Она пригодна и для нахождения четности системы двух взаимодействующих частиц, если речь идет о взаимодействии, сохраняющем четность.Действительно, пусть частицы взаимодействуют и разлетаются.
На большомрасстоянии они уже не взаимодействуют, и их волновая функция факторизуется. Поскольку четность системы при этом не изменилась, для ее нахожденияможет быть использован факторизованный вид волновой функции. ×·В системе центра инерции Ψαα можно переписать в виде Ψαα = Φ(R) — функция, описывающая движение центра инерции,× ϕ(r), где Φ(R)а ϕ(r) — функция, описывающая относительное движение α-частиц. Коорди = 1 r1 + r2 , а относительная координата r = r1 − r2 .ната центра инерции R2α-частицы являются бозонами.к перестановке Поэтому Ψαα симметрична α-частиц, т.
е. должно быть ψ r1 · ψ r2 = ψ r2 · ψ r1 , или в системе центраинерции · ϕ(r1 − r2 ) = Φ(R) · ϕ(r2 − r1 ), т. е. ϕ r1 − r2 = ϕ r2 − r1 .Φ(R)Это последнее равенство эквивалентно соотношению ϕ(r) = ϕ(−r), означающему, что перестановка двух α-частиц (и вообще тождественных бесспиновыхчастиц) сводится к операции пространственной инверсии для функции ихотносительного движения, и сама эта функция, как и функция двух α-частицв целом, является четной. Таким образом,Pαα = pα pα (−1)L = (−1)L = +1.Откуда получаем, что L четно и, поскольку спин α-частицы нулевой, дляполного момента и четности двух α-частиц (и других двух тождественныхбозонов с нулевым спином) окончательно имеемPJαα= 0+ , 2+ , 4+ , .
. .(2.4.5)2.4.18. Чему равна четность системы двух протонов?Протоны это частицы, наделенные спином J = 1/2, изоспином I = 1/2и положительной внутренней четностью. Поэтому волновая функция системы двух протонов Ψpp должна содержать наряду с функцией, зависящей202Гл. 2. Задачи с решениямиот пространственных координат этих протонов Ψspace r1 , r2 , также функцииих спинового Ψspin J1 , J2 и изоспинового Ψisospin I1 , I2 состояний:Ψpp = Ψspin J1 , J2 · Ψisospin I1 , I2 · Ψspace r1 , r2 .(2.4.6)Протоны, будучи фермионами, подчиняются принципу Паули, и волноваяфункция Ψpp должна быть антисимметричной (менять знак) при перестановкепротонов.
В том случае, когда состояние фермионов, помимо пространственныхкоординат, описывается и другими квантовыми числами (в нашем примере —спином и изоспином), требование антисимметрии к перестановке относитсяк волновой функции в целом, хотя отдельные составляющие этой функции(спиновая, изоспиновая, пространственная) могут быть как симметричными,т. е.
четными к перестановке пары тождественных фермионов, так и антисимметричными, т. е. нечетными. В этом состоит суть так называемого обобщенного принципа Паули. Мы уже знаем (см. предыдущуюзадачу), что пространственная волновая функция системы Ψspace r1 , r2 двух тождественных частицчетна, если их относительный орбитальный момент четен: L = 0, 2, 4, . . .,и нечетна, если этот момент нечетен (L = 1, 3, 5, .
. .). Четность Ψspin J1 , J2и Ψisospin I1 , I2 при J = I = 1/2 определяется взаимной ориентацией спиновыхи изоспиновых векторов. Если эти векторы параллельны (↑↑), то суммарныйспин (изоспин) равен 1 и перестановка частиц не меняет этого спинового(изоспинового) состояния, т. е. такое состояние симметрично к перестановкечастиц или четно по спину (изоспину). Если же спиновые (изоспиновые)векторы антипараллельны (↑↓), то суммарный спин (изоспин) равен 0 и такоесостояние антисимметрично к перестановке частиц, т.
е. нечетно. Сказанноерезюмируем следующим списком: Ψspin ↑↑ и Ψisospin ↑↑ симметричны (четны), Ψspin ↑↓ и Ψisospin ↑↓ антисимметричны (нечетны),(2.4.7)Ψspace r1 , r2 при L = 0, 2, 4, . . . симметрична (четна),а при L = 1, 3, 5, . . . несимметрична (нечетна). В рассматриваемом случае (два протона) имеем только Ψisospin ↑↑ , т. е.четнуюфункция может быть либо четной изоспиновую функцию. СпиноваяΨspin ↑↑ , либо нечетной Ψspin ↑↓ .
Полная волновая функция двух протоновобязана быть антисимметричной (нечетной). Поэтому возможны следующиедва варианта состояний системы двух протонов: спиновое состояние четно,пространственное нечетно, либо наоборот, т. е. 1,3,5,...Ψspin ↑↑ , L = 1, 3, 5, . . . и полная четность Ppp = −1= −1, 0,2,4,...Ψspin ↑↓ , L = 0, 2, 4, . .
. и полная четность Ppp = −1= +1.Те же выводы справедливы и для системы двух нейтронов.2.4.19. Чему равна четность системы двух u-кварков?Решение аналогично решению для системы двух протонов (см. предыдущую задачу). Таким образом, если спины кварков параллельны (↑↑), т. е. суммарный спин 1 (триплетное состояние), то четность системы отрицательна.Если спины кварков антипараллельны (↑↓), то суммарный спин нулевой, и четность системы положительна.§2.4. Адроны, кварки. Системы двух и трех частиц.2032.4.20. Имеет место следующий распад ρ0 -мезона: ρ0 → π + π − ,идущий по сильному взаимодействию.
В то же время отсутствуетраспад ρ0 → 2π 0 . Почему?Спин ρ0 равен 1, а четность его отрицательна, т. е. JρPo = 1− . У π 0 приотрицательной четности нулевой спин: JπPo = 0− . Пространственная волноваяфункция системы двух π 0 имеет тот же вид, что и системы двух α-частиц(см. задачу 2.4.17). И в том и другом случае это системы двух тождественныхбесспиновых бозонов. Таким образом, два π 0 могут быть лишь в состоянияхс четным относительным орбитальным моментом, т. е. в состояниях с J2Pπo == 0+ , 2+ , 4+ , .
. .. Очевидно, ρ0 , имея JρPo = 1− , не может распасться на 2π 0 ,не нарушив законы сохранения углового момента и четности.Если же говорить о распаде ρ0 → π + π − , то он возможен для нетождественных пионов при их относительном орбитальном моменте L = 1. Этонепосредственно следует из сохранения момента количества движения в этом или 1 = 0 + 0 + L.распаде: JρPo = Jπ+ + Jπ− + L2.4.21. Захват пиона в реакции π − + d → n + n (здесь d — дейтрон,т.
е. ядро 21 H) происходит с 1s-орбиты дейтронного атома. Определитьвнутреннюю четность π − -мезона.Реакция идет по сильному взаимодействию. Для получения ответа используем законы сохранения четности и момента количества движения. Законсохранения четности для данной реакции выглядит следующим образом: L Lpπ · pd −1 πd = pn · pn −1 nn .Здесь внутренние четности пиона, дейтрона и нейтрона — pπ = −1, pd = +1,pn = +1, а Lπd и Lnn — относительные орбитальные моменты частиц в начальном и конечном состояниях. Поскольку захват пиона дейтроном происходитс 1s-орбиты дейтронного атома, то Lπd = 0, и вышенаписанное равенствосводится к соотношению: Lpπ = −1 nn .(2.4.8)Запишем закон сохранения момента количества движения для рассматриваемой реакции: πd = Jn + Jn + L nn .Jπ + Jd + LСпины участвующих частиц следующие: Jπ = 0, Jd = 1, Jn = 1/2.
Поэтомувышенаписанное уравнение для моментов количества движения принимаетвид:0 + 1 + 0 = 1 + 1 + L nn .22Спины конечных нейтронов могут быть параллельны, либо антипараллельны,11т. е. + = 1(↑↑) или 0(↑↓). Если нейтронные спины антипараллельны (↑↓),22то должно быть Lnn = 0, 2, 4, . . . (см.
задачу 2.4.18), и это будет противоречить закону сохранения моментов количества движения в данной реакции.Таким образом, вариант антипараллельных нейтронных спинов (↑↓) отпадает.Если спины нейтронов параллельны (↑↑), то должно быть Lnn = 1, 3, 5, . . .(вновь см. задачу 2.4.18). Значение Lnn = 1 удовлетворяет закону сохранения L =1моментов количества движения, и из (2.4.8) получаем pπ = −1 nn = −1.2.4.22. Какие ограничения накладывает распадная мода K 0 → 2π 0на спин и четность каона?204Гл. 2. Задачи с решениямиКонечное состояние рассматриваемого распада это состояние двух бесспиновых тождественных бозонов.
Из решения задач 2.4.17 и 2.4.20 мы уже знаем,что спин такого состояния может быть только четным (Jπ0 π0 = 0, 2, 4, . . .).Поэтому спин K 0 должен быть также четным. Что касается четности K 0 ,то рассматриваемый распад ее не ограничивает, поскольку идет по слабомувзаимодействию, не сохраняющему четность.2.4.23. Какие из приведенных парных комбинаций частиц могутсуществовать в состояниях с изоспином I = 1: а) π 0 π 0 , б) π + π − ,в) π + π + , г) Λπ 0 ?а) Комбинация π 0 π 0 в силу Бозе-симметрии может быть только в состояниях с I = 0 или 2.
Покажем это, используя так называемую таблицу Слэтераи рассматривая общий случай двух тождественных бозонов с изоспином 1(пионы имеют именно такой изоспин). Частица с таким изоспином может иметьпроекции изоспина I3 = 0, ±1. При векторном сложении изоспинов частицих проекции суммируются. Составим таблицу (Слэтера) для системы из двухтождественных частиц с изоспиномв ней все возможные значения 1, указывая суммарной проекции изоспина I3 1 + I3 2 : PP PPP I3 2I3 1PP−10−1−2−10−10+1+10+1+2+10Учтем, что рассматриваемые частицы тождественныВвиду (неразличимы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
