Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Поэтомув качестве параметра, характеризующего склонность ядра к спонтанному делению, можно выбрать отношение Z 2 /A. Поскольку энергия кулоновского отталкивания растет квадратично с числом протонов, а энергия ядерного притяжения — линейно с числом нуклонов,то с увеличением массы ядра наступает момент, когда отталкиваниеначинает превосходить притяжение, и ядро перестает существовать.При этом предельном значении Z 2 /A ядро за характерное ядерноевремя (т. е.
практически мгновенно) спонтанно разделится. Оценим этопредельное значение.Стремясь разделиться, ядро из сферического состояния переходитв деформированное. Если увеличение деформации приводит к состоянию, все более выгодному энергетически (т. е. с меньшей энергией),деформация будет спонтанно нарастать вплоть до деления на двафрагмента. Количественно оценка может быть проведена следующимобразом.Пусть ядро в процессе деформации принимает форму вытянутогоаксиально-симметричного эллипсоида (см.
рисунок к задаче 2.7.32),причем отклонение от исходной сферической формы незначительно(случай малых деформаций). Тогда, при условии, что объем ядра4 Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов98Гл. 1. Теоретический обзорне меняется (ядерная материя практически несжимаема), величинымалой и большой осей эллипсоида даются выражениямиa= √R,1+εb = R(1 + ),(1.8.11)где R — радиус исходного ядра, а ε — малый параметр. Действительно,44объемы эллипсоида и сферы при этом будут равными: πba2 = πR3 .33При деформации не меняется первый член формулы Вайцзеккера(объемная энергия), второй (поверхностная энергия) по абсолютнойвеличине возрастает (растет площадь ядерной поверхности), а третий(кулоновская энергии) — уменьшается (увеличивается среднее расстояние между протонами).
Поверхностная и кулоновская энергии ядерногоэллипсоида могут быть записаны в следующем виде:2Eпов = as A2/3 1 + ε2 + . . . ,5(1.8.12)Z(Z − 1)1 2Eкул = ac1−ε+....1/ 3A5Отсюда следует, что изменение полной энергии ядра при переходеот сферы к эллипсоиду определяется разностью Eпов и Eкул , т. е. соотношением1Z(Z − 1)ΔE = ε2 2as A2/3 − ac(1.8.13).1/ 35AПри отрицательном значении в скобках, т. е. при ΔE < 0, энергияядра будет неуклонно падать с ростом деформации, и ядро неизбежно достигнет энергетически более выгодной стадии деления на дваосколка. Если же ΔE будет положительным, то деформация энергетически невыгодна, и ядро без необходимой энергии возбуждениявернется к исходному, энергетически более устойчивому, состоянию.В этом случае возникает барьер деления.
Он исчезает лишь тогда,когда величина (1.8.13) становится меньше нуля, что наступает призначенияхZ(Z − 1)Z22a2 · 17,2 МэВ≈> s =≈ 48.AAac0,72 МэВ(1.8.14)Следует подчеркнуть приближенный характер полученного результата как следствия классического подхода к атомному ядру, являющемуся квантовой системой.1.8.2. Модель ядерных оболочек. Модель оболочек являетсяв настоящее время наиболее развитой и успешной из ядерных моделей.С ее помощью удается понять, почему для некоторых ядер удельныеэнергии связи и, особенно, энергии отделения нуклонов превышаютте же величины для ядер с близкими значениями Z и A. Ядра,для которых этот эффект проявляется особенно ярко — т.
е. ядра,значительно более устойчивые, чем их «соседи», — называются магическими ядрами. У этих ядер числа протонов Z либо числа нейтронов99§1.8. Модели атомных ядерN = A − Z равны одному из следующих чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82,126 — так называемым магическим числам. Ядра, у которых и числопротонов, и число нейтронов — магические числа, называются дваждымагическими и обладают особой устойчивостью.Однако и ряд других ядер, например, среди легких ядер, ядра 126 C,28Si14 , также имеют значительно бо́льшие, чем соседние ядра, значенияэнергий отделения нуклонов.
В табл. 1.7 приведены для иллюстрациизначения удельных энергий связи и энергий отделения протона и нейтрона от некоторых ядер с A = 12, 13 и 16.Т а б л и ц а 1.7Удельные энергии связи и энергии отделения нуклонов для некоторых ядерс A = 12, 13, 16137N168Oε = W/A, МэВ 7,67 7,45 7,227,96ε, Bn , Bp126C136CBn , МэВ18,7 4,95 20,1 15,66Bp , МэВ15,9 17,41,912,13Из таблицы видно, что хотя удельная энергия связи ядра 126 C меньше, чем у дважды магического ядра 168 O, энергии отделения протонови нейтронов для первого выше.
Энергии отделения нейтрона от 136 Cи протона от ядра 137 N много меньше средней удельной энергии связи,а энергии отделения протона от 136 C и нейтрона от 137 N, напротив,выше удельных энергий связи этих ядер. Эти факты и аналогичные имявляются следствием оболочечной структуры ядра.Очень важным достижением ядерной модели оболочек также является теоретическое объяснение значений спинов и четностей основныхи некоторых возбужденных состояний ядер.Оболочечная модель ядра представляет собой приложение квантовой механики к системе нуклонов — ядру. Далее дано изложениенекоторых положений квантовой механики применительно к проблемеописания ядерных оболочек.Основу оболочечной модели ядра составляет гипотеза о том, что отдельные нуклоны в ядре движутся в усредненном поле соседних нуклонов, и это поле для них для всех одинаково.
Для ядер сферическойформы среднее ядерное поле сферически симметрично. Поскольку ядерные силы — силы короткодействующие, зависимость потенциала этогополя от расстояния до центра ядра должна быть подобной радиальнойзависимости плотности распределения ядерной материи (1.7.1). Крометого, ядерный потенциал должен быть потенциалом притяжения. Этимусловиям удовлетворяет так называемый потенциал Вудса–Саксона:V (r) = −V01+er−Ra,где V0 ≈ 50–60 МэВ, a ≈ 0,55 Фм и R = (1,0–1,1)A1/3 Фм.4*(1.8.15)100Гл. 1. Теоретический обзорТак как кинетические энергии нуклонов внутри ядра много меньшеих энергий покоя, то для теоретического описания ядра в рамках рассматриваемого подхода достаточно решить нерелятивистское уравнение Шредингера: i = Ei Ψi .(1.8.16)HΨ — полный ядерный гамильтониан, индекс i нумерует ядерныеЗдесь Hсостояния. Ei — энергии этих состояний (отсчитываемые от минимумапотенциальной энергии, т.
е. дна потенциальной ямы), а Ψi — ихволновые функции.Приближенное решение уравнения (1.8.16) может быть полученов рамках одночастичной модели оболочек. В этой простейшей модели полная волновая функция Ψ ядра как системы A независимыхнуклонов в общей потенциальной яме является произведением одночастичных волновых функций ψα (α = 1, 2, . . . , A) — волновых функцийотдельных нуклонов, которые являются решением уравнения Шредингера для отдельного нуклона в среднем ядерном поле V (r): 0 ψi (r) = [T + V (r)]ψi (r).H(1.8.17) 0 — гамильтониан отдельного ядерного нуклона, T — операторЗдесь Hего кинетической энергии. Таким образом, для волновой функцииядра Ψ можем записать:Ψ(1, 2, . .
. , A) ≈ ψ1 · ψ2 · . . . · ψA .Поскольку система нуклонов должна подчиняться принципу Паули,волновая функция ядра должна быть антисимметричной относительноперестановки нуклонов.Простейшее модельное описание состояний нуклона в среднемядерном потенциале получено не с потенциалом (1.8.15), а с болеепростыми потенциалами, в первую очередь, с потенциалом сферическисимметричного трехмерного гармонического осциллятора:12V (r) = −V0 + M ω 2 r2 .(1.8.18)Здесь M — играет роль массы нуклона, а ω — параметр, определяющий расстояние h̄ω между соседними одночастичными уровнями. Ходрешения уравнения Шредингера с потенциалом (1.8.18) можно найтив учебниках по квантовой механике (см. например, Давыдов А.
С.Квантовая механика, М., Физматгиз, 1963 г.). Если ограничиватьсяпростейшими потенциалами, то потенциал гармонического осциллятора наиболее применим к легким ядрам (с A < 40). Для описаниятяжелых ядер лучше подходит потенциал прямоугольной ямы. В любомслучае потенциал Вудса–Саксона является наиболее универсальным.§1.8. Модели атомных ядер101В квантовой механике доказывается, что для всех сферически симметричных потенциалов зависимость волновой функции от радиальной (r ) и угловых (θ , ϕ) переменных имеет вид:ψ(r) = ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Ylm (θ, ϕ),(1.8.19)где Ylm (θ , ϕ) — сферические функции.
Указанные для сферическойфункции индексы отражают тот факт, что сферические функции (а соответственно и полная волновая функция частицы (1.8.19)) являютсясобственными функциями операторов квадрата орбитального моментаи проекции орбитального момента на выделенную ось: 2 Ylm (θ, ϕ) = h̄2 l(l + 1)Ylm ,L z Ylm (θ, ϕ) = h̄mYlm ,L(1.8.20)где m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l.Вид радиальной функции R(r) и значения энергий частиц определяются радиальной зависимостью потенциала V (r). Радиальная функцияи соответственно энергия нуклона зависят от двух квантовых чисел —радиального квантового числа n (1, 2, 3, . .
.) и орбитального момента l(0, 1, 2, . . .):R(r) ≡ Rnl (r),(1.8.21)n — число узлов (точек обращения в нуль) радиальной волновойфункции в области r > 0. При фиксированном l энергия нуклона тембольше, чем больше число n. Для l используются обычные в спектроскопии буквенные обозначения:l =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...s, p, d, f , g , h, i, j , . . .(1.8.22)Итак, состояние нуклона в рассматриваемом варианте одночастичной модели оболочек определяется тремя квантовыми числами — n,l и m (первые два определяют его энергию). Часто вместо явноговида волновых функций частицы указывают только значения квантовых чисел, соответствующих этим функциям, пользуясь системойобозначений, введенной Дираком:ψ≡ |nlm, Ylm ≡ |lm, nlm!∗ψnlmψnlm dv ≡ nlm nlm = 1.(1.8.23)Однако волновые функции ψ(r), являющиеся решениями уравнения Шредингера (1.8.17), не могут считаться функциями, полноценноописывающими состояния нуклона в ядре, поскольку в этих функцияхне учтен спин нуклонов.
Спин нуклона 1/2 и спиновые состояниянуклона могут быть двух типов: проекция спина на выделенную ось+1/2 или −1/2. Функции, являющиеся собственными функциями опе-102Гл. 1. Теоретический обзорратора квадрата полуцелого спина и его проекции на выделенную ось,называются спинорами. Их часто обозначают следующим образом:1χ 1 , m ≡ , ms ,(1.8.24)2s2где ms = ±1/2. Полная волновая функция нуклона в ядерном потенциале является произведением функции (1.8.19) и спинора χ 1 ,m . Приs2этом спинорная часть волновой функции нуклона не влияет на энергиюнуклона (это справедливо лишь при отсутствии спин-орбитальной связи, которая, как мы увидим ниже, играет в ядре существенную роль).Состояние нуклона обозначают в виде комбинации n (число) и l(буква), например, 1s, 1p, 1d, 2s, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
