Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Средняя кинетическая энергия нуклона в ядре TN ≈ 20 МэВ.Чему равна его скорость?Движение нуклона в ядре нерелятивистское. Поэтому для нахождения егоскорости используем нерелятивистскую формулу:2TN2 · 20 МэВv=c≈c≈ 0,2 c = 6 · 109 см/с.2940 МэВmN c2.2.3. Определить скорости продуктов распада покоящегося π + -мезона.π + -мезон с вероятностью 0,999877 распадается по схеме π + → μ+ + νμи с вероятностью 1, 23 · 10−4 по схеме π + → e+ + νe . Рассмотрим оба эти распада. Кинематике первого (мюонного) распада посвящена задача 1.2.3 (§ 1.2).Считаем, что νμ (как и νe ) двигается со скоростью света (полагаем массунейтрино нулевой).
Что касается μ+ , то его полная энергия Eμ = 109,8 МэВ,а кинетическая энергия Tμ = 4,1 МэВ. Учитывая, что эта энергия значительноменьше энергии покоя мюона mμ c2 = 105,7 МэВ, скорость мюона рассчитываем по нерелятивистской формуле: #vμ = c2Tμmμ c2≈ 0,28 c.§2.2. Релятивистская кинематика частиц175Использование релятивистской формулы дает#2mμ c2vμ = c 1 −≈ 0,27 c.EμРассмотрим теперь позитронный распад пиона (π + → e+ + νe ).
Используяформулы задачи 1.2.3 и то, что mπ± c2 = 139,6 МэВ, а me± c2 = 0,511 МэВ,получаем(mπ − me )2 2m2 + m2e 2c + me c2 = πc = 69,786 МэВ,2mπ2mπ(mπ − me )2 2= (mπ − me ) c2 − Te = (mπ − me ) c2 −c =2mπm2 − m2e 2= πc = 69,784 МэВ,2mπEe = Te + me c2 =Eν e#ve = c 1 −me c2Ee2= 0,999973 c.2.2.4. Показать, что γ -квант не может передать всю энергию изолированному электрону.Воспользовавшись равноправием всех инерциальных систем отсчета, запишем законы сохранения энергии и импульса в системе, где электрон покоитсяпосле поглощения фотона, т.
е. в системе, в которой до поглощения импульсe равен и противоположен импульсу фотона pγ :электрона ppe = −pγ ,2224pe c + me c + pγ c = me c2 .Очевидно, что эти соотношения одновременно соблюдаются только приpe = pγ = 0, т. е. при отсутствии фотона. Аналогично невозможны в вакуумеи процессы γ → e− + e+ и e → e + γ . Все эти процессы становятся возможными лишь при наличии еще одного заряженного объекта (атомного ядра иличастицы), которому передается часть энергии-импульса.2.2.5. На каком расстоянии интенсивность пучка мюонов с кинетической энергией T = 0,5 ГэВ, движущихся в вакууме, уменьшаетсядо половины первоначального значения?Уменьшение интенсивности пучка мюонов происходит в результате распадамюонов μ− → e− + ν e + νμ .
Число мюонов N (t), не распавшихся к моментувремени t, определяется соотношением N (t) = N (0) · exp(−t/τ ), где τ —среднее время жизни мюона, N (0) — число мюонов в начальный момент времени. Среднее время жизни покоящихся мюонов равно 2,2 · 10−6 с. В данномслучае N (t) = N (0)/2 = N (0) · exp(−t/τ ), то есть exp(−t/τ ) = 1/2, или жеt = τ ln 2. Релятивистское замедление течения времени определяется соотноt0шением t = , где t0 — время в системе, связанной с движущимся1 − v 2 /c2телом. В нашем случае получаем t = τ ln 21 − v 2 /c2.176Гл.
2. Задачи с решениямиСвязьp=между кинетическойэнергией Tиимпульсомp частицыT 2 + 2T mc2mv. Релятивистский импульс частицы p = (m —c1 − v 2 /c2оба выражения:масса покоя частицы, v — ее скорость). Приравнивая#mvT 2 + 2T mc2,c=1 − v 2 /c21 − v 2 /c2 = получаемmcm2 c2 + T 2 /c2 + 2T mv =T 2 + 2T mc2m c + T 2 /c2 + 2T m2 2и. Энергия покоя mc2 мюона около106 МэВ. Время, втечение которого интенсивность пучка мюонов уменьшитсяв 2 раза: t =τ ln 2l =v·t ==m2 c2 + T 2 /c2 + 2T mmcτ c ln 2 T 2 + 2T mc2mc2. Пробег мюона=2,2 · 10−6 c · 3 · 1010 см/с · 0, 693 ·(500 МэВ)2 + 2 · 500 МэВ · 106 МэВ106 МэВ== 2, 6 · 10 см = 2,6 км.52.2.6. Определить, в каких из приведенных ниже распадов энергетические спектры продуктов имеют дискретный, а в каких непрерывный характер.
Для дискретных спектров рассчитать кинетическиеэнергии и импульсы продуктов распада.1) π + → μ+ + νμ ; 2) n → p + e− + ν e ;3) K + → μ+ + νμ ; 4) μ+ → e+ + νe + ν μ .Массы покоя частиц в МэВ: mn c2 = 939,57; mp c2 = 938,27;mK + c2 = 493,65; mπ+ c2 = 139,66; mμ+ c2 = 105,66; me± c2 = 0,511.Для распадов с числом частиц больше двух в конечном состоянии (реакции 2 и 4) распределение энергии между ними имеет непрерывный характер.Для двухчастичных распадов типа A → B + C распределение энергийпродуктов однозначное, т.
е. их спектры дискретны (реакции 1 и 3).Реакция π + → μ+ + νμ уже обсуждалась в § 1.2 (задача 1.2.3) и в задаче 2.2.3 данного раздела и энергии конечных частиц приведены там. Прираспаде покоящегося пиона импульсы мюона и нейтрино равны по абсолютнойвеличине и направлены в противоположные стороныpμ = pν =Eν= 29,8 МэВ/c.cРеакция K + → μ+ + νμ .
Рассмотрение аналогично предыдущей реакции:Eμ =m2K + m2μ2mKEν = T ν =c2 =m2K − m2μ2mK(493,65 МэВ)2 + (105,66 МэВ)2= 258,13 МэВ;2 · 493,65 МэВc2 =(493,65 МэВ)2 − (105,66 МэВ)2= 235,52 МэВ.2 · 493,65 МэВ§2.2. Релятивистская кинематика частиц177Кинетическая энергия мюонаTμ = Eμ − mμ c2 = 258,13 МэВ − 105,66 МэВ = 152,47 МэВ.Импульсы мюона и нейтрино равны по абсолютной величине и направленыв противоположные стороныEpμ = pν = ν = 235,52 МэВ/c.c2.2.7. Кинетическая энергия π 0 -мезона равна его энергии покоя.Он распадается на два γ -кванта, энергии которых равны. Каков уголмежду направлениями движения γ -квантов?Энергии γ -квантов в лабораторной системе равны, если равны углы вылетаγ -квантов относительно направления первоначального движения пиона.Квадрат 4-импульса для π -мезона Pi2 = Eπ2 − p2π c2 = m2π c4 .
Для γ -квантовθ2Pf = (2Eγ )2 − (2pγ cos )2 c2 , где θ — угол между направлениями выле2θ=21θ1 θπ2 42 θ222 θ2 θ= 4mπ c (1 − cos ); mπ = 4mπ (1 − cos ), = 1 − cos , sin = , = ,224222 26πта γ -квантов. Так как Eγ = pγ c = mπ c2 , то Pf2 = 4m2π c4 − 4m2π c4 cos2θ=3= 60◦ .2.2.8. Определить величину суммарной кинетической энергииπ мезонов TΣπ , образующихся при распаде покоящегося K + -мезона:K + → π + + π + + π − . Массы покоя частиц: mK + = 493,65 МэВ/c2 ,mπ± = 139,66 МэВ/c2 .Полная энергия K + -мезона EK + равна его энергии покоя EK + = mK + c2 .Полная энергия трех пионов EΣπ равна сумме их кинетических энергий и энергий покоя EΣπ = TΣπ + MΣπ c2 = TΣπ + 3mπ± c2 .
Из закона сохранения энергии EK + = EΣπ , TΣπ = mK + c2 − 3mπ± c2 = (493,65 МэВ − 3 · 139,66 МэВ) == 74,67 МэВ.2.2.9. Найти кинетические энергии протона и пиона в распадеΔ-изобары. Оценить время жизни Δ-изобары по ширине ее распадаΓ = 116 ÷ 120 МэВ.Масса Δ-изобары равна 1232 МэВ. Разность масс первичной частицыи продуктов распада, т. е. сумма кинетических энергий протона и пиона равна154 МэВ.
Из законов сохранения энергии и импульсаполучаем:$Tp + Tπ = 154 МэВ, pp = pπ = Tπ2 + 2mπ c2 Tπ c.Для протона можно применить нерелятивистское приближение, однако, дляпиона оно неприменимо. Решая уравнения для импульсов частиц, получаем:pp = pπ = 227 МэВc; Tp = 27 МэВ, Tπ = 127 МэВ.Решение для кинетических энергий частиц — продуктов двухчастичныхраспадов является единственным. Однако вид спектра энергий продуктов распада зависит от среднего времени жизни распадающейся частицы. Ширинаспектральной линии Γ связана со средним временем жизни соотношениемΓ · τ = h̄. В случае распада Δ-изобары спектр кинетических энергий пионовимеет ширину 116÷120 МэВ.
Столь большое значение ширины является следствием очень малого времени жизни Δ-изобары:τ=h̄h̄c200 МэВ · 10−13 см=≈≈ 0,6 · 10−23 с.ΓΓc(116 ÷ 120) МэВ · 3 · 1010 см/с178Гл. 2. Задачи с решениями2.2.10. Возможен ли опыт по визуальному наблюдению промежуточных бозонов W ± , например, в пузырьковой, искровой, дрейфовойкамере, ядерных фотоэмульсиях или другом трековом приборе?Рассмотрим реакцию рождения W ± -бозонов p + p → W + + W − на протонантипротонном коллайдере TEVATRON (Лаборатория им.
Ферми, США)с энергией каждого пучка 1 ТэВ. Тогда W -бозоны будут рождаться с полнойэнергией E = 1 ТэВ и от точки рождения до распада пройдут расстояниеl = τ · v , где τ — время жизни W -бозона с учетом релятивистского замедлениявремениτ0τ= .1 − (v/c)2Среднее время жизни W -бозона в его собственной системе τ0 ≈ h̄/Γ,где Γ — ширина распада W -бозона, равная 2,1 ГэВ. Отсюдаτ0 ≈h̄6,6 · 10−22 МэВ · c≈≈ 3,1 · 10−25 с.Γ2,1 · 103 МэВИз релятивистского соотношения для полной энергииE= #находим скорость v = c1−m0 c2Em0 c21 − (v/c)22и τ = #имеемl = τ · v = τ0 cEm0 c21−τ01−m0 c2E(v/c)2= τ0Em0 c2.
Отсюда2(2.2.1).m c280= 0,08 и,Так как энергия покоя W -бозона m0 c2 ≈ 80 ГэВ, то 0 ≈E1000#2m0 c2пренебрегая незначительным отличием 1 −от единицы, получаемEиз (2.2.1)l = 3,1 · 10−25 с · 3 · 1010 см/с1≈ 1,2 · 10−13 см ≈ 1 Фм.0,08Таким образом, пробег промежуточного бозона до распада слишком мал(примерно в 10 раз меньше диаметра ядра), чтобы его можно было наблюдатьв любом трековом приборе.2.2.11. Какая минимальная кинетическая энергия частиц каждогоиз сталкивающихся пучков pp-коллайдера необходима для протекания−0реакций: 1) p + p → Ω + Ω− ; 2) p + p → Σ + Λ; 3) p + p → Λ + Λ?Массы покоя частиц в энергетических единицах: mp c2 = 938,27 МэВ,mΩ− c2 = 1672,43 МэВ, mΣ0 c2 = 1192,55 МэВ, mΛ c2 = 1115,63 МэВ.Для pp-коллайдера система центра инерции совпадает с лабораторнойсистемой.
Поэтому минимальная кинетическаякаждой из сталкиваю энергияm−m2pf|Q |1c2 = mp −mf c2 , гдещихся частиц будет Tmin = 0 =22 2Q0 — энергия реакции и mf — сумма масс конечных частиц. Таким образом,для вышеуказанных реакции имеем179§2.2. Релятивистская кинематика частиц −11) Tmin Ω + Ω− = [938,27 МэВ − (1672,43 МэВ + 1672,43 МэВ)] =2= 734,16 МэВ. 012) Tmin Σ + Λ = [938,27 МэВ − (1192,55 МэВ + 1115,63 МэВ)] =2= 215,82 МэВ.13) Tmin Λ + Λ = [938,27 МэВ − (1115,63 МэВ + 1115,63 МэВ)] =2= 177,36 МэВ.2.2.12. Найти порог реакции p + p → p + Σ+ + K 0 .Порог реакции A + B → C + D + . .
. рассчитывается в лабораторной системе координат (ЛСК), в которой частица A движется (снаряд), а частица Bпокоится (мишень). Используем пороговую формулу (1.2.18)22 mC + mD + . . . c4 − mA + mB c4Eпорог = TA min =(2.2.2)22mB cи массы участвующих частиц mp c2 = 938,3 МэВ, mΣ+ c2 = 1189 МэВ, mK c2 == 498 МэВ:22 mp + mΣ + mK c4 − 2mp c4Eпорог = Tp min ==2=2mp c2 2938,3 + 1189 + 498 − 2 · 938,32 · 938,3МэВ = 1796 МэВ.2.2.13. Найти порог реакции γ + p → p + p + p в нерелятивистскоми релятивистском приближениях.Для реакции A + B → C + D + . . . в этом случае удобнее использоватьальтернативную пороговую формулу (1.2.19): m|Q|,(2.2.3)Eпорог = TA min = |Q| 1 + A +mB2mB c2где Q = mA + mB c2 − mC + mD + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
