Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В природе существует иискусственно получено большое число нуклидов — ядер с различными Z и A. Диапазон изменений Z и A для известных ядер соответственно 1–118 и 1–294. Всего известно около 3 500 нуклидов, т. е. ядерный мир значительно богаче мира химических элементов (атомов).Стабильных ядер 261. Остальные радиоактивные.На рис.
1.7.1 приведена N Z -диаграмма атомных ядер. Каждомутакому ядру соответствует точка на плоскости с осями N и Z . Болеетемная область диаграммы (ее верхняя часть) отвечает радиоактивнымпротоноизбыточным ядрам, т. е. ядрам, перегруженным протонамипо сравнению со стабильными ядрами. Менее темная область диаграммы (ее нижняя часть) отвечает радиоактивным нейтроноизбыточным ядрам, т.
е. ядрам, перегруженным нейтронами по сравнениюсо стабильными ядрами. Совокупность черных точек, разделяющихэти две области радиоактивных ядер, образует узкую полосу стабиль-72Гл. 1. Теоретический обзорРис. 1.7.1. N Z -диаграмма атомных ядер [15]ных ядер, называемую линией или дорожкой стабильности. Самыелегкие стабильные ядра следуют линии N = Z .
Для более тяжелыхстабильных ядер N > Z . Ниже будет показано, что за такой ход линиистабильности отвечает кулоновское взаимодействие. Без него для всехстабильных ядер было бы N ≈ Z .Точечные извилистые линии на диаграмме — это линии, вдоль которых энергия отделения Bn (Bp ) нейтрона или протона от ядра равнанулю (энергия отделения нуклона — это минимальная энергия, необходимая для его удаления из ядра). Bn = Bp = 0 отвечает ситуация, когдадобавляемый к ядру очередной нуклон уже не захватывается им и необразует нового более тяжелого ядра. Т. е.
вне линий Bn = 0 и Bp = 0ядро существовать не может. Между линиями Bn = 0 и Bp = 0, гдерасположена область нуклидов с энергиями отделения нуклона > 0,по оценкам может быть 6000–6500 ядер. Эти числа определяют количество ядер, которое может быть получено искусственным путем.Отметим, что линия Bn = 0 смыкается с областью известных ядерпри N < 30 и Z < 13. Это означает, что в этой области практическидостигнута граница возможных нейтроноизбыточных ядер. Протоноизбыточные ядра изучены значительно лучше.
Линия Bp = 0 смыкаетсяс областью известных ядер уже при N < 120 и Z < 90.1.7.2. Размеры ядер. Распределение заряда и массы в атомныхядрах исследуется в экспериментах по упругому рассеянию на ядрахα-частиц, электронов и протонов. Выяснилось, что как плотность рас-73§1.7. Свойства атомных ядерпределения заряда, так и плотность распределения массы ядра приближенно выражаются распределением Ферми (рис. 1.7.2):ρ(0)ρ(r) ≈1+er−Ra,(1.7.1)где r — расстояние от центра ядра, ρ(0) — плотность в центре ядра.Рис. 1.7.2.
Распределение Ферми для плотности заряда и массы ядраПараметр a характеризует толщину t поверхностного слоя ядра,в пределах которого ядерная плотность плавно уменьшается от 0,9ρ(0)до 0,1ρ(0). Величины t и a связаны соотношением t = (4 ln 3)a ≈ 4,4a.Как показывает опыт, толщина поверхностного слоя примерно одна и таже для всех ядер: t ≈ 2,4 Фм (a ≈ 0,55 Фм).Радиусом ядра R будем называть расстояние от его центра, накотором плотность ядра уменьшается вдвое:ρ(R) =ρ(0),2R описывается приближенной эмпирической формулойR = r0 · A1/3 = (1,0–1,1)A1/3 Фм.(1.7.2)Ядро в ряде случаев аппроксимируют также сферой однороднойплотности (без размытого края).
В этом случае r0 = (1,1–1,3) Фм иR ≈ 1,2 · A1/3 Фм.(1.7.3)Отметим, что распределения плотности заряда и массы ядра хотя иблизки, но не совпадают друг с другом. Поэтому несколько отличаютсятакже зарядовый и массовый ядерные радиусы. В дальнейшем будутданы примеры и рассмотрены причины различия этих величин.
В приближенных расчетах можно считать зарядовый и массовый ядерныерадиусы совпадающими и описываемыми формулами (1.7.2) или (1.7.3).74Гл. 1. Теоретический обзорВыражения (1.7.2), (1.7.3) означают независимость средней ядерной плотности ядра от массового числа A (числа нуклонов в ядре).Оценим эту плотность:ρ=масса ядрамасса нуклона · A≈≈4 3объем ядраπr0 · A(1.7.4)3≈ 2 · 1014г/см ≈ 200 млн т/см .33Здесь учтено, что масса нуклона mN ≈ 1,67 · 10−24 г.Задача 1.7.1. Оценить расстояние минимального сближенияα-частицы и ядра золота при бомбардировке мишени из золотапучком α-частиц с кинетическими энергиями 22 МэВ.
Сравнить результат с суммой радиусов ядер золота и гелия, рассматриваемыхв виде сфер однородной плотности.При лобовом соударении налетающей частицы и ядра золота кинетическая энергия α-частицы T целиком тратится на преодоление потенциального кулоновского барьера, т. е. (в гауссовой системе единиц):Zα ZAu e2,rmin22Z Z eZ Z e= α Au = α Au h̄c = 10,4 ФмT T · h̄cT =rmin(1.7.5)RHe + RAu = r0 41/3 + 1971/3 ≈ 9 Фм.Здесь использовано r0 = 1,2 Фм.Таким образом, при кинетических энергиях α-частиц выше 22 МэВрасстояние минимального сближения ядер гелия и золота сравнимос размерами ядерных систем.
Это означает, что чисто кулоновскоерассеяние, описываемое формулой Резерфорда (1.2.25) для точечныхобъектов, не исчерпывает взаимодействия нуклонов. При бо́льшихэнергиях в формулу Резерфорда вводят еще один множитель — квадратформ-фактора F , отражающий конечные размеры и внутреннюю структуру сталкивающихся нуклонов (формула (1.2.30)). Введение формфактора необходимо при кинетических энергиях α-частицы, превышающих примерно 20 МэВ.Отметим также, что использованное в данном примере умножениеи деление на константу конверсии h̄c (средняя строчка (1.7.5)) позволяет избежать явного вида квадрата единичного заряда, беря вместонего хорошо известную величину — постоянную тонкой структурыe2 /h̄c = 1/137 и h̄c ≈ 200 МэВ · Фм.Радиус атомного ядра легко получить, если известна дифракционная картина рассеяния заряженных частиц на этом ядре.
Этот методиспользует волновые свойства падающих на ядро частиц. Из классической оптики известно, что для наблюдения дифракционной картины нанекотором объекте ограниченных размеров необходимы два условия:1) длина падающей на объект волны λ должна быть порядка или75§1.7. Свойства атомных ядерменьше радиуса объекта (λ R) и 2) объект должен иметь довольночеткие границы (толщина поверхностного слоя объекта не должназаметно превышать его общие размеры).Если эти условия выполнены, то на экране, расположенном заядром-рассеивателем (рис. 1.7.3), должны наблюдаться центральныйсамый мощный дифракционный максимум и при увеличении угла рассеяния θ — серия уменьшающихся максимумов, разделенных минимумами.
Если рассеяние происходит на круглом объекте, то угол θmin , подкоторым будет виден первый дифракционный минимум, может бытьнайден из следующего приближенного выражения:sin θmin ≈0, 6λ.R(1.7.6)Рис. 1.7.3. Рассеяние волны на круглом объекте радиуса R (слева) и дифракционная картина, наблюдаемая на экране (справа)Задача 1.7.2. При изучении дифракционного рассеяния протонов с кинетической энергией T = 20 ГэВ на ядрах свинца первыйдифракционный минимум наблюдается при θmin = 0,3◦ . Оценитьрадиус ядра свинца.Для решения используем соотношение (1.7.6):RPb ≈0,6 · λ0,6 · 2πh̄c0,6 · 2π · 200 МэВ · Фм · 180=≈≈ 7,1 Фм.0,3πsin θmin20 · 103 МэВ · 0,3 · πT·180То же значение дает формула (1.7.3).Для определения радиусов атомных ядер можно использовать также прохождение коллимированного потока моноэнергетических частицчерез тонкие мишени, состоящие из исследуемых ядер.
Суть этогометода поясним решением следующей задачи.Задача 1.7.3. Оценить радиус ядра меди, если известно, чтопри прохождении релятивистских нейтронов через пластинку меди76Гл. 1. Теоретический обзортолщиной 2 см поток нейтронов уменьшился в 1,1 раза. Размеромнейтрона пренебречь.Если на тонкую пластинку вещества толщиной x нормально к ееповерхности падает узкий пучок моноэнергетических частиц с плотностью потока j(0), то при условии не более чем однократного взаимодействия каждой из этих частиц с ядрами мишени плотность потоказа мишенью будет даваться соотношениемj(x) = j(0) · e−nσx ,(1.7.7)где n — концентрация ядер мишени, а σ — полное эффективное сечение взаимодействия падающих частиц с ядром (см. формулу (1.2.24)).Для релятивистских нейтронов хорошей оценкой величины σ являетсягеометрическое сечение ядра: σ ≈ πR2 .
Учитывая это, получаемσ=j(0)11ln=ln(1, 1) ≈nxj(x)8,6 · 1022 см−3 · 2 см≈ 5,5 · 10−25 см2 = 0,55 барн.Здесь использовано, что n = ρNA /A, где плотность меди ρ ≈ 9 г/см3 ,NA — число Авогадро (6,02 · 1023 ) и A = 63 — массовое число меди.Окончательно для величины радиуса ядра меди имеемR=σ=π5,5 · 10−25 см2≈ 4,2 Фм.3,14Отметим, что соотношение (1.7.2) для радиуса ядра меди дает(4,0–4,4) Фм.1.7.3. Массы и энергии связи ядер. Масса M (A, Z) атомногоядра, состоящего из A нуклонов, из которых Z протонов, меньшесуммы масс Z · mp c2 + (A − Z) · mn c2 входящих в ядро протонов и нейтронов.
Разность этих величин W (A, Z) и является энергией связиядра:W (A, Z) = Z · mp c2 + (A − Z) · mn c2 − M (A, Z)c2 .(1.7.8)При оценке радиусов распределения заряда в ядре (кулоновскогорадиуса) можно использовать различие энергий связи двух ядер-изобар, т. е. ядер с одинаковым числом нуклонов A.Задача 1.7.4. Из сравнения энергий связи зеркальных ядер 115 B11и 6 C (см. табл. 1.5) оценить радиусы этих ядер.Энергии связи двух ядер-изобар W (A, Z) и W(A,Z+1) отличаютсяза счет разных кулоновских энергий отталкивания протонов в этихядрах Eкул (A, Z) и Eкул (A, Z + 1). В ядре (A, Z + 1) она ниже из-за77§1.7. Свойства атомных ядерболее сильного отталкивания:ΔW = W (A, Z) − W (A, Z + 1),ΔEкул = Eкул (A, Z + 1) − Eкул (A, Z),ΔW = ΔEкул .Для однородно заряженной сферы радиуса R, состоящей из Z единичных зарядов e, кулоновская энергия дается следующим выражением:35Eкул = e2Z(Z − 1).R(1.7.9)Для разности кулоновских энергий ядер-изобар с числом зарядов Z + 1и Z получаем65ΔEкул = Eкул (Z + 1) − Eкул (Z) = e2Z= ΔW.R(1.7.10)Таким образом, используя то, что в данном случае ΔW ≈ 2,8 МэВ(табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
