Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Прежде чемприводить эту формулу, остановимся на тех свойствах атомного ядра,которые делают его похожим на каплю жидкости.Ядерная материя, как и жидкость, характеризуется приблизительно постоянной плотностью. Ядерные силы, как и межмолекулярные,являются короткодействующими и насыщающимися.
Ядерная «капля»,как и капля жидкости, имеет поверхностное натяжение и способнадеформироваться без изменения объема. Однако надо иметь в виду, чтоимеются и существенные различия между атомным ядром и каплейжидкости, обусловленные микроскопическими размерами ядер и «заставляющими» их подчиняться квантовым законам. Следствием этогоявляется то, что средняя длина свободного пробега нуклона в ядре при§1.8. Модели атомных ядер93низких энергиях оказывается приблизительно 20 Фм, т. е. значительнопревышает диаметр ядра (для молекул эта длина заведомо меньше размера капли).
Поэтому при низких энергиях ядро становится похожимна газ фермионов (ферми-газ), т. е. систему почти свободных частиц,находящихся в общей потенциальной яме. Это ядерное свойство позволяет успешно описывать ядро и в другой модели, которая получиланазвание оболочечной модели ядра и которая будет рассмотрена нижевслед за моделью жидкой капли.Получим, используя модель заряженной ядерной капли, формулуВайцзеккера для энергии связи ядра W (A, Z). Энергия связи ядра тембольше, чем больше в нем нуклонов, или объем ядра. Поскольку объемядра пропорционален A, энергию ядра в первом приближении можнозаписать в виде так называемой объемной энергииEоб = +av A,(1.8.1)где av > 0 — константа.Если этим ограничиться, то мы имеем дело с бесконечной ядернойматерией (поверхностные эффекты несущественны), лишенной заряда(пренебрегаем кулоновским взаимодействием).Нуклоны на поверхности связаны менее сильно, чем внутри, так каквзаимодействуют с меньшим числом своих партнеров, чем внутренниенуклоны.
Если в бесконечной ядерной материи провести поверхность,ограничивающую ядро, и отбросить нуклоны вне ее, то оставшиесяна поверхности нуклоны ядра потеряют половину своих связей. Числопотерянных связей пропорционально числу нуклонов на поверхности,а следовательно, и площади поверхности, которая равна S = 4πR2 == 4πr02 A2/3 (R = r0 · A1/3 — радиус ядра).
Итак, за счет поверхностиэнергия связи уменьшается на величину as A2/3 , т. е. в формулу дляэнергии связи необходимо добавить (со знаком «минус») слагаемое,которое будем называть поверхностной энергиейEпов = as · A2/3 ,(1.8.2)где as > 0 — константа.На нуклон, находящийся на поверхности, действует результирующая сила, направленная внутрь ядра.
Поэтому поверхностные нуклоныстремятся сжать ядро, создавая, как в капле жидкости, поверхностноенатяжение, энергия которого и определяется соотношением (1.8.2).Примем в расчет энергию кулоновского отталкивания протонов. Этуэнергию легко оценить для заряда Ze, равномерно распределенного пообъему сферы с плотностьюρ=Ze4πR33.(1.8.3)94Гл.
1. Теоретический обзорТогда энергия кулоновского отталкивания протонов, уменьшающаяэнергию связи ядра, дается классической электростатической энергиейтакого распределения (см. также (1.7.9))Eкул =3 Z(Z − 1) 2Z(Z − 1)e = ac,5RA1/3гдеac =(1.8.4)3 e2≈ 0,72 МэВ.5 r0Ограничиваясь членами (1.8.1), (1.8.2) и (1.8.4), нельзя получитьправильный ход линии стабильности.
Для легких ядер эта линияотвечает приблизительному равенству чисел протонов и нейтронов(N ≈ Z ). В то же время, из выше рассмотренных трех слагаемых дляэнергии связи при фиксированном A от Z зависит лишь кулоновский.Ввиду этого максимум энергии связи достигается при Z = 0, и стабильные ядра должны были бы состоять из одних нейтронов. Очевидно, этоне так, и связано это с тем, что не учтена квантовая природа ядернойкапли.Чтобы получить правильный ход линии стабильности, необходимоучесть принцип Паули (ядро состоит из фермионов, подчиняющихсяэтому принципу). Вследствие этого ядра, у которых нуклонов одноготипа больше, чем другого, имеют меньшую энергию связи, чем ядрас одинаковым числом протонов и нейтронов. Это и есть четвертыйпункт вышеприведенного списка особенностей ядерной энергии связи.Член в формуле Вайцзеккера, который учитывает стремление ядраиметь в основном состоянии равные (симметричные) количества нейтронов и протонов (энергия симметрии), записывается в следующемвиде:(N − Z)2(A − 2Z)2Eсимм = asym= asym.(1.8.5)AAКак и должно быть, энергия симметрии возрастает при росте относительного числа нуклонов любого типа.
Появление множителя 1/Aобъясняется сближением нуклонных уровней с ростом A. Слагаемое(1.8.5) должно быть добавлено в формулу Вайцзеккера со знаком «минус» потому, что отклонение от симметрии уменьшает энергию связи.Последнее слагаемое в формуле Вайцзеккера учитывает пятыйпункт списка особенностей ядерной энергии связи. Эта особенностьсостоит в том, что в силу зависимости ядерных сил от взаимнойориентации полных моментов нуклонов, в основном и низколежащихсостояниях у ядра возникают дополнительные связи между паройнуклонов одного типа, находящихся на одном и том же энергетическом уровне. С точки зрения обсуждаемого эффекта (или, как говорят,сил спаривания) все ядра разбиваются на три типа:— четно-четные ядра (все нуклоны в основном состоянии спареныи положительная добавка к энергии связи наибольшая);§1.8.
Модели атомных ядер95— нечетно-нечетные ядра (не спарены в основном состоянии поодному нуклону каждого типа и добавка к энергии связи наименьшая);— промежуточный случай — нечетные ядра (один нуклон в основном состоянии не спарен).«Спаривательное» слагаемое Eсп в формуле для W (A, Z) условились записывать так, чтобы для нечетных ядер оно было равным нулю.В этом случае хорошее воспроизведение экспериментальных данныхдает следующая формула:Eсп = δA−3/4 .(1.8.6)Итак, с учетом всех рассмотренных членов (1.8.1), (1.8.2), (1.8.4)–(1.8.6) для энергии связи ядра в модели жидкой капли получаемW (A, Z) == av A − as · A2/3 − acZ(Z − 1)(A − 2Z)2− asym+ δA−3/4 .1/ 3AA(1.8.7)Коэффициенты в (1.8.7) подбираются из условий наилучшего совпадения кривой модельного распределения с экспериментальными данными. Поскольку такая процедура может быть проведена по-разному,существует несколько наборов коэффициентов формулы Вайцзеккера.Часто используется следующий набор коэффициентов:av = 15,6 МэВ,as = 17,2 МэВ,ac = 0,72 МэВ,asym = 23,6 МэВ.(1.8.8)Что касается константы спаривания δ , то можно использовать значения:⎧⎨ + 34 МэВ для четно-четных ядер,для нечетных ядер,δ = 0 МэВ(1.8.9)⎩− 34 МэВ для нечетно-нечетных ядер.Вклад различных слагаемых в формулу для удельной энергии связиядра иллюстрируется рис.
1.8.1.Равновесное число протонов Zравн в ядре при фиксированном A(линия или дорожка стабильности) определяется минимумом по Zсуммы 3-го и 4-го членов в 1.8.7), откуда легко, используя процедурунахождения экстремума, получитьZравн =2asym A2/ 3ac A+ 4asym≈A.0,015A2/3 + 2(1.8.10)96Гл. 1. Теоретический обзорРис. 1.8.1. Вклад различных видов энергии в удельную энергию связи ядраAВ легких ядрах, где роль кулоновской энергии невелика, Zравн ≈ .2С ростом Z , т.
е. при переходе к все более тяжелым ядрам, линия стабильности все более смещается в сторону большего числа нейтронов.Задача 1.8.1. Оценить энергию связи ядра 12 C по формуле Вайцзеккера и сравнить результат с этой же величиной, полученной изэкспериментальных данных о массе этого ядра (см. задачу 1.7.6 итабл.
1.5).Из экспериментальных значений масс имеем W (12 C) = 92,16 МэВ.По формуле Вайцзеккера W (12 C) = 93,2 МэВ.Задача 1.8.2. Для ядра 6027 Co оценить вклады отдельных членовформулы Вайцзеккера в суммарную энергию связи.Для ядра6027 Coобъемная энергия составляет936 МэВ,поверхностная энергия−264 МэВ,кулоновская энергия−129 МэВ,энергия симметрии−14 МэВ,энергия спаривания−1,6 МэВ.Итого, энергия связи ядра равнаЭксперимент дает для энергии связи ядра527,4 МэВ.6027 Cвеличину 524,8 МэВ.97§1.8.
Модели атомных ядерЗадача 1.8.3. Оценить изменение энергии связи ядра при делении тяжелого ядра на два одинаковых ядра-осколка. Рассмотретьслучай A = 240, Z = 92.При делении объемная энергия и энергия симметрии не изменяются, а изменяются поверхностная и кулоновская энергии, причем (болеедетальные выкладки приведены в задаче 2.10.6) их изменения имеютразные знаки (роль энергии спаривания незначительна):ΔEпов = as A2/3 (1 − 21/3 ) ≈ −0,26 · as · A2/3 .Z(Z − 1)1Z2ΔEкул = ac1−0,37·a.≈c1/ 32/ 31/ 3A2AДля тяжелого ядра с A = 240 и Z = 92 имеем ΔEпов ≈ −170 МэВ,ΔEкул ≈ 360 МэВ. В итоге «выигрыш» в энергии связи при делении тяжелого ядра составляет около 200 МэВ. Эта энергия освобождается и расходуется, главным образом, на кинетические энергииядер-продуктов (см. задачу 2.10.4).Задача 1.8.4.
Показать, что параметр Z 2 /A (называемый параметром деления) характеризует устойчивость ядер по отношениюк спонтанному (самопроизвольному) делению. Найти предельноезначение этого параметра, ограничивающее область существования ядер.Ядро это система нуклонов, подверженная, с одной стороны, связывающим ядерным силам притяжения, энергия которых пропорциональна A, а с другой — разрушающим силам кулоновского отталкивания, энергия которых пропорциональна Z(Z − 1) ≈ Z 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
