Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 31
Текст из файла (страница 31)
1. Теоретический обзорновном состоянии. Показать, что протонные распады в основноесостояние конечного ядра 104 Be не запрещены.Нуклонные распады происходят по сильным взаимодействиям, в которых должен быть выполнен закон сохранения изоспина и проекцииизоспина. При поглощении фотона из основного состояния ядра 115 Bэто ядро оказывается в состояниях с изоспином 1/2 или 3/2.Закон сохранения изоспина в распадах по протонному каналус образованием конечного ядра в основном состоянии (с изоспином I0 )выполняется для обоих изоспиновых состояний (1/2 или 3/2) исходного ядра 115 B, но не выполняется для нейтронного распада из состоянийс изоспином 3/2. Действительно, имеем:11 ∗5Bпротонный канал :→ 104 Be + p; I0 (104 Be) = 1;11= 1 + ;2211 ∗5B31= 1 + ;22нейтронный канал :→ 105 B + n; I0 (105 B) = 0;11= 0 + ,2231= 0 + .22Таким образом, нейтронный распад из возбужденных состояний ядра 115 B с изоспином 3/2 в состояния с нулевым изоспином конечногоядра (104 Be), в том числе и его основное состояние, запрещен.В заключение данного параграфа рассмотрим вопрос о форме ядерной γ -линии.
Эта γ -линия имеет вид резонансной кривой с максимумомпри энергии Er = Ei − Ef ядерного γ -перехода между начальным (i)и конечным (f ) уровнями (за вычетом незначительной энергии отдачи ядра). Форма резонансной кривой брейт-вигнеровская (см. такжерис. 1.10.7):σ(E) = σmax(Γ/2)2,(E − Er )2 + (Γ/2)2(1.10.30)где σmax — сечение в максимуме резонанса, а Γ — ширина резонанснойкривой на половине высоты (ширина резонанса).
Величина Γ связана сосредним временем жизни τ ядерного уровня, испытывающего γ -распад,соотношением Γ · τ = h̄.Брейт-вигнеровскую форму линии называют также «естественной».Она является прямым следствием временно́й эволюции ядерного состояния ψ(t) по закону радиоактивного распада (1.2.7), который после22замены N (t) = |ψ(t)| и N (0) = |ψ(0)| приводится к видуtΓt|ψ(t)|2 = |ψ(0)|2 e− τ = |ψ(0)|2 e− h̄ .(1.10.31)149§1.11. Ядерные реакцииРис. 1.10.7. Брейт-вигнеровская резонансная криваяСогласно квантовой механике, ψ(t) имеет следующий вид:ψ(t) = ψ(0)e−iErh̄ tΓiiΓ− h̄ Er − 2 t· e− 2h̄ t = ψ(0)e.(1.10.32)E−i h̄r tМножитель e— это зависящая от времени часть волновой функции стационарного состояния.
В этом множителе непосредственно укаΓзана энергия резонанса. Множитель e− 2h̄ t описывает распад (убываниесо временем) состояния.Как известно, любая функция, зависящая от времени, можетбыть с помощью Фурье-преобразования представлена в виде непрерывного спектрального разложения, т. е. разложения по частотам(энергиям) с определенными весами, зависящими от вида функции. Можно показать прямым вычислением, используя формализмФурье-преобразования, что брейт-вигнеровская форма резонанснойγ -линии просто отражает спектральный (т. е.
энергетический) составволновой функции ψ(t) ядерного состояния, испытывающего распадпо закону (1.10.32).Заметим, что обычно величины Γ, τ и h̄ принято связывать знакомприблизительного равенства: Γ · τ ≈ h̄. Выражения (1.10.30) и (1.10.31)доказывают, что на самом деле нужно использовать знак точногоравенства, т. е. справедлива запись Γ · τ = h̄.В заключение отметим, что брейт-вигнеровская форма кривой характерна не только для γ -линии, но также и для любого ядерногорезонанса, возбуждаемого в реакциях с любыми частицами и/илииспытывающего распад с вылетом из ядра любых частиц.§1.11.
Ядерные реакции1.11.1. Законы сохранения в ядерных реакциях. Общие принципы использования законов сохранения в реакциях были рассмотрены в § 1.2. Там же были получены формулы (1.2.18) и (1.2.19) для150Гл. 1. Теоретический обзоррасчета пороговой (т. е. минимальной) кинетической энергии падающейна неподвижную мишень частицы, при которой возможна эндотермическая реакция (реакция с увеличением массы покоя частиц в конечном (f ) состоянии, когда энергия реакции Q = ( mi c2 − mf c2 ) < 0).Мы запишем эти формулы, представляя ядерную реакцию в виде A (снаряд) + B(мишень) → C + D + .
. .:⎧(MC + MD + . . .)2 c4 − (MA + MB )2 c4⎪⎪,⎨2MB c2 Eпорог = (TA )min =(1.11.1)⎪M|Q|⎪⎩ |Q| 1 + A +.2MB2MB cВ нижней формуле два последних слагаемых в скобках — это долякинетической энергии (TA )min , идущая на движение центра инерциисистемы. В нерелятивистском приближении доля кинетической энергии, идущая на движение центра инерции, равна|Q|2MA.
ДобавкаMB2MB c2в формуле (1.11.1) связана с использованием релятивистских соотношений для энергии и импульса. Она существенна при высоких энергиях сталкивающихся частиц.В ядерных реакциях обычно |Q| 2mB c2 , и для порога реакцииобычно используют формулуMEпорог ≈ |Q| 1 + A .(1.11.2)MBПри этом число нуклонов каждого типа в процессе реакции сохраняется, и выражение для вычисления |Q| через избытки масс Δ участвующих ядер имеет видQ = (ΔA + ΔB ) − (ΔC + ΔD + . . .).(1.11.3)Задача 1.11.1. Определить порог реакции α + α → 73 Li + p.
Определить долю кинетической энергии налетающей частицы, идущуюна движение центра инерции. Оценить релятивистскую добавку.Находим |Q| реакции (формула (1.11.3):|Q| = (ΔLi +Δp )− 2Δα = |2 · 2,425 − 14,908 − 7,289| МэВ = 17,347 МэВ.Далее используем формулу (1.11.2):MEпорог ≈ |Q| 1 + α = 34,694 МэВ.MαПоловина энергии порога реакции идет на движение центра инерции. Находим релятивистскую добавку, учитывая, чтоMα c2 = 3727,379 МэВ:|Q|2(17,347)2=МэВ ≈ 0,04 МэВ.2 · 3727,3792Mα c2Видно, что эта добавка мала (ее доля ≈ 10−3 ) и ею можно пренебречь.151§1.11. Ядерные реакцииЗадача 1.11.2. Определить минимальную энергию γ -квантовв реакциях фоторасщепления ядра 12 C:γ + 12 C → 11 C + n;(a)γ+ C→(б)1211B + p.В данном случае также удобно использовать нижнюю формулув (1.11.1).
Имеем MA = Mγ = 0, MB = M (12 C). Для частиц с массой,равной нулю, пороговая энергия ≈ |Q|, причем пороговые кинетическиеи полные энергии совпадают, поэтому(Tγ )min = (Eγ )min ≈ |Q|.Итак, имеем (а) : (Eγ )min ≈ Δ 11 C + Δn − Δ 12 C == (10,650 + 8,071 − 0) МэВ = 18,721 МэВ. (б) : (Eγ )min ≈ Δ 11 B + Δp − Δ 12 C == (8,668 + 7,289 − 0) МэВ = 15,957 МэВ.Ядерные реакции часто могут протекать по разным каналам реакции.
Фотоядерные реакции, рассмотренные в этой задаче, при кинетических энергиях γ -квантов выше, чем 18,721 МэВ, идут как поканалу (a), так и по каналу (б).Законы сохранения энергии, импульса, момента количества движения, барионного и электрического зарядов выполняются во всехреакциях. Закон сохранения барионного заряда проявляется в ядерныхреакциях в виде закона сохранения числа нуклонов, что и было использовано в решении задач 1.11.1 и 1.11.2 при переходе от полныхмасс M к их избыткам Δ = M − A.Важную роль в ядерных реакциях играют законы сохранения углового момента (момента количества движения) и пространственной(P ) четности. Сохранение углового момента в реакции a + A → B + bтребует следующего равенства:Ja + JA + laA = JB + Jb + lbB ,(1.11.4)где J — спины участвующих частиц и ядер, а l — их относительныеорбитальные моменты количества движения.
Если налетающей частицей является фотон (a ≡ γ ), то в левой части соотношения (1.11.4)слагаемое относительного углового момента lγA отсутствует, так какэтот момент автоматически учитывается мультипольностью фотона,т. е. входит в состав Jγ . Это же справедливо и для правой частисоотношения (1.11.4), если реакция завершается вылетом фотона.152Гл. 1. Теоретический обзорПространственная четность сохраняется в ядерных реакциях, протекающих по сильным или электромагнитным взаимодействиям. Сохранение P -четности в реакции A(a, b)B требует выполнения равенстваpa pA (−1)laA = pB pb (−1)lbB ,(1.11.5)где pa,b,A,B — внутренние четности участвующих в реакции частици ядер, а (−1)laA и (−1)lbB — их орбитальные четности.В ядерных реакциях за счет слабых взаимодействий четность несохраняется.Законы сохранения момента количества движения и P -четностичасто используют вместе для получения правил отбора (правиламиотбора называют правила, определяющие возможные конечные квантовые характеристики продуктов реакции).Задача 1.11.3.
Определить возможные значения орбитальногомомента дейтрона в реакции p + 136 C → 126 C + d, если орбитальныймомент протона равен нулю, а ядра 136 C и 126 C в начале и в концереакции находятся в основном состоянии.Закон сохранения момента количества движения (1.11.4) для данной реакции имеет вид: 13 C) + lp = J( 126 C) + J(d) + ld .sp + J(6(1.11.6)Здесь sp — спин протона, и использовано то, что в силу Mp M (136 C)и Md M (126 C) относительные орбитальные моменты пар объектовв начальном и конечном состояниях lpC и ldC практически совпадаютс орбитальными моментами lp и ld протона и дейтрона.Учитывая, что в основном состоянии J P (136 C) = 1/2− , J P (126 C) == 0+ , а J P (d) = 1+ , из (1.11.6) имеем11+ 0 + = 0 + 1 + ld или lp = 0, 1, 2.22В то же время закон сохранения-четности (1.11.5) дает:0(+1)(−1)(−1) = (+1)(+1)(−1)ld .Очевидно единственным решением, удовлетворяющим обоим законам сохранения, является ld = 1.Относительные угловые моменты l, при которых в основном будет происходить реакция, зависят от импульса p налетающей частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
