Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 16
Текст из файла (страница 16)
1.5), получаем65R = e2Z6 e2 h̄cZ6 · 197 МэВ · Фм · 5==≈ 3,0 Фм.ΔW5 h̄c · ΔW5 · 137 · 2,8 МэВ(1.7.11)Расчет радиусов сравниваемых ядер по формуле (1.7.3) дает близкую величину 2,7 Фм.Заметим, что при решении данной задачи также использованоумножение числителя и знаменателя на константу конверсии h̄c, чтоe21=и непозволило использовать постоянную тонкой структурыh̄c137переходить к другой системе единиц.Важным понятием является энергия отделения нуклона. Энергияотделения нуклона BN (Bn или Bp ) — это минимальная энергия,необходимая для отделения нуклона от ядра. Очевидно, это энергиянаиболее слабо связанного нуклона (сидящего наиболее высоко в ядерной потенциальной яме). Найдем энергию отделения нейтрона Bn .Отделению нейтрона отвечает процесс(A, Z) → (A − 1, Z) + n.Энергия, необходимая для такого процесса, определяется разностьюмасс системы (в энергетических единицах) после и до процесса, т.
е.Bn = M (A − 1, Z)c2 + mn c2 − M (A, Z)c2 == W (A, Z) − W (A − 1, Z) − W (1, 0) = W (A, Z) − W (A − 1, Z).(1.7.12)Здесь учтено, что энергия связи свободного нейтрона W (1, 0) = 0.Аналогичное соотношение для энергии отделения протона имеетвидBp = W (A, Z) − W (A − 1, Z − 1).(1.7.13)78Гл. 1. Теоретический обзорЕсли отделяется сложная частица x(a, z), состоящая из несколькихнуклонов, тоBx = W (A, Z) − W (A − a, Z − z) − W (a, z),(1.7.14)где W (a, z) — энергия связи частицы x, уже не равная нулю.Международной единицей массы является так называемая атомнаяединица массы (1u ≡ 1 а.е.м.).
Она равна 1/12 массы нейтральногоатома углерода-12:масса атома1212CМэВ≈ 1,66 · 10−27 кг.(1.7.15)Обычно в таблицах атомных ядер даются не их массы M (A, Z)или энергии связи W (A, Z) и даже не массы нейтральных атомоватM (A, Z), а так называемые избытки масс Δ(A, Z). Определим понятие избытка масс и получим соотношения, с помощью которых,зная избыток массы Δ(A, Z), можно быстро получить не только массуядра M (A, Z), но также его энергию связи W (A, Z), энергии отделениянуклонов Bn , Bp и более сложных объектов x(a, z), состоящих из zпротонов и a − z нейтронов.Запишем соотношение (1.7.8) в виде1u ≡ 1 а.е.м. == 931,494c2W (A, Z)= Zmp + N mn − M (A, Z),c2где N = A − Z , т.
е. число нейтронов в ядре. Переходя от масс ядерM (A, Z) к массам атомов ат M (A, Z), это соотношение можно переписать следующим образомW (A, Z)= Zmp + Zme + N mn − M (A, Z) − Zme ≈c2≈ ZmH + N mn − ат M (A, Z), (1.7.16)где me , mH — массы электрона и атома водорода, причем незначительными поправками, обусловленными энергиями связи атомарных электронов и обычно лежащими за пределами точности экспериментальныхзначений, мы пренебрегаем.Избытком масс называют величину (в таблицах она обозначенаΔ = M − A)Δ(A, Z) = ат M (A, Z)c2 − Auc2 ,(1.7.17)где u — атомная единица массы.
По определению этой единицы массыизбыток массы 12 C точно равен нулю (Δ(12 C) = 0). ОчевидноW (A, Z) = (ZmH + N mn )c2 − ат M (A, Z)c2 == (ZmH + N mn )c2 − Δ(A, Z) − Auc2 == Z(mH c2 − uc2 ) + N (mn c2 − uc2 ) − Δ(A, Z) = ZΔH + N Δn − Δ(A, Z).§1.7. Свойства атомных ядер79Отсюда сразу получаем энергию связи ядра в МэВ, если в этихже единицах взять избыток массы водорода ΔH , нейтрона Δn и ядра Δ(A, Z). Учитывая, что ΔH = mp c2 + me c2 − uc2 = (938,272 ++ 0,511 − 931,494) МэВ = 7,289 МэВ, а Δn = mn c2 − uc2 = (939,565 −− 931,494) МэВ = 8,071 МэВ, окончательно имеемW (A, Z) = [Z · 7,289 + (A − Z) · 8,071 − Δ(A, Z)] МэВ.Для энергий отделения нейтрона, протона и сложного объектаx(a, z), получаем выражения (в МэВ):Bn = W (A, Z) − W (A − 1, Z) = Δn + Δ(A − 1, Z) − Δ(A, Z) == 8,071 + Δ(A − 1, Z) − Δ(A, Z),Bp = W (A, Z) − W (A − 1, Z − 1) = ΔH + Δ(A − 1, Z − 1) − Δ(A, Z) == 7,289 + Δ(A − 1, Z − 1) − Δ(A, Z),Bx = W (A, Z) − W (A − a, Z − z) − W (a, z) == Δ(a, z) + Δ(A − a, Z − z) − Δ(A, Z).Таблицы масс и избытков масс 221 нуклида приведены в Приложении 1.
Массы всех известных атомных ядер, их удельные энергии связии энергии отделения нуклонов, содержания в естественной смеси изотопов, а также спины и четности основных состояний, типы распадови периоды полураспадов приведены в книге В. В. Варламова, Б. С. Ишханова, С. Ю. Комарова «Атомные ядра.
Основные характеристики». —М.: Университетская книга, 2010.Задача 1.7.5. По таблице избытков масс найти энергию связи ядра 168 O и энергии отделения нейтрона Bn , протона Bp иα-частицы Bα из этого ядра.W (168 O) = 8ΔH + 8Δn − Δ(168 O) == [8 · 7,289 + 8 · 8,071 − (−4,737)] МэВ = 127,617 МэВ,Bn = Δn + Δ(158 O) − Δ(168 O) == [8,071 + 2,856 − (−4,737)] МэВ = 15,664 МэВ,Bp = ΔH + Δ(157 N) − Δ(168 O) == [7,289 + 0,101 − (−4,737)] МэВ = 12,127 МэВ,Bα = Δ(42 He) + Δ(126 C) − Δ(168 O) == [2,425 + 0 − (−4,737)] МэВ = 7,162 МэВ.Обратим внимание на то, что энергии отделения одного протонаи одного нейтрона существенно больше энергия отделения четырехнуклонов α-частицы.
Причина в том, что четыре нуклона в α-частицесвязаны, причем эта энергия связи велика — 28,3 МэВ.Задача 1.7.6. Рассчитать энергию связи ядра 12 C двумя способами: а) пользуясь таблицей масс в атомных единицах мас-80Гл. 1. Теоретический обзорсы (1.7.15) и б) используя таблицы избытков масс Δ = M − A.Сравнить удобства использования этих двух методов.Используя выражение (1.7.16) и заменив массы ядер M (A, Z) намассы нейтральных атомов ат M (A, Z), для ядра 12 C первым (а) способом получаем:W (12,6) = [6mH + 6mn − ат M (12,6)]c2 ≈≈ (6 · 1,007825 + 6 · 1,008665 − 12,000000) × 931,494 МэВ ≈ 92,16 МэВ.Второй (б) способ дает:W (126 C) = 6ΔH + 6Δn − Δ(126 C) == (6 · 7,289 + 6 · 8,071 − 0) МэВ ≈ 92,16 МэВ,что существенно проще.
Поэтому в дальнейших расчетах будет использоваться в основном второй способ, основанный на таблицах дляизбытков масс Δ = M − A.Энергия связи ядра W (A, Z) быстро растет с увеличением числануклонов A (см. табл. 1.5), и в этой круто растущей зависимости трудно увидеть и проанализировать ее наиболее существенные особенностии связать эти особенности с внутренним строением ядра.Т а б л и ц а 1.5Энергия связи (W ) и удельная энергия связи (ε) некоторых ядер (МэВ)Ядро21H32 He42 He73 Li74 Be84 Be115B116C126CεЯдроW2,2241,112127,627,987,722,57186,568,1128,307,08168O2311 Na2312 Mg4020 Ca5626 Fe11448 Cd11449 In11450 Sn23592 U181,737,90342,058,56492,268,79972,608,54970,378,51971,578,521783,867,59W39,245,6137,605,3756,507,0676,216,9373,446,6892,167,68εГораздо удобнее иметь дело с так называемой удельной энергиейсвязи или средней энергией связи на один нуклон.
Удельная энергиясвязи ε определяется следующим образом:ε=W (A, Z).A(1.7.18)81§1.7. Свойства атомных ядер92,16 MэВТак для ядра 12 C величина удельной энергии связи равна=12= 7,68 МэВ.Зависимость удельной энергии связи от массового числа A являетсяодним из наиболее показательных и важных для приложений результатов экспериментальной физики ядра. Общее теоретическое объяснение этой зависимости дают модель ядра как заряженной жидкойкапли и соответствующая этой модели формула Вайцзеккера (1.8.7).Прежде чем переходить к ним, приведем экспериментальную зависимость удельной энергии связи от A для наиболее стабильных ядер(рис.
1.7.4).Рис. 1.7.4. Зависимость удельной энергии связи от массового числа для наиболее стабильных ядер. Стрелками показаны перемещения вдоль зависимостиε(A), приводящие к выделению ядерной энергии и реализуемые соответственнов процессах синтеза и деления ядерЗадача 1.7.7. Найти энергии отделения нейтрона, протона иα-частицы от ядра 12 C. Сравнить их с удельной энергией связиэтого ядра.Энергия отделения нейтрона:Bn = Δn + Δ(116 C) − Δ(126 C) = (8,071 + 10,650 − 0) МэВ ≈ 18,72 МэВ.Энергия отделения протона:Bp = ΔH + Δ(115 B) − Δ(126 C) = (7,289 + 8,668 − 0) МэВ ≈ 15,96 МэВ.Энергия отделения α-частицы:Bα = Δ(42 He) + Δ(84 Be) − Δ(126 C) = (2,425 + 4,942 − 0) МэВ ≈ 7,37 МэВ.Энергия отделения одного нуклона от ядра 12 C оказалась более чемвдвое выше удельной энергии связи (7,68 МэВ)! Энергия одновремен-82Гл.
1. Теоретический обзорного отделения кластера из 4 нуклонов — α-частицы — от ядра 12 Cоказалась даже меньше удельной энергии связи — т. е. средней энергииотделения одного нуклона. Эти факты и аналогичные результаты дляряда других ядер станут понятными ниже при рассмотрении теоретических моделей ядер.1.7.4. Спин и четность ядер. Основное и возбужденные состояния ядра (как и других квантовых систем) характеризуются определенными значениями внутренних моментов количества движения.Если ядро близко к сферическому, соответствующий ему гамильтониан коммутирует с оператором квадрата момента J2 , что означает, чтоHсобственные значения этого оператора являются «хорошими квантовыми числами», т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
