Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Рассчитать кинетическую энергию α-частицы и2184конечного ядра в распаде 22286 Rn → 84 Po + 2 He.Qα = ΔM c2 = Δ(222 Rn) − Δ(218 Po) − Δ(4 He) == (16,374 − 8,358 − 2,425) МэВ = 5,591 МэВ,A−4222 − 4= 5,59МэВ = 5,49 МэВ,A22244≈ Qα = 5,59= 0,10 МэВ.A222Tα ≈ QαTPoВозникающий в этом распаде полоний-218 также распадаетсяс излучением α-частиц (период его полураспада t1/2 = 3,1 мин):218214421484 Po → 82 Pb + 2 He.
Продукт этого распада 82 Pb «перегружен» ней207208тронами (стабильными являются изотопы свинца 20682 Pb, 82 Pb, 82 Pb).214−Поэтому 82 Pb испытывает β -распад (t1/2 = 26,8 мин).Рассмотренная нами «цепочка» распадов является характерной особенностью распадов тяжелых ядер. Образовавшиеся при синтезе элементов более 10 миллиардов лет тому назад тяжелые ядра распадаются, образуя новые радиоактивные ядра.
Распады продолжаютсявплоть до образования стабильных элементов. В распадах происходитизлучение α-частиц и пар лептонов (β -распады). В α-распадах числонуклонов A в ядрах изменяется на 4, β -распады происходят без изменения A. Поэтому существует всего 4 ряда (семейства) радиоактивныхраспадов тяжелых ядер с массовыми числами A = 4n, 4n + 1, 4n + 2и 4n + 3 (табл. 1.9).Т а б л и ц а 1.9Радиоактивные ряды (семейства)AИсходное ядроt1/2 , летКонечное ядро4nTh-2321,4 · 104n + 1Np-237U-2332,1 · 101,6 · 105Bi-2094n + 2U-2384,5 · 109Pb-206U-2357,0 · 10Pb-2074n + 31068Pb-208Первичные ядра второго из семейств с A = 4n + 1 практически распались за время, прошедшее после их образования.
Распады остальныхтрех рядов являются источником радиоактивности вещества Земли.222218Рассмотренные выше распады 22688 Ra, 86 Rn, 84 Po относятся к семейству 4n + 2.Задача 1.10.2. Оценить отношение активностей отдельныхчленов радиоактивного семейства 4n + 2.Период полураспада 238 U на несколько порядков величины больше, чем периоды полураспадов всех остальных членов радиоактивного5 Н.Г.
Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов130Гл. 1. Теоретический обзорсемейства. Для всех членов семейства, например i-го, (за исключениемпервого — 238 U и последнего — стабильного изотопа 206 Pb), изменениечисла ядер связано с ростом их числа за счет распада предыдущего(i − 1) члена радиоактивного семейства и распадом ядер данного (i-го)члена:dNi= λi−1 Ni−1 − λi Ni .(1.10.4)dtЗа время, прошедшее после образования элементов, установилосьтак называемое «вековое» равновесие, когда образование и распад ядеркаждого радиоактивного изотопа в цепи распадов компенсируют другдруга. При этом активности (т. е.
числа распадов в 1 секунду) всехчленов радиоактивного семейства выравниваются:λi−1 Ni−1 = λi Ni = λi+1 Ni+1 = . . . .(1.10.5)Активность радиоактивного препарата, т. е. число распадов в секунду, которое в нем происходит, определяется не только числомраспадов в единицу времени первичного ядра, но и активностями всехполучаемых в результате распадов продуктов.
Часто эти продуктыраспадов вносят в суммарную активность значительно больший вклад,чем первичный распад.Распад с излучением ядер гелия — α-распад − возможен потому, что внутри ядер могут образовываться кластеры — системы изнескольких нуклонов с повышенной энергией связи. Наибольшей вероятностью обладает как раз образование α-кластеров, или ядер гелия,поскольку ядра гелия являются самыми легкими дважды магическими ядрами с большой удельной энергией связи.
Туннельный эффект(прохождение α-частиц под кулоновским барьером) делает возможнымиспускание таких α-кластеров, если сумма масс продуктов реакциименьше массы исходного ядра, т. е. если Qα > 0.1.10.2. β -распад. Явление β -распада состоит в том, что ядро(A, Z) самопроизвольно испускает лептоны 1-го поколения — электрон(или позитрон), электронное нейтрино (или антинейтрино), переходяпри этом в ядро с тем же массовым числом A, но с атомным номером Z ,на единицу бо́льшим или меньшим. Существует три типа β -распада —β − -распад, β + -распад и e-захват. Их схемы выглядят так:β − : (A, Z) → (A, Z + 1) + e− + ν e ,β + : (A, Z) → (A, Z − 1) + e+ + νe ,e:(A, Z) + e− → (A, Z − 1) + νe .(1.10.6)Главной особенностью β -распада является то, что он обусловлен слабым взаимодействием.
Бета-распад в основе своей процесс невнутриядерный, а внутринуклонный. В ядре распадается одиночныйнуклон. Происходящие при этом внутри ядра превращения нуклонов131§1.10. Распады нестабильных ядери энергетические условия соответствующего вида β -распада выглядяттак (массу нейтрино полагаем нулевой):β − : (n → p + e− + ν e ), M (A, Z) > M (A, Z + 1) + me ,β + : (p → n + e+ + νe ), M (A, Z) > M (A, Z − 1) + me ,e:(p + e− → n + νe ), M (A, Z) + me > M (A, Z − 1).(1.10.7)При e-захвате ядро поглощает один из электронов атомной оболочки(обычно ближайшей к нему K -оболочки), испуская нейтрино.Распад свободного нейтрона (n → p + e− + ν e ) это β − -распад.
Среднее время жизни нейтрона τ = 880,1 ± 1,1 с. Масса нейтрона больше суммы масс протона и электрона, что и определяет возможностьего спонтанного распада. Свободный протон не может испытыватьβ + -распада p → n + e+ + νe , так как протон легче нейтрона. Однаковнутри β + -активного ядра такой процесс возможен в результате взаимодействия между нуклонами.Массы электронного нейтрино νe и антинейтрино ν e меньше 2 эВ,и в дальнейших расчетах β -распадов их можно считать безмассовыми.Следует отметить, что проблема строгого равенства (или неравенства)нулю нейтринных масс представляет собой важнейшую задачу современной физики. Данные последних экспериментов по наблюдениюосцилляций нейтрино свидетельствуют в пользу незначительного отличия от нуля масс некоторых типов нейтрино.Родственными β -распаду являются процессы взаимодействия нейтрино и антинейтрино с ядрами:νe + (A, Z)→(A, Z + 1) + e− ,ν e + (A, Z)→(A, Z − 1) + e+ .
(1.10.8)Если α-распад наблюдается только в случае тяжелых ядер, тоβ -радиоактивные ядра гораздо более многочисленны и располагаютсяво всей области значений массового числа A, начиная от единицы(свободный нейтрон) и кончая массовыми числами самых тяжелыхядер.Рассмотрим баланс энергии при β -распаде. Поскольку масса нейтрино и антинейтрино либо нулевая, либо близка к нулевой, то практически β -распад разрешен при выполнении соотношений (1.10.7).
В этихсоотношениях фигурируют массы исходного и конечного ядер, лишенных электронных оболочек. В масс-спектроскопических измерениях,однако, определяются не массы ядер, а массы атомов M . Именномассы атомов или избытки масс приводятся в справочных таблицах.Массы исходного и конечного атомов связаны с массами их ядерсоотношениями5*атM (A, Z) = M (A, Z) + Zme − Ee (A, Z)/c2 ,атM (A, Z ± 1) = M (A, Z ± 1)+(Z ± 1)me −Ee (A, Z ± 1)/c , (1.10.9б)(1.10.9а)2132Гл. 1.
Теоретический обзоргде Ee (A, Z) и Ee (A, Z ± 1) — суммарные энергии связи электроновв атомах (A, Z) и (A, Z ± 1). Подставив (1.10.9) в (1.10.7), получим,что условие нестабильности ядра по отношению к β -распаду имеет видβ− :β+ :e:атM (A, Z) > ат M (A, Z + 1),атM (A, Z) > ат M (A, Z − 1) + 2me ,атM (A, Z) > ат M (A, Z − 1).(1.10.10)Заметим, что в (1.10.10) мы пренебрегли разностью энергий связиэлектронов в соседних атомах. Эти разности находятся на границеточности самых прецизионных измерений.При β + -распаде и электронном захвате в ядре происходит одини тот же процесс превращения протона в нейтрон. Поэтому оба этипроцесса могут идти для одного и того же ядра и часто конкурируютдруг с другом.
Из сравнения условий для этих двух видов распадавидно, что с энергетической точки зрения электронный захват болеевыгоден. В частности, если начальный и конечный атом удовлетворяютнеравенстваматM (A, Z − 1) + 2me > ат M (A, Z) > ат M (A, Z − 1),(1.10.11)то электронный захват разрешен, а β + -распад невозможен. Такая ситуация имеет место при превращении изотопа бериллия 74 Be в изотоплития 73 Li. В ядре 74 Be происходит электронный захват74 Be+ e− → 73 Li + νe ,(1.10.12)и невозможен позитронный распад, так как различие масс атомовв энергетической шкале составляет 0,862 МэВ, т. е.
меньше, чем2me c2 = 1,02 МэВ.Энергии β -распада, выраженные через массы атомов, и избытки(дефекты) масс ядер, имеют видQβ − = [ат M (A, Z)− ат M (A, Z + 1)]c2 = Δ(A, Z)−Δ(A, Z + 1),Qβ + = [ат M (A, Z)− ат M (A, Z − 1)− 2me ]c2 == Δ(A, Z) − Δ(A, Z − 1) − 2me c2 ,Qe = [ат M (A, Z)− ат M (A, Z − 1)]c2 = Δ(A, Z)−Δ(A, Z − 1).(1.10.13)Они заключены в интервале от 18,61 кэВ для распада трития (31 H →→ 32 He + e− + ν e ) до 13,37 МэВ для распада тяжелого изотопа бора(125 B → 126 C + e− + ν e ).Кулоновский барьер при β -распаде несуществен.
Это связано с тем,что у позитрона и у электрона массы, а следовательно, и импульсымалы. Поэтому они не могут находиться в ядре без нарушения соотношения неопределенностей.§1.10. Распады нестабильных ядер133Задача 1.10.3. Показать, что соотношение неопределенностейзапрещает электрону (позитрону) при β -распаде оставаться внутри ядра.Характерные импульсы лептонов при β -распаде таковы, что pR/h̄ 1, где p — импульс образующейся лептонной пары, а R — радиус ядра. Таким образом, имеем неравенство p · R h̄. В то жевремя, поскольку неопределенность в импульсе электрона (позитрона)Δpe p, а неопределенность в его координате Δxe ≈ R, из этогонеравенства следует Δpe · Δxe h̄, что противоречит соотношениюнеопределенностей Δp · Δx ≈ h̄.
Таким образом, образовавшийся приβ -распаде электрон (позитрон) не может оставаться в ядре, не нарушаясоотношение неопределенностей.Законы сохранения энергии для β − и β + -распадов имеют важную общую особенность. В обоих случаях число уравнений (законсохранения энергии + закон сохранения импульса) на единицу меньшечисла неизвестных — кинетических энергий продуктов реакций (двалептона и конечное ядро). Следствием этого является непрерывныйспектр продуктов этих распадов. Именно непрерывный характер спектра электронов β − -распада послужил первым указанием на существование нейтрино задолго до его непосредственного экспериментальногообнаружения.Спектр каждого продукта трехчастичного распада имеет так называемую «верхнюю границу» — максимальное значение кинетическойэнергии. Оно соответствует той кинематической ситуации, когда данная частица имеет направление импульса, противоположное одинаково направленным импульсам двух других частиц.Суммарный спин, уносимый лептонами при β -распаде, может быть = se + sν = 0) называютсялибо 0, либо 1.
Переходы первого типа (Sфермиевскими (F ), второго типа (S = 1) — гамов-теллеровскими(G–T ). Многие β -распады (например, распад нейтрона) являются смесью переходов первого и второго типов.Задача 1.10.4. Рассчитать верхнюю границу спектра электронов β − -распада ядра трития: 31 H → 32 He + e− + ν e .Энергия β − -распада ядра трития (см.
соотношения (1.10.13)):Qβ − (31 H) = Δ(31 H) − Δ(32 He) = 14,950 МэВ − 14,931 МэВ = 0,019 МэВ.Эта энергия равна сумме кинетических энергий электрона Te , конечного ядра Tя и энергии антинейтрино Eν :(1.10.14)Qβ − = Te + Tя + Eν .Закон сохранения импульса для этого процесса имеет вид: 0 = pe ++ pя + pν . Электрон имеет максимальный импульс и максимальнуюэнергию, еслиEpe = pя + pν = (2Mя · Tя )1/2 + ν .(1.10.15)c134Гл. 1. Теоретический обзорЗдесь использован тот факт, что для кинетической энергии ядра применимо нерелятивистское приближение, а антинейтрино — ультрарелятивистская частица.Импульс конечного ядра не превышает суммы модулей импульсовлептонов (электрона и антинейтрино).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
