Н.Г. Гончарова, Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов - Частицы и атомные ядра. Задачи с решениями и комментариями (1120465), страница 17
Текст из файла (страница 17)
сохраняются. Как правило, ядерный гамильтонианкоммутирует с оператором Jz проекции момента на одну из осей(в качестве этой оси обычно выбирают ось z ): , J2 = 0, , JZ = 0.(1.7.19)HHВсе перечисленные операторы действуют в пространстве волновыхфункций ядра Ψ:J2 Ψ = h̄2 J(J + 1)Ψ,Jz Ψ = h̄mΨ,(1.7.20)m = ±J , ±(J − 1), ±(J − 2), . . .Очевидно, число значений m проекции момента количества движения на выделенную ось равно 2J + 1.Спином ядра называется максимальное значение проекции собственного момента импульса на выделенную ось, т. е. величина J .Спины и моменты частиц и ядер измеряются в единицах h̄.Спин нуклона s, т. е. его момент количества движения в системекоординат, связанной с ним, равен 1/2.
Полный момент количествадвижения нуклона j в ядре складывается из его спина s и орбитальногомомента l относительно центра ядра:j = l + s = l + 1 .2(1.7.21)Спин ядра — результат векторного сложения моментов j нуклоновядра:AA li + si = L + S.ji =(1.7.22)J =i=1i=1Напомним (см. (1.4.10)), что результаты сложения квантовых векторовотличаются от результатов сложения векторов в классической физике.83§1.7. Свойства атомных ядерКвантовый вектор может иметь лишь дискретный ряд значений (черезединицу):=B +C,AA = |B − C| , |B − C| + 1, |B − C| + 2, .
. . , B + C − 1, B + C.Число возможных значений A равно 2K + 1, где K — наименьшаявеличина из B и C .Задача 1.7.8. Найти возможные значения полного момента jнейтрона с орбитальным моментом l = 3. Определить для каждогозначения полного момента все возможные значения проекции навыделенную ось.j = l + 1 = 3 + 1 = 5 или 7 .2222Для j = 5/2 имеем mj = −5/2, −3/2, −1/2, +1/2, +3/2, +5/2 (всегошесть значений: 6 = (2 ·5+ 1).
Для j = 7/2 имеем mj = −7/2,2−5/2, −3/2, −1/2, +1/2, +3/2, +5/2, +7/2 (всего восемь значений:78 = (2 · + 1)).2Задача 1.7.9. Определить возможные значения спина ядра, состоящего из двух протонов и двух нейтронов в состояниях с орбитальными моментами l, равными нулю. Считать все нуклонынаходящимися в одном (низшем из возможных) энергетическомсостоянии.Поскольку полный момент каждого нуклона в данном случае ра41вен 1/2, возможные значения суммы четырех векторов J ==12= 0, 1, 2. Однако в физике реализуется только первое из этих значений, т.
е. 0. Здесь проявляется действие принципа Паули. Согласнопринципу Паули тождественные фермионы любой системы должны находиться в разных квантовых состояниях. Иными словами,тождественные фермионы, входящие в состав системы, не могут иметьсовпадающие наборы квантовых чисел. В данном случае два нейтронас одинаковой энергией и одинаковыми (нулевыми) значениями орбитального момента должны иметь разные значения проекции спина навыделенную ось, т.
е. +1/2 и −1/2. Сумма спинов нейтронов в этомслучае равна 0. Эта же ситуация реализуется для двух протонов.Поэтому суммарный момент такой четверки нуклонов — т. е. ядра 42 Heв основном состоянии — равен 0.Обратимся теперь к четности ядерных состояний. Мы знаем(п. 1.3.3), что если гамильтониан системы коммутирует с операторомпространственного отражения, четность системы является «хорошимквантовым числом», т. е. сохраняется. Для сильных и электромагнит-84Гл.
1. Теоретический обзорных взаимодействий это выполняется, поэтому (с точностью до малыхдобавок, связанных со слабыми взаимодействиями) ядерные состоянияимеют определенную четность, которую указывают одновременно соспином в форме J P . Например, в основном состоянии дейтрона (связанной системы нейтрон–протон) J P = 1+ .Четность системы частиц является произведением собственных четностей p этих частиц и четностей Pl = (−1)l , соответствующих ихорбитальному движению. Собственная четность нуклонов +1.
Поэтому, для системы A нуклонов:P (A) = (−1)l1 (−1)l2 . . . (−1)lA = (−1)Ai=1 li.(1.7.23) и JЗадача 1.7.10. Какова взаимная ориентация векторов Sсуммарного спина и полного момента нуклонов в дейтроне? +S = 1 и S = 1, причем L = 0 или 2 (см. заДля дейтрона J = L , т. е.
вектора S и J совдачу 1.6.4). В состоянии с L = 0 имеем J = Sпадают и, следовательно, направлены одинаково. В состоянии с L = 2 должен быть антипараллелен вектору L , что, в силу того, чтовектор SL > S , приводит и к антипараллельности S и J .1.7.5. Изоспин нуклонов и ядер. Как основное, так и возбужденные состояния ядер (помимо рассмотренных ранее энергии, спинаи четности) характеризуются изоспином I и проекцией изоспина I3(см.
п. 1.4.4). Как уже отмечалось, введение этих квантовых чиселсвязано с тем фактом, что ядерные силы инвариантны относительнозамены протонов на нейтроны. Ярким свидетельством этого являетсясходство спектров ядер-изобар, у которых число протонов одного равночислу нейтронов другого.
Для всех известных пар таких ядер имеетместо подобие спектров низших возбужденных состояний: спины ичетности низших состояний одинаковы, а энергии возбуждения близки.На рис. 1.7.5 в качестве примера приведены спектры пары зеркальныхядер 73 Li и 74 Be. Эта пара зеркальных ядер имеет в основном состоянииизоспин I = 1/2 и проекции изоспина I3 = +1/2 и −1/2. Их уровни образуют ядерные изодублеты (изодублетом, естественно, является и самнуклон: IN = 1/2, Ip = +1/2, In = −1/2). Возможны также ядерныеизомультиплеты более высокой размерности, например, изотриплетыили изоквартеты.
Уровни ядер с I = 0, являются изосинглетами. Онивстречаются у ядер, называемых самосопряженными. У таких ядерZ = N и в соответствии с правилом (1.4.4) I3 = 0. В связи с этимнапомним, что проекция изоспина ядра определяется выражениемI3 (A, Z) = Z(+1/2) + N (−1/2) =Z−N.2В основном состоянии ядро имеет наименьший из возможных изоспинов, т.
е. в этом состоянииZ − N I0 = |I3 | = (1.7.24).2§1.7. Свойства атомных ядер85Рис. 1.7.5. Изодублеты (I = 1/2) уровней ядер 73 Li и 74 Be. Они сдвинуты поэнергии на величину ΔE = ΔEкул − (mn − mp )c2 , где ΔEкул — разностькулоновских энергий ядерВозбужденные состояния ядер могут иметь более высокие значенияизоспина, но с той же проекцией. Максимально возможное значениеядерного изоспина получается для тех ядерных состояний, в которыху ядра все изоспиновые векторы нуклонов (речь идет о специфическомзарядовом пространстве) направлены в одну сторону (параллельны):Imax =Z+NA= .22(1.7.25)Итак, характеристиками уровней данного ядра являются энергия,спин, четность и изоспин.
Обычно три последних квантовых числауказываются как J P , I .Задача 1.7.11. Определить изоспин основного состояния и проекцию изоспина ядра 48 Ca.86Гл. 1. Теоретический обзорЯдро 48 Ca имеет 20 протонов и 28 нейтронов. Следовательно,проекция изоспина этого ядра равна I3 = (20 − 28)/2 = −4. Изоспиносновного состояния I = |I3 | = 4.1.7.6. Электромагнитные моменты нуклонов и ядер. Ядро каксистема зарядов и токов обладает статическими электрическими имагнитными мультипольными моментами. Эти моменты определяютэнергию взаимодействия Wэл ядра с внешним электромагнитным полем. Какова роль различных моментов, хорошо видно из следующегосоотношения:∂EjE 0 − μH0 − 1Wэл = qϕ0 − DQij− ... ,(1.7.26)6i, j∂xi0 0 (E1 , E2 , E3 ) — потенциал и напряженность внешнегогде ϕ0 и E 0 — напряженность внешнего магнитного поля,электрического поля, HD — вектор электрического дипольного момента ядра, μ — векторего магнитного дипольного момента, Qij — тензор ядерного электрического квадрупольного момента и так далее.
Индекс «0» означает, чторассматриваемые величины вычисляются в начале координат (в центремасс системы, в нашем случае — ядра). Остальные члены энергиивзаимодействия в выражении (1.7.26) дают пренебрежимо малый вкладво взаимодействие ядра с внешним полем.Начнем с электрического дипольного момента. В основном состоянии ядра он равен нулю (с точностью до малых членов, связанныхсо слабыми взаимодействиями в ядрах). Равенство нулю компонентэтого момента Di (i ≡ x, y , z) является следствием четности квадратаволновой функции ψ0 основного состояния ядра:Di = Ze ri |ψ0 |2 dv ,(1.7.27)Dz = Ze z |ψ0 |2 dv.Квадрат волновой функции основного состояния ядра является четнойфункцией координат, z — нечетная функция.
Интеграл по трехмерномупространству от произведения четной и нечетной функций всегда равен0. Квадрат ψ -функции имеет положительную четность в случае, еслисама ψ -функция имеет определенную четность (+ или −). Это справедливо для вкладов в ψ -функцию от сильных и электромагнитныхвзаимодействий, сохраняющих четность. Малые добавки в ψ -функциюот слабых (не сохраняющих четность) взаимодействий могут датьнебольшие отклонения от нуля дипольных моментов ядер и частиц.Роль этих вкладов представляет большой интерес для современнойфизики, что, в частности, выражается в непрекращающихся попыткахобнаружить отклонение от нуля электрического дипольного моментанейтрона.§1.7.
Свойства атомных ядер87Нижайшим по мультипольности ядерным электрическим моментом, который может быть отличен от нуля для основных состоянийядер, является тензор электрического квадрупольного момента Qij(i, j ≡ x, y , z). Поскольку ядро — квантово-механическая система, егоэлектрический квадрупольный момент достаточно задать в виде однойиз диагональных компонент этого тензора. Условились в качестве такой компоненты брать zz -компоненту Qzz , а в качестве величины Q1квадрупольного момента ядра использовать значение Qzz , где e —eвеличина элементарного электрического заряда:111(3z 2 − r 2 )ρ(r)dv =r 2 (3 cos2 θ − 1)ρ(r)dv.
(1.7.28)Q = Qzz =eeeВ этом выражении ρ(r) — плотность электрического заряда ядра:ρ(r)dv = Ze |ψ0 |2 dv = Ze.(1.7.29)Выражение (1.7.28) содержит также запись Q в сферических координатах.Величина электрического квадрупольного момента, очевидно, зависит от выбора системы координат. В дальнейшем мы будем использовать так называемую собственную (или внутреннюю) систему координат. Эта система жестко связана с ядром, перемещаясь и поворачиваясьвместе с ним.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
