Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 37
Текст из файла (страница 37)
. . c2 — энергия реакции, а последнееслагаемое в скобках учитывается в релятивистском приближении. Итак, поскольку в данном случае |Q| = 2mp c2 , получаемнерелятивистское приближение: mTγ min = |Q| 1 + A = 2mp c2 = 1877 МэВ,mBрелятивистское: mTγ min = |Q| 1 + A +mB|Q|2= 2mp c2mB c21+2mp c22mp c2= 3754 МэВ.Таким образом, релятивистская «поправка» удваивает порог.2.2.14. Определить пороговое значение энергии γ -кванта в реакциифоторождения π 0 -мезона на протоне: γ + p → p + π 0 . Масса π 0 -мезонаmπ0 c2 = 134,98 МэВ.Используем формулу (2.2.2):Tγmin=22mp +mπ c4 − mp c42mp c2≈22 938,3 + 135 − 938,32 · 938,3МэВ ≈ 144,6 МэВ.180Гл. 2. Задачи с решениями2.2.15. Определить пороговое значение энергии γ -кванта в реакциирождения π − -мезона: γ + n → p + π − .
Масса π − -мезона mπ− c2 == 139,57 МэВ.Энергия реакции Q = mn c2 − mp c2 − mπ− c2 = (939,57 − 938,27 −− 139,57) МэВ = −138,27 МэВ. Используем далее формулу (2.2.3): |Q|138,27МэВ = 148,44 МэВ.Eпорог = Tγ min = |Q| 1 += 138,27 1 +22 · 939,572mn c2.2.16. Определить кинетическую энергию пионов, отвечающихвозбуждению максимума Δ-резонанса в реакциях π ± + p → Δ0или Δ++ . Протон выполняет роль мишени, т. е.
покоится.mπ± c2 = 139,57 МэВ.Решение задачи сводится к нахождению пороговой кинетической энергиипионов, отвечающей возбуждению Δ-резонанса в максимуме, т. е. при энергииmΔ c2 = 1232 МэВ. Используем формулу (2.2.2):22 m2Δ c4 − mπ + mp c4(1232)2 − 140 + 938Tπ min =≈МэВ ≈ 190 МэВ.22mp c2 · 9382.2.17. Фотон обычно рождает e− e+ -пару в кулоновском полеядра атома.
В качестве минимальной (пороговой) энергии фотонав этом процессе принято указывать энергию 2me c2 ≈ 2 · 0,511 МэВ == 1,022 МэВ. Однако часть энергии фотона в силу сохранения импульса передается ядру, что делает пороговую энергию > 2me c2 . Оценитьпоправку к величине 2me c2 за счет отдачи ядра. Считать, что ядроимеет массовое число A = 50.Рождение e− e+ -пары происходит в реакции γ + ядро → e− + e+ + ядро.Рассчитываем пороговую энергию, используя формулу (2.2.3), в которой Q == −2me c2 : 2me c2Eγ порог = Tγ min = 2me c2 1 +≈2Mя c21,022≈ 2me c2 1 +≈ 2me c2 (1 + 10−5 ).2 · 50 · 939Таким образом, отдача ядра увеличивает пороговую энергию (2me c2 ) всего лишь на 10−5 , и поэтому этой незначительной добавкой пренебрегают.2.2.18.
Найти пороговую энергию рождения фотоном e− e+ -парыв кулоновском поле электрона.Рождение e− e+ -пары происходит в реакции γ + e− → e− + e+ + e− .Рассчитываем пороговую энергию, используя формулу (2.2.3), в которойQ = −2me c2 : 2me c2Eγ порог = Tγ min = 2me c2 1 += 4me c2 ≈ 2,044 МэВ.22me c2.2.19. Электрон сталкивается с атомным электроном, Какова пороговая энергия рождения e− e+ -пары в таком столкновении?§2.2. Релятивистская кинематика частиц181Рождение e− e+ -пары происходит в реакции e− + e− → e− + e− + e− + e+ .Рассчитываем пороговую энергию, используя формулу (2.2.2):22 4me c4 − 2me c4Te min == 6me c2 ≈ 3,066 МэВ.22me c2.2.20.
Реакция π − + p → n + J/ψ протекает в районе порога. Протон покоится. Определить скорости образующихся в реакции частиц.В районе (точке) порога продукты реакции, наделенные массой, двигаются неразделенными с одинаковой скоростью, равной скорости центра масс.Направление движения совпадает с направлением движения частицы-снарядаэнергию, используя(π − ). Находим пороговую формулу (2.2.3):Q = mπ + mp − mn − mJ/ψ c2 ≈≈ (139,6 + 938,3 − 939,6 − 3097) МэВ ≈ −2959 МэВ. m|Q|Tπ min = |Q| 1 + π +≈2mp2mp c139,62959≈ 2959 1 +МэВ ≈ 8066 МэВ.+938,32 · 938,3Доля пороговоймасс, составляет% на движение центра энергии, идущаяmπ|Q|mπ|Q|1+++≈ 0,63.mpmp2mp c22mp c2 Кинетическая энергия центра масс Tц.м. = Tπ min · 0,63 = 8066 ×·× 0,63 МэВ = 5107 МэВ.
Полная энергия центра массEц.м. = Tц.м. + mn c2 + mJ/ψ c2 = (5107 + 939,6 + 3097) МэВ = 9143,6 МэВ.Энергия покоя центра масс mц.м. c2 = mn c2 + mJ/ψ c2 = (939,6 ++ 3097) МэВ = 4036,6 МэВ.Для скорости центра масс# и конечных частиц#получаем: 4036,6 22 2mц.м. cvц.м. = vn = vJ/ψ = c 1 −≈c 1−≈ 0,9 c.9143,6Eц.м.2.2.21. Какова должна быть минимальная кинетическая энергия протонов в ускорителе на встречных протон-протонных пучкахи с неподвижной (например, водородной) мишенью для генерациинейтральных квантов слабого поля?Рассматривается реакция p + p → p + p + Z , где нейтральный квантслабого поля Z -бозон имеет mZ c2 = |Q| ≈ 91,2 ГэВ. В случае pp-коллайдера,т. е.
в системе центра инерции (СЦИ) имеем СЦИ|Q|91,2Tp min ==ГэВ = 45,6 ГэВ.22В ускорителе с неподвижной мишенью, т. е. в лабораторной системе координат (ЛСК), используя формулу (2.2.3), имеем ЛСКm|Q|Tp min = |Q| 1 + p +≈mp2mp c291,2≈ 91,2 1 + 1 +ГэВ ≈ 4434 ГэВ = 4,434 TэВ.2 · 0,938182Гл. 2. Задачи с решениямиК последнему результату можно прийти и применяя формулу (1.2.22), связывающую кинетические энергии частиц T и T в эквивалентных ускорителяхсоответственно на встречных пучках (СЦИ) и с неподвижной мишенью (ЛСК):2T 2T =T+2mc.(2.2.4)2mcВ нашем случае T = 45,6 ГэВ и mc2 ≡ mp c2 ≈ 0,938 ГэВ.
Поэтому получаем2 · 45,6 45,6 + 2 · 0,938 ГэВ ≈ 4,434 ТэВ.T =0,9382.2.22. На большом адронном коллайдере в ЦЕРНе (Швейцария)сталкиваются протоны с кинетическими энергиями 7 ТэВ. Каковаэнергия эквивалентного протонного ускорителя с одним пучком?Используем формулу (2.2.4), в которой T = 7 ТэВ и mc2 ≡ mp c2 ≈≈ 0,938 ГэВ:2·72 · 72T =≈ 105 ТэВ.7 + 2 · 0,938 · 10−3 ТэВ ≈−3−30,938 · 100,938 · 102.2.23. Если один из протонных пучков большого адронного коллайдера направить на неподвижную мишень, то частицы какой максимальной массы можно генерировать?Итак, коллайдер работает в режиме ускорителя с неподвижной мишенью.Если определить кинетическую энергию T протонов эквивалентного ускорителя на встречных пучках, то максимальная масса M рождаемой частицы находится из соотношения M c2 = 2T .
Находим T с помощью соотношения (2.2.4),пренебрегая незначительным вкладом величины 2mc2 в скобках:T ≈ОткудаM c2 = 2T ≈√2T · mc2 =T · mc2.22 · 7000 · 0,938 ГэВ ≈ 115 ГэВ.(2.2.5)2.2.24. Какова наибольшая масса частицы, которую можно генерировать на протонном ускорителе У-70 в Протвино (Россия)?Это ускоритель с неподвижной мишенью и максимальной кинетическойэнергией протонов T = 76 ГэВ. Используем формулу (2.2.5):√M c2 ≈ 2T · mc2 = 2 · 76 · 0,938 ГэВ ≈ 12 ГэВ.2.2.25. Получить формулу для расчета максимальной массы Mчастицы, которая может быть рождена на ускорителе, в котором сталкиваются разные частицы a и b, имеющие разные кинетические энергии Ta и Tb .Рассматриваем процесс a + b → частица массы M . Запишем законы сохранения энергии и импульса:Ea + Eb = M c2 + TM ,pa + pb = pM .183§2.3.
Взаимодействия частиц. Законы сохраненияЗдесь TM и pM — кинетическая энергия и импульс рожденной частицы,a и Eb ,pb — полные энергии и импульсы частиц a и b. Учитывая, чтоа Ea , p(pM c)2 + M 2 c4 и в ультрарелятивистском случае |pa + pb | ≈M c2 + TM =≈1|Ea − Eb | ≈ pM , получаем:cEa + Eb22= p2M c2 + M 2 c4 ≈ Ea − Eb + M 2 c4 .ОткудаM c2 ≈ 2Ea · Eb ≈ 2Ta · Tb .(2.2.6)2.2.26. В ускорителе HERA (Гамбург, Германия), работавшем в период 1992–2007 гг., сталкивались электроны с кинетической энергиейTe = 30 ГэВ и протоны с кинетической энергией Tp = 920 ГэВ.
Какованаибольшая масса частицы, которую можно было генерировать натаком ускорителе?Используем формулу (2.2.6):√M c2 ≈ 2 Te · Tp ≈ 2 30 · 920 ГэВ ≈ 332 ГэВ.2.2.27. Рассчитать энергию, выделяющуюся при падении на Землютела из антивещества весом в 100 тонн.Энергия выделяется за счет аннигиляции антивещества тела с равнымколичеством вещества Земли.
Таким образом, выделяется энергия E = 2mc2 ,где m = 100 тонн:E = 2mc2 = 2 · 108 г ·931,5 МэВ1,66 · 10−24 г= 1,12 · 1035 МэВ ≈ 1,8 · 1022 Дж.Здесь использованы соотношения: 1 а.е.м. = 931,5МэВc2= 1,66 · 10−24 ги 1 МэВ = 1,6 · 10−13 Дж. Выразим полученную энергию в количестве·тринитротолуола (тнт). 1 килотонна тнт = 4,2 · 1012 Дж.
Имеем E ≈ 4,3 ×× 109 кт тнт. Энергия атомной бомбы, сброшенной на Хиросиму, ≈ 20 кт тнт.Таким образом, падение 100 т антивещества на Землю энергетическиэквивалентно взрыву двухсот миллионов атомных бомб Хиросимы!§2.3. Взаимодействия частиц. Законы сохранения2.3.1. В электростатике потенциал системы ϕ является относительной величиной. Все уравнения содержат лишь изменения потенциалаи не зависят от абсолютной шкалы ϕ в любой точке пространства.Показать, что из концепции относительности электростатического потенциала следует сохранение электрического заряда.Пусть электрический заряд не сохраняется и может возникнуть или исчезнуть с помощью некого механизма.
Чтобы создать заряд q требуется работа A,которая после исчезновения заряда возвращается. Пусть заряд создан в точке,где электрический потенциал в выбранной шкале равен ϕ. Работа A не зависитот ϕ, так как по условию нет физических процессов, зависящих от абсолютной184Гл. 2. Задачи с решениямишкалы потенциала. Если переместить возникший заряд в точку с потенциалом ϕ , то изменение электрической энергии будет q(ϕ − ϕ ). Если затем зарядисчезнет, то мы вернемся к исходной физической системе с энергией, измененной на величину A − A + q(ϕ − ϕ ) = 0. Таким образом, сохранение энергиине позволяет генерировать и уничтожать заряд, если шкала электрическогопотенциала является относительной.2.3.2. Какие из перечисленных реакций возможны?1.2.3.p + p → p + p + p + p,p + p → p + p + p + π+,p + p → p + p + π− + π+,4.p + p → p + p + π0 + π+ + π+.Проверяем сохранение электрического заряда Q, а затем барионного заряда B .
Этого в данном случае достаточно, так как в реакциях нет другихчастиц, кроме адронов. Q сохраняется во всех реакциях, а B — лишь в реакциях 1 и 3.Bi = 2 и энергия реакции < 0, т. е. реакцииДля всех реакций слеваимеют порог.i2.3.3. Внутренние четности барионов не могут быть однозначнонайдены из экспериментов. Можно говорить лишь об относительныхвнутренних четностях барионов. С чем это связано?Cохранение барионного числа B означает, что барионы не могут самопроизвольно исчезать или возникать. Они могут лишь трансформироваться одинв другой. Следовательно, лишь относительные внутренние четности барионовимеют смысл.2.3.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
