Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1.8.5). Однако§1.9. Коллективные возбуждения ядер121в ядерных спектрах присутствует множество уровней, которые не удается интерпретировать в рамках ОМО. Исследования показали, чтоэти неквазичастичные возбуждения являются возбуждениями коллективного типа, в процессе которых большие группы нуклонов ядрадвигаются скореллировано. Таким образом, для описания ядер необходимо привлекать и адекватные коллективные модели. Простейшаяколлективная модель ядра (жидкой капли) уже была рассмотрена привыводе формулы Вайцзеккера (п. 1.8.1).
В данном разделе в качествепримера рассмотрим коллективные возбуждения четно-четных ядер,где эти коллективные возбуждения интерпретируются наиболее просто. Начнем с так называемых вращательных состояний, присущихнесферическим ядрам.1.9.1. Вращательные спектры четно-четных ядер. Появлениевращательных состояний неизбежно в несферических квантовых системах, связанных жесткими (в данном случае ядерными) силами.Мы уже отмечали, что большинство ядер несферические.
При обсуждении квадрупольных моментов ядер было показано, что вытянутыеядра имеют положительный квадрупольный момент, а сплюснутые —отрицательный. Прямое измерение электрических квадрупольных моментов возможно лишь для ядер, у которых спин больше или равен 1.Однако многие четно-четные ядра, имеющие спин и четность 0+ , являются несферическими (деформированными), и их деформация проявляется в спектрах их возбужденных состояний в виде вращательныхполос. Согласно квантовой теории, вращательные степени свободы присущи исключительно несферическим объектам.
Пример вращательнойполосы для четно-четного ядра 18072 Hf показан на рис. 1.9.1. В основномсостоянии четно-четного ядра (т. е. при отсутствии вращения) его спинJосн. сост. = 0. Если деформированное ядро вращается с угловым моментом L, то его спин целиком обусловлен этим вращением и J = L.Рис. 1.9.1. Нижние уровни ядра18072 Hf122Гл. 1.
Теоретический обзорЭнергии уровней вращательной полосы можно получить в результате решения уравнения Шредингера с гамильтонианом, отражающимвращательные степени свободы ядра. Пусть имеется ядро в видеаксиально-симметричного вытянутого эллипсоида (рис. 1.9.2), и осьсимметрии ядра совпадает с осью z .Рис. 1.9.2. Вращение ядра, имеющего форму аксиально-симметричного вытянутого эллипсоидаТакое аксиально-симметричное ядро, согласно квантовой механике,способно вращаться лишь вокруг осей x и y , перпендикулярных осисимметрии z .
Вращение вокруг оси симметрии z невозможно. Действительно (см. также задачу 2.7.30), в силу аксиальной симметрииволновая функция ядра ψ не зависит от угла ϕ его поворота вокругоси симметрии z , т. е.∂ψ= 0. В то же время компонента оператора∂ϕорбитального момента количества движения вдоль оси z имеет вид∂, т.
е. обращается в нуль для аксиально симметричногоLz = −ih̄∂ϕотносительно оси z объекта. Таким образом, никакого коллективноговращения вокруг оси z у такого объекта происходить не может.Вид вращательного гамильтониана легко получить из принципа соответствия классических и квантовых величин.
В классической физикеэнергия вращения тела с моментом инерции Θ и моментом количествадвижения J дается выражением Eвр =J2. В квантовой физике вели2Θчине J 2 соответствует оператор квадрата момента J2 , действующий наволновую функцию Ψ ядра. Поскольку в принятой системе обозначений спин ядра и частиц измеряется в единицах h̄, то имеемJ2 Ψ = h̄2 J(J + 1)Ψ,Eвр =h̄2 J(J + 1)h̄2J(J + 1).2Θ(1.9.1), связывающая энергию вращательного уровФормула Eвр =2Θня и спина состояния, приближенно описывает положение уровней вовращательной полосе.123§1.9.
Коллективные возбуждения ядерИз (1.9.1) следует, что волновой функцией Ψ вращающегося ядраявляется собственная функция оператора J2 , т. е. сферическая функция YJM . При этом J = 0, 2, 4, . . ., что следует из соображений симметрии. Бесспиновое ядро, имеющее форму аксиально-симметричногоэллипсоида, не меняется при пространственной инверсии (отражениив плоскости xy ), т. е. переходит само в себя (см. рис. 1.9.2). Поэтомуволновая функция такого ядра симметрична или четна, что исключаетJ = 1, 3, 5, . . .. Таким образом, четность вращательных состояний +1.Задача 1.9.1. Оценить момент инерции деформированного ядра 18072 Hf , вращательный спектр которого приведен на рис. 1.9.1и в табл 1.8 вместе со значениями спинов уровней вращательной«полосы».Т а б л и ц а 1.8Спины J , энергии E , интервалы энергий ΔE и величины = 2Θ/h̄2 состоянийвращательной полосы ядра 18072 Hf2J468E , МэВ0,0930,3090,6411,084ΔE , МэВ0,0930,2160,3320,443, МэВ−164,564,866,367,7В табл.
1.8 даны интервалы энергий ΔE между данным уровнеми следующим более низким по энергии. Соотношение для интерваловэнергий может быть получено из (1.9.1):ΔE = EJ − EJ−2 = h̄24J − 2.2Θ(1.9.2)Обычно рассчитывают не момент инерции ядра, а величину = 2Θ/h̄2в единицах МэВ−1 . Результаты расчета этой величины для четырехвозбужденных состояний ядра 18072 Hf приведены в четвертой строке таблицы. Расчет показывает, что момент инерции ядра растет с увеличением момента количества движения и, соответственно, угловой частотывращения. Этот результат хорошо понятен на основе ядерной моделижидкой капли: с увеличением углового момента вращения происходитрастяжение капли и ее момент инерции растет.Важным и интересным фактом, который можно легко продемонстрировать на этом примере, является то, что полученные в расчетемоменты инерции как минимум вдвое меньше, чем момент инерциитвердотельного ротатора с такой же массой.
Нижний предел величины, пропорциональной моменту инерции, можно получить из формулымомента инерции однородной твердой сферы радиуса R (в расчетеудобно использовать константу конверсии):25Θтверд = mR2 ,=2Θh̄2=4MN c2 A5/3 r025h̄2 c2= 165 МэВ−1 . (1.9.3)124Гл. 1. Теоретический обзорЗдесь m — масса сферы (ядра), а MN — масса нуклона. Такимобразом, проведенный расчет доказывает, что ядро в низших возбужденных состояниях имеет значения момента инерции, составляющиеменее 50 % момента инерции твердого ротатора с той же массой.Часть нуклонов ядра оказывается не участвующей во вращательномдвижении вследствие эффекта спаривания нуклонов, приводящегок сверхтекучим свойствам ядер в основном и низших возбужденныхсостояниях. Разрыв нуклонных пар, происходящий при очень высокихмоментах вращения ядер (значениях J ), проявляется в скачкообразномросте момента инерции ядра до величин, близких к полученной вышетвердотельной оценке.
Этот эффект (так называемый бекбендинг (backbending)) хорошо изучен в последние 20 лет на ускорителях тяжелыхионов.По мере приближения к магическим (сферическим) ядрам момент инерции Θ уменьшается и энергия вращения Eвр увеличивается.При этом вращательные уровни уходят вверх по энергии.1.9.2. Коллективные колебания ядра. В сферических и почтисферических ядрах вращательные состояния отсутствуют или лежаточень высоко, и область низких энергий в спектре ядерных уровней обусловлена колебаниями формы ядра вокруг равновесной. Прирассмотрении таких колебаний (их в ядерной физике часто называют вибрациями) помогает аналогия между ядром и жидкой каплей.В свободном невозбужденном состоянии капля жидкости принимаетсферическую форму.
Поэтому легче всего (т. е. с наименьшей энергией)возбуждаются степени свободы капли жидкости, соответствующие еемалым гармоническим колебаниям вокруг равновесной сферическойформы, без изменения объема. Поскольку ядерная материя (как и жидкость) с трудом поддается сжатию и растяжению, возбуждения низкихэнергий сферических ядер также не сопровождаются изменениямиплотности и обусловлены малыми гармоническими колебаниями формыядра с сохранением его объема.
При описании таких колебаний можноиспользовать, с учетом квантования, математический аппарат, впервыеприменявшийся при рассмотрении классических колебаний формы капли жидкости.Уже классический подход показывает, что наиболее существеннымисреди колебаний формы капли жидкости являются квадрупольные колебания, т. е.
колебания с моментом количества движения J = 2. В процессе таких колебаний ядро колеблется относительно сферической равновесной формы, принимая поочередно вид то вытянутого, то сплюснутого аксиально-симметричного эллипсоида, меняя знак и величинуквадрупольной деформации. В четно-четном ядре квадрупольному колебанию отвечает возбуждение со спин-четностью 2+ . Это колебаниев модели жидкой капли имеет наименьшую частоту ω2 и энергию h̄ω2 .Несколько более высокую частоту ω3 имеют октупольные (J = 3)колебания, при которых ядерная капля в деформированном состоянии§1.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
