Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Таким образом, полностью заполненная1p-оболочка имеет две подоболочки с 8 и 4 нуклонами, т. е. всего12 нуклонов, что вместе с заполненной оболочкой 1s1/2 соответствуетдважды магическому ядру 168 O. Конфигурация его основного состоя4 8 4ния может быть изображена как 1s1/2 1p3/2 1p1/2 (см. такжерис. 1.8.2).Задача 1.8.8. Провести заполнение оболочки 1d2s. Указать,каким ядрам соответствуют полностью заполненные подоболочкиэтой оболочки.Оболочка 1d2s состоит из трех подоболочек: 1d5/2 , 2s1/2 и 1d3/2 ,перечисленных в порядке возрастания энергии (см. рис. 1.8.2). В низ5шей по энергии подоболочке 1d5/2 с j = может находиться не более522(2j + 1) = 2(2 + 1) = 12 нуклонов.
Оболочка 1d2s находится выше2по энергии, чем оболочки 1s и 1p, на которых вместе находится16 нуклонов (8 протонов + 8 нейтронов). Ядро с заполненными оболочками 1s и 1p и заполненной подоболочкой 1d5/2 имеет 14 протонови 14 нейтронов — это ядро 2814 Si.Следующей по энергии является подоболочка 2s1/2 с 4 нуклонами(2 протона + 2 нейтрона). Ядро, в котором наряду с оболочками 1sи 1p заполнены две подоболочки 1d5/2 , 2s1/2 , это ядро 3216 S.Наконец, при заполнении последней (самой высокой) подоболочкиоболочка 1d2s оказывается замкнутой.
Возникает конфигурация1d 3/2 4 1s1/2 1p3/2 8 1p1/2 4 1d5/2 12 2s1/2 4 1d3/2 8 , соответствующаядважды магическому ядру 4020 Ca.Напомним, что дважды магическим ядром называют ядро, у которого числа нейтронов и протонов являются магическими. Из ужерассмотренных легких ядер с A 40 дважды магическими являютсясамосопряженные (N = Z ) ядра 42 He, 168 O и 4020 Ca. Существуют еще два208более тяжелых стабильных дважды магических ядра: 4820 Ca и 82 Pb. Всеэти ядра характеризуются повышенной устойчивостью и распространенностью.Нами была рассмотрена простейшая версия ядерной модели оболочек — одночастичная модель оболочек без учета кулоновского взаимодействия между протонами. Эта модель дает неплохие результатыдля легких ядер, где кулоновское взаимодействие не играет важнойроли. Для ядер с A > 40 энергию кулоновского отталкивания протоновуже нельзя не учитывать при модельном заполнении оболочек.
Однако,108Гл. 1. Теоретический обзорпрежде чем рассмотреть ядра с A > 40, обсудим проблему спинови четностей основных состояний ядер.1.8.3. Спины и четности основных состояний ядер в моделиоболочек. Суммарный момент системы одинаковых нуклонов, заполнивших любую подоболочку, равен нулю независимо от квантовых чисел подоболочки и числа (2j + 1) заполнивших ее нуклонов(нейтронов или протонов). Это важное правило является следствиемтого факта, что среди заполнивших подоболочку (2j + 1) одинаковыхнуклонов будут обязательно находиться нуклоны с равными по абсолютной величине, но разными по знаку проекциями полного моментануклона на выделенную ось: mj = ±j , ±(j − 1), ±(j − 2), . .
. , ±1/2.Такие пары одинаковых нуклонов имеют нулевой суммарный полныймомент. Поэтому суммарные моменты импульсов как нейтронов, таки протонов на заполненной подоболочке равны нулю. По этой причинеи спины основных состояний всех ядер с заполненными оболочкамиили подоболочками равны нулю.Экспериментально доказано, что равны нулю спины основных состояний всех четно-четных ядер, т. е. как ядер с заполненными подоболочками или оболочками, так и ядер, у которых на подоболочкенаходится по четному числу протонов и нейтронов. Объяснение этогоэкспериментального факта — наличие в межнуклонных ядерных взаимодействиях не учтенных в предыдущем изложении одночастичноймодели оболочек сил — так называемых сил спаривания, о которыхуже шла речь в связи с формулой Вайцзеккера (1.8.7).
Необходимоотметить, что замена всех действующих между нуклонами сил потенциалом со спин-орбитальным членом (типа (1.8.26)) являетсядовольно грубым модельным приближением. Не учтенные в (1.8.26)силы называются силами остаточного взаимодействия и играютважную роль в формировании свойств ядер. Важнейшим компонентомсил остаточного взаимодействия являются силы спаривания. Действиесил спаривания приводит к тому, что для любых двух нуклонов одноготипа на одном и том же одночастичном уровне наиболее выгодным поэнергии (т. е. низшим) состоянием будет состояние с полным моментом0 или, иначе говоря, с противоположными направлениями проекцийполного момента нуклона на выделенную ось.
В силу этого для всехчетных как по Z , так и по N ядер это (независимо от степени заполнения подоболочек) приводит к значениям спина ядра J = 0 в основномсостоянии.Пространственная четность основных состояний всех четно-четныхядер (в том числе и ядер с заполненными подоболочками) положительная. Действительно, четность — мультипликативное квантовое число.Поскольку собственная четность нуклона +1, то результирующая пространственная четность ядерного состояния определяется произведением орбитальных четностей отдельных нуклонов:P (1, 2, .
. . , A) = (−1)l1 (−1)l2 . . . (−1)lA = (−1)Aili.(1.8.30)§1.8. Модели атомных ядер109Очевидно, для всех четно-четных ядер результирующая четностьположительная, поскольку для них в показателе степени (1.8.30) будетстоять четное число.Итак, для всех четно-четных ядер (и ядер с заполненными подоболочками) в основном состоянии J P = 0+ .Очевидно также, что спин и четность основного состояния ядрас одним нуклоном сверх замкнутой подоболочки или оболочки определяется моментом j1 и четностью P1 = (−1)l1 внешнего неспаренногонуклона. Действительно, ядро с неспаренным нуклоном это совокупность A спаренных нуклонов, формирующих остов замкнутых подоболочек или оболочек, и одного внешнего неспаренного нуклона. Спинядра A + 1 является векторной суммой спина ядра с A спаренныминуклонами и единственного неспаренного нуклона. Но спин ядра с Aспаренными нуклонами равен нулю, а четность такого ядра положительна.
Поэтому для основного состояния ядра с одним нуклоном сверхзамкнутой подоболочки или оболочки имеем(−1)l1P1PJA+1 = j1 = j1.(1.8.31)Рассмотрим теперь ядра A − 1, у которых до заполненной оболочкиили подоболочки недостает одного нуклона. Эти ядра часто называютядрами с одной «дыркой» относительно замкнутой подоболочки илиоболочки.
У всех таких ядер спин и четность определяются моментоми четностью «отсутствующего» нуклона, т. е. моментом и четностью«дырки». Действительно,JA−1 + jh = JA = 0,т. е. JA−1 = jh .(1.8.32)Здесь момент недостающего нуклона обозначен как jh , где h соответствует обозначению «дырки» (англ. hole). Для четности PA−1 ядраA − 1 имеем:PA = PA−1 · ph = +1,(1.8.33)т. е. PA−1 = ph = (−1)lh .Здесь lh — орбитальный момент недостающего нуклона.Задача 1.8.9. Определить по модели оболочек спины и четности ядер 136 C и 178 O в основных состояниях.
Сравнить результатс экспериментальными данными.Ядро 136 C в основном состоянии имеет следующую конфигурациюнуклонов 1s1/2 4 1p3/2 8 1p1/2 1 .nНеспаренный нейтрон имеет полный момент j = 1/2. Следовательно,спин J ядра 136 C в основном состоянии 1/2. Четность основного состояния 136 C определена (см. (1.8.31)) как (−1)l . Поскольку неспаренныйнейтрон находится в 1p-оболочке (l = 1), четность отрицательная.110Гл. 1. Теоретический обзорИтак, для ядра 136 C в основном состоянии имеем J P = 1/2− , чтоподтверждается экспериментом.Для ядра 178 O нуклонная конфигурация основного состояния 1s1/2 4 1p3/2 8 1p1/2 4 1d5/2 1 . Отсюда спин и четность егоnосновного состояния J P = 5/2+ , что соответствует экспериментальнымданным.Задача 1.8.10. Определить спины и четности основных состояний ядер 32 He и 115 B.Ядро 32 He соответствует нейтронной «дырке» в дважды магическомядре 42 He. Соответственно его спин и четность соответствуют моменту1/2 и четности (−1)l=0 = +1 недостающего нейтрона.
Итак, в основномсостоянии ядра 32 He имеем J P = 1/2+ .Для ядра 115 B спин и четность основного состояния определяетнедостающий до замкнутой подоболочки протон в состоянии 1p3/2 .Таким образом, ядро 115 B в основном состоянии имеет J P = 3/2− .Следует обратить внимание на важное правило: как частицы надзамкнутой конфигурацией, так и дырки относительно нее могут рассматриваться одинаковым образом. Иногда и те и другие в научнойлитературе называют «квазичастицами» (этот термин отражает тотфакт, что нуклон внутри ядра отличается от свободного). Одночастичная модель оболочек объясняет значения спинов и четностей ядер с одной «квазичастицей» сверх замкнутой конфигурации, т. е. полностьюзаполненной оболочки или подоболочки.
Часто эту модель применяюти для того, чтобы рассмотреть спины и четности ядер, у которых сверхзамкнутой конфигурации имеется более одной квазичастицы.Задача 1.8.11. Определить спин и четность основного состояния ядра 73 Li.4 2Конфигурация основного состояния этого ядра 1s1/2 1p3/2 n1p3/2 1 , причем сверх замкнутой оболочки дважды магического ядра42 Hepв 1p оболочке находится два нейтрона и один протон. Два нейтроназа счет сил спаривания имеют полный суммарный момент 0, поэтомуспин и четность ядра определены моментом и четностью неспаренногопротона, т. е. J P = 3/2− .
Это предсказание модели совпадает с экспериментом.Ядра с двумя протонами либо двумя нейтронами сверх замкнутойоболочки (или подоболочки) — это четно-четные ядра с J P = 0+ .Но ядра с одним протоном и одним нейтроном сверх замкнутой подоболочки — нечетно-нечетные. Для двух разных нуклонов на незамкнутой «валентной» подоболочке принцип Паули не препятствуеттому, чтобы они имели одинаковые проекции момента на выделеннуюось и, соответственно, суммарный момент не равный нулю.
Например, ядро 146 C с двумя нейтронами над замкнутой подоболочкой 1p3/2§1.8. Модели атомных ядер111(ядром 126 C) имеет в основном состоянии J P = 0+ и конфигурацию нук4 8 2лонов 1s1/2 1p3/2 1p1/2 n , а ядро 147 N имеет в основном состоянии4 8 1 1конфигурацию 1s1/2 1p3/2 1p1/2 1p1/2 и спин-четность этогоnpсостояния J P = 1+ . Таким образом, моменты неспаренных протонаи нейтрона в валентной подоболочке 147 N параллельны и сложилисьв 1 (напомним, что спин системы протон-нейтрон, т.
е. дейтрона, также 1). Низшее по энергии, т. е. основное состояние ядер с протоннойи нейтронной «дырками» относительно замкнутой подоболочки (такихкак 126 C в основном состоянии), во многих случаях имеет спин, соответствующий максимально возможному моменту пары квазичастиц.Например, ядро 105 B имеет конфигурацию основного состояния 1−1121s1/2 4 1p3/2 3 1p3/2 3 ≡ (1p3/2 )−n (1p3/2 )p Ψ( C .npПри этом моменты двух квазичастиц — протонной и нейтронной «дырок» — складываются в максимальный суммарный момент 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
