Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Начало собственной системы координат совпадает с центром распределения заряда и массы ядра, а ось z направлена вдоль еговнутренней оси симметрии (если таковая существует). Для электрического квадрупольного момента в собственной системе координат будемиспользовать обозначение Q0 .Поскольку среднее значение физическойвеличины a в квантовой2механике, по определению, a = a |ψ| dv , то внутренний квадрупольный момент, с точностью до констант, есть разность среднегозначения величины 2z 2 и среднего значения суммы квадратов x2 и y 2 .Поэтому для сферических ядер Q = 0, для вытянутых вдоль внутренней оси симметрии ядер Q > 0, а для сплюснутых вдоль этой осиядер Q < 0.При обсуждении ядерных магнитных моментов обычно ограничиваются магнитным дипольным моментом.
В классической записивектор магнитного момента частицы, имеющей спин s и участвующейв орбитальном движении с моментом l, выглядит следующим образом(Гауссова система единиц):eh̄μ=(1.7.30)gss + gll ,2mcгде e и m — заряд и масса частицы (величинаeh̄называется маг2mcнетоном), а gs и gl — ее так называемые спиновый и орбитальныйгиромагнитные факторы. Гиромагнитные факторы электрона в маг-88Гл. 1. Теоретический обзорнетонах Бора μB и нуклонов в ядерных магнетонах μN приведеныв табл. 1.6.Очевидно, вектор магнитного момента ядра μяд можно представитьв виде суммы векторов магнитных моментов нуклонов, входящих в егосостав. Магнитные моменты ядер принято указывать в ядерных магнетонах.Т а б л и ц а 1.6Гиромагнитные факторы электрона/позитрона (в μB ) и нуклонов (в μN )ЧастицаglgsЭлектрон−1−2Позитрон12Протон15,586Нейтрон0−3,826Значения μB и μN следующие:eh̄= 5,79 · 10−15 МэВ/Гс,2me ceh̄μN == 3,15 · 10−18 МэВ/Гс.2mp cμB =(1.7.31)Величины магнитных моментов частиц и атомных ядер зависятот выбора системы координат (аналогичная ситуация имеет местои для электрического квадрупольного момента).
Принято величинумагнитного момента определять в собственной (внутренней) системекоординат квантового объекта в состоянии с максимальной проекциейспина J на ось z . Учитывая, что магнитный дипольный момент является оператором в пространстве волновых функций ψ объекта, этоопределение можно записать в следующей форме:μm=J = μz |ψm=J |2 dv ,(1.7.32)где для частицы (электрона, позитрона, нуклона) и ядра имеем соответственноeh̄μz (частица) =gs sz ,2mcA eh̄ gs sz + glμz (ядро) =lz .2mp cα=1(1.7.33)αЗадача 1.7.12. Рассчитать значения магнитных моментовэлектрона, протона и нейтрона в системах координат, связанныхс каждой из частиц.В системе координат, связанной с частицей, орбитальное движение отсутствует. Значение магнитного момента определяется как диа-89§1.7.
Свойства атомных ядергональный матричный элемент оператора (1.7.33, верхняя строчка)в состоянии с максимальным значением проекции момента на ось z .Действие оператора проекции спина дает:111 11sz s = , sz = += ,+ ,2 22 22(1.7.34)eh̄11 11eh̄ gsμ=gs , + sz , +=.2mc22222mc2Таким образом, для всех указанных частиц значение магнитногодипольного момента в магнетонах равно половине гиромагнитногоотношения gs . Так для протона имеем μp ≈ 2,79μN , для нейтронаμn ≈ −1,91μN . Положительный знак магнитного момента означает,что векторы спина и магнитного моментов частицы сонаправлены.Отрицательный знак магнитного момента указывает на то, что этивекторы направлены противоположно.
«Аномальность» магнитных моментов нуклонов (отличие гиромагнитного фактора протона в ядерныхмагнетонах от 2 и неравенство его нулю для нейтрона) вызвана сложной структурой (неточечностью) нуклона, который состоит из кварков.Вводят также понятие ядерного гиромагнитного фактора gяд .Он определяется из условия пропорциональности магнитного моментаядра μяд (в ядерных магнетонах) спину ядра J :μяд= gяд J.μN(1.7.35)Одним из методов измерения величин ядерного спина и магнитногомомента ядра является исследование сверхтонкого расщепления линийатома.Задача 1.7.13.
Определить число линий сверхтонкого расщепления, возникающего за счет взаимодействия магнитного моментаядра с магнитным полем, созданным электронной оболочкой атома.Полный момент системы «электронная оболочка — ядро» F складывается из момента электронной оболочки I и спина ядра J . Посколькувеличина магнитного поля, создаваемого электронами в области ядра,пропорциональна I , а магнитный момент ядра связан с J (1.7.35),потенциал взаимодействия Vint является функцией скалярного произведения этих векторов: = const · μN I · J .(1.7.36)F = I + J; Vint = −μHЭтот потенциал взаимодействия, входящий в полный гамильтонианатома, ответственен за тот экспериментальный факт, что состоянияс разными значениями скалярного произведения векторов I и J имеют разные сдвиги в энергиях атомных уровней.
Поскольку величинасдвига зависит от ядерного магнетона μN , она мала по сравнению с величиной тонкого расщепления атомных уровней, которое вызвано взаимодействием магнитного момента электронной оболочки с внешним90Гл. 1. Теоретический обзормагнитным полем. Поэтому расщепление атомных уровней, возникающее благодаря взаимодействию магнитного момента ядра с магнитнымполем атома, называется сверхтонким. Число состояний сверхтонкогорасщепления равно числу разных значений скалярного произведениявекторов I и J. Определим эту величину через квадраты квантовыхвекторов F , I и J:F 2 = I 2 + 2I · J + J 2 ,1 2 2F − I − J 2 .I · J =(1.7.37)2С учетом того, что волновая функция атома представляет собой произведение волновых функций ядра и электронной оболочки (ψa == ψN · ψe ), а собственными значениями квадратов квантовых векторовF , I и J являются соответственно F (F + 1), I(I + 1) и J(J + 1),получаем 1ψa I · J ψa = [F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1)].(1.7.38)2Таким образом, число уровней сверхтонкого расщепления равночислу разных значений, которое может принимать квантовое число F :F = |I − J| , |I − J + 1| , .
. . , I + J − 1, I + J.(1.7.39)В итоге получаем, что число разных значений F равно 2K + 1, где K —наименьшая из величин J и I .1.7.7. Схемы ядерных уровней. На схемах ядерных уровней указывают их энергии в МэВ или кэВ, спин и четность. На современныхсхемах указывают также изоспин уровней. Спин J , четность P иизоспин I уровня указываются в виде совокупности обозначений J P I .Поскольку энергия основного состояния ядра принимается за начало отсчета, то приводимые на схемах энергии уровней это энергиивозбуждения ядра в данном состоянии. В области энергий возбуждения ниже энергии отделения нуклона (E < Bn,p ) спектры ядер —дискретные. Это означает, что ширины спектральных уровней меньшерасстояния между уровнями: Γ < ΔE .Спонтанные переходы ядер из более высоких возбужденных состояний дискретного спектра ядра в более низкие (в том числе в основноесостояние) реализуются, как правило, путем излучения γ -квантов,т.
е. за счет электромагнитных взаимодействий (γ -переходы указываются вертикальными стрелками). В области энергий возбужденияE > Bn,p ширины уровней возбужденного ядра резко возрастают. Делов том, что в отделении нуклона от ядра главную роль играют ядерныесилы, т. е. сильные взаимодействия.
Вероятность сильных взаимодействий на порядки выше вероятности электромагнитных. Поэтомуширины распада по сильным взаимодействиям велики, и уровни ядра§1.8. Модели атомных ядер91в области E > Bn,p перекрываются и спектр ядра становится непрерывным.Основным механизмом распада высоковозбужденных состояний является испускание нуклонов и нуклонных кластеров (α-частиц и дейтронов). Излучение γ -квантов в области E > Bn,p происходит с меньшей вероятностью, чем испускание нуклонов.
При этом возбужденноеядро имеет, как правило, несколько каналов распада.На рис. 1.7.6 показан спектр уровней ядра 12 C. Спектр выше16 МэВ — непрерывный.Рис. 1.7.6. Схема уровней ядра 12 C. Показаны γ -переходы с двух нижнихвозбужденных уровней§1.8. Модели атомных ядерСвойства атомных ядер, кратко охарактеризованные в предыдущихразделах, оказалось невозможным интерпретировать в рамках единоготеоретического подхода. Эта трудность связана, в первую очередь,с тем фактом, что в ядре действуют сильные взаимодействия, длякоторых до сих пор не существует последовательной теории, способнойколичественно воспроизвести свойства многочастичных систем, связанных этими силами (для систем, связанных электромагнитными взаимодействиями, такая теория — квантовая электродинамика — существует).
Поэтому для объяснения свойств ядер широко используют92Гл. 1. Теоретический обзорядерные модели. Рассмотрим несколько наиболее распространенныхмоделей ядра.1.8.1. Модель заряженной жидкой капли. Экспериментальноустановленное распределение удельных энергий связи ядер по значениям чисел нуклонов в ядре A (см. рис. 1.7.4) имеет следующиеособенности:1. В широкой области массовых чисел (A > 20) удельная энергиясвязи ε слабо зависит от A.2. Для ядер с малыми A удельная энергия связи уменьшаетсяс уменьшением массового числа.3. Для тяжелых ядер средняя удельная энергия связи меньше, чемдля средних, причем с ростом A наблюдается снижение ее величины.4. Для легких ядер с Z = N удельная энергия выше, чем для другихлегких ядер с тем же значением A.5.
Четно-четные (по Z и N ) ядра имеют в среднем бо́льшие значения ε, чем нечетно-четные (четно-нечетные) и в особенностинечетно-нечетные.Первая из перечисленных (и главная) особенность распределенияудельных энергий связи ядер — следствие свойства насыщения ядерных сил. Вторая особенность связана с тем, что связи нуклонов, находящихся на поверхности ядра, с другими нуклонами ядра не полностьюнасыщены. Чем больший процент нуклонов находится на поверхностиядра, тем больше «убыль» энергии насыщения. Эти особенности ядерных сил делают их подобными силам, действующим между молекуламижидкости. Третья особенность распределения ε объясняется тем, чтопротоны ядер участвуют не только в сильном (ядерном), но и в электромагнитном взаимодействиях.
Чем больше протонов, тем выше энергиякулоновского отталкивания, ослабляющая энергию связи. Четвертаяи пятая особенности распределения — следствия оболочечной структуры ядра и симметрий, связанных с реализацией в ядре принципаПаули. Учет всех перечисленных свойств приводит к ядерной моделизаряженной жидкой капли и к следующей из этой модели полуэмпирической формуле Вайцзеккера для энергии связи ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
