Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 21
Текст из файла (страница 21)
. . Одна и та же одночастичнаяэнергия может быть получена при разных комбинациях квантовыхчисел n и l. Это явление называют вырождением уровней. Степеньвырождения тем выше, чем больше комбинаций n и l, отвечающиходной и той же энергии. Так в потенциале гармонического осцилляторавырождены одночастичные уровни с одинаковыми числами 2n + l. Этоозначает, например, что вырождена пара уровней 1d, 2s и тройкауровней 1g , 2d, 3s.Ядерные оболочки обычно обозначают по уровням гармоническогоосциллятора: 1s-оболочка (0h̄ω ), 1p-оболочка (1h̄ω ), 1d2s-оболочка(2h̄ω ), 1g 2d3s-оболочка (3h̄ω ) и так далее. Подоболочками называют одночастичные уровни, входящие в состав оболочек. Оболочкамив случае произвольного потенциала следует считать группы близко расположенных одночастичных уровней (подоболочек).
В левойчасти рис. 1.8.2 показана последовательность одночастичных уровней в потенциале с радиальной зависимостью, промежуточной между потенциалами гармонического осциллятора и прямоугольной ямыс бесконечно высокими стенками.Конкретное ядро в рассматриваемом подходе представляет собойсовокупность входящих в его состав нуклонов, занимающих одночастичные уровни (подоболочки). Заполнение подоболочек нуклонамипроисходит в соответствии с принципом Паули.
В основном состояниизаняты самые нижние уровни. При этом одночастичные уровни дляпротонов и нейтронов заселяются независимо. Максимально возможное число нуклонов одного типа на подоболочке дается формулойνl = 2(2l + 1),(1.8.25)где (2l + 1) — число ориентаций вектора l, а 2 — число ориентаций1спина нуклона s = .2Пользуясь формулой (1.8.25), можно найти максимальное числонуклонов одного типа на подоболочке (одночастичном уровне), максимальное число нуклонов одного типа на оболочке (группе близкорасположенных одночастичных уровней) и, наконец, — максимальное§1.8. Модели атомных ядер103Рис. 1.8.2.
Схема ядерных одночастичных уровней при наличии спин-орбитальной связи. Показано расположение нуклонов в основном состоянии ядра 16 O.В левой части рисунка показана последовательность уровней в потенциале безспин-орбитального взаимодействия. Вырождение уровней в пределах оболочек2h̄ω , 3h̄ω , 4h̄ω , 5h̄ω , 6h̄ω отвечает потенциалу гармонического осциллятора104Гл. 1. Теоретический обзорчисло нуклонов одного типа в ядрах с заполненными оболочками. Этипоследние числа должны отвечать магическим ядрам.Легко убедиться, что лишь первые три числа — 2, 8, 20, отвечающие оболочкам 1s(0h̄ω), 1p(1h̄ω) и 1d2s(2h̄ω), совпадают с реальными магическими числами. Заполнение нуклонами более высокихоболочек приводит к магическим числам 40 (или 34), 70 (или 58),92 (или 112) и 138, отличающимся от экспериментально наблюдаемыхзначений 28, 50, 82 и 126.
Причина состоит в том, что не было учтено спин-орбитальное взаимодействие, которое составляет примерно10 % от общей энергии ядерного взаимодействия. Спин-орбитальнаячасть ядерного потенциала зависит от взаимной ориентации орбитального и спинового моментов нуклона. С учетом спин-орбитальнойдобавки ядерный потенциал имеет видV = V (r) + a(s · l),(1.8.26)где a < 0, как и V (r).В потенциале (1.8.26) снимается вырождение по полному моменту jнуклона в пределах одной оболочки, который при данном l, в зависимости от ориентации спина нуклона, принимает 2 значения: j = l ± 1/2.Иными словами, потенциал (1.8.26) расщепляет состояния с разнойвзаимной ориентацией l и s.
Таким образом, каждый одночастичныйуровень расщепляется на два. Глубже опускается уровень с j = l + 1/2,так как в этом случае нуклон сильнее взаимодействует с остальными. Возникновение схемы ядерных одночастичных уровней с учетомsl-расщепления демонстрируется на рис. 1.8.2.Энергия спин-орбитального расщепления ΔEjls дается следующимвыражением:aΔEjls = j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1) =2(1.8.27)a3=j(j + 1) − l(l + 1) − .24Состояние нуклона в схеме спин-орбитальной связи характеризуется (помимо энергии E и четности P ) квантовыми числами n, j , l,mj (проекция j на ось z ).
Без спин-орбитальной связи этими числамиявляются n, l, s, ml и ms .В обозначение одночастичных уровней вводится нижний индекс,указывающий величину j . Так, вместо уровня 1p появляются двауровня с j = 1/2 и 3/2, обозначаемые 1p1/2 и 1p3/2 . Величина расщепления, очевидно, тем больше, чем больше l (это следует уже из видаскалярного произведения (s · l)).Начиная с уровня 1g (рис. 1.8.2), затем 1h и так далее, slрасщепление становится сравнимым с расстоянием между соседнимиосцилляторными оболочками.
Расщепление уровней с l 4 настольковелико, что нижний уровень оболочки с максимальными j и l сильноопускается вниз и присоединяется к предыдущей оболочке (это отно-§1.8. Модели атомных ядер105сится к уровням 1g9/2 , 1h11/2 , 1i13/2 и 1j15/2 , которые попадают соответственно в 4-ю, 5-ю, 6-ю и 7-ю оболочки).
Таким образом, структуравысокорасположенных оболочек, начиная с четвертой (3h̄ω ), меняется, что приводит к изменению магических чисел для ядер с числомнуклонов > 40. Кроме того, уровень 1f7/2 за счет спин-орбитальногорасщепления сильно опускается вниз и занимает обособленное местомежду 3-ей (2h̄ω ) и 4-й (3h̄ω ) оболочками, формируя новую «самостоятельную» оболочку, отвечающую магическому числу 28. За счетвсех этих изменений получает объяснение весь набор наблюдаемыхмагических чисел: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126.Максимально возможное количество нуклонов одного сорта νj наподоболочке j равно числу проекций j на ось z :νj = 2j + 1.(1.8.28)Эти числа указаны в круглых скобках на рис.
1.8.2. Числа в квадратных скобках — магические числа.Состояния ядра в изложенном варианте модели оболочек — одночастичной модели оболочек (ОМО) — определяются расположениемнуклонов на одночастичных орбитах и называются конфигурациями. Основное состояние ядра отвечает расположению нуклонов насамых нижних подоболочках (орбитах) с учетом принципа Паули.На рис. 1.8.2 показано расположение нуклонов по подоболочкам в основном состоянии ядра 168 O.Задача 1.8.5. Определить, сколько нуклонов может находитьсяна низшем по энергии одночастичном уровне в потенциале гармонического осциллятора. Какое ядро соответствует такой схеме?Низшему состоянию нуклона соответствует конфигурация 1s.В этом энергетическом состоянии может находиться не более4 нуклонов — 2 протона с противоположными значениями проекцииспина на выделенную ось и 2 нейтрона в таких же состояниях.
Такимобразом, модель оболочек дала объяснение первому из магическихчисел и существованию особо устойчивого дважды магического ядрагелия-4: 42 He. Волновую функцию (конфигурацию) основного состояния4 этого ядра можно записать следующим образом: Ψ 42 He = 1s1/2 .Задача 1.8.6. Доказать, что вклад ΔE в энергию нуклона, который вносит спин-орбитальный член в потенциале (1.8.26), имеетвид, приведенный в (1.8.27). Найти разность энергий состоянийнуклона с одинаковыми l и s, но разными j .Для расчета вида вклада спин-орбитального члена необходимо найти величину матричного элемента∗l) ψjlsm dv ≡ jlsmj | a(s · l) |jlsmj .ΔEjls = ψjlsms·a(jj106Гл.
1. Теоретический обзорПосколькуимеем2j 2 = l + s = l 2 + 2 s · l + s 2 ,1 2 2s · l =j − l − s 2 .2Здесь оператор спин-орбитального взаимодействия выражен через собственные операторы волновой функции нуклона j2, l2 и s2 . Переходяот операторов к их собственным значениям:j 2 ⇒ j(j + 1),l 2 ⇒ l(l + 1),s 2 ⇒ s(s + 1),получаемajlsmj a(s · l) jlsmj = [j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)] =2a3j(j + 1) − l(l + 1) − .=24Энергии одночастичных уровней с j = l + 1/2 и j = l − 1/2 за счетспин-орбитального взаимодействия изменятся соответственно наa2ΔEj=l+1/2 = l < 0,a2ΔEj=l−1/2 = − (l + 1) > 0.Здесь учтено, что a < 0. Таким образом, за счет спин-орбитальноговзаимодействия уровень с j = l + 1/2 опустился, а уровень с j = l − 1/2поднялся, и энергия их расщепления равна:Ej=l−1/2 − Ej=l+1/2 =|a|(2l + 1).2(1.8.29)Задача 1.8.7.
Сколько нуклонов может находиться в состояниях с j = l + 1/2 и j = l − 1/2 при l = 1?Состояние с l = 1 — это в принятой системе обозначений конфигурация npj (n — радиальное квантовое число). Полный моментj нуклона с l = 1 принимает значения 3/2 и 1/2. Таким образом,имеем две подоболочки: np3/2 и np1/2 . Низшей по энергии является конфигурация np3/2 . В этом состоянии может находиться стольконейтронов, сколько имеется различных значений проекции полногомомента 3/2, т. е. (2 · 3/2 + 1) = 4. На этом же уровне (или подоболочке) может находиться и 4 протона. Таким образом, заполненнаяподоболочка np3/2 содержит 8 нуклонов. На подоболочке np1/2 содержится (2 · 1/2 + 1) = 2 нуклонов каждого типа, т.
е. всего 4 нуклона(2 нейтрона и 2 протона).Ядро, у которого заполнена оболочка 1s и подоболочка 1p3/2 , имеетв основном состоянии 12 нуклонов — 6 протонов и 6 нейтронов, т. е.это ядро 126 C. Конфигурация основного состояния этого ядра может§1.8. Модели атомных ядер1074 8быть записана как 1s1/2 1p3/2 . При этом получает обоснованиенаблюдаемая повышенная устойчивость ядра 126 C.Заполнение следующей подоболочки 1p1/2 происходит по тем жеправилам. Поскольку число состояний равно удвоенному числу проекций полного момента нуклона, на подоболочку 1p1/2 можно поместить не более 4 нуклонов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
